50毫米标准镜头 -- 你的A4纸是什么样子？

我曾经有一阵子喜欢摄影。当时了解到，50毫米的定焦镜头被称为 normal lens (中文叫做标准镜头). 当时好奇 - 为什么50毫米叫做叫做 normal? 它 normal 在什么地方？
问了些喜欢摄影的朋友，都不能给出满意的解答。唯一问到的是，所谓 normal, 是指用50毫米镜头拍摄的时候，拍摄到的照片，和人眼在现场看到的场景是一样的。但没有人能够解答我的问题，就是，怎么就一样了？为什么是50毫米，而不是其他，比如20毫米，或者100毫米？
按照我的惯例，我决定自己来推导一下。
首先，定义是清楚的，即50毫米拍出的照片是和人肉眼所看到的景色一样。
人肉眼看到是什么景色呢？我 google 了一下，发言，对人肉眼能够看到的场景的定义是，从眼睛出来，目光正前，上下左右30度的角度，是能够看清的。或者说，从眼睛出来，有一个上下左右30度的圆锥形，在这之内的事物，人是能够看清的。这个锥形，被成为 cone of vision.
有这两点，在加上一些基本的三角和几何光学的知识，就能够推算了。见图：
                
                
其中：
d1 是镜头和底片的距离
d2 是镜头和被拍摄物的距离
h 是底片的高度
f 是镜头的焦距
几何光学告诉我们：
                
                
但是，因为d2 比 d1 大很多。d2 往往是几米的距离，而 d1 一般来说只有几厘米。所以，在此可以忽略d2。也就是：
                
                
因为 cone of vision 是30度，所以我们有(注：我有笔误，应该是h，而不是h1）：
                
                
两个公式带入后，有：
                
                
所以，一个 normal lens 的焦距是等同于底片的高度。也就是说，normal lens 的焦距应该是多少，是底片的大小决定的，而跟其他参数没有任何关系（但是注意，我们做了一个假设是d2 大大大于d1。但是在拍摄近距离的物体的时候，这个假设就不成立了）。因为我们的底片并不是一个圆形，所以近似的可以说成，等同于底片的对角线。传统的35mm 胶片，其长宽是 36mm x 24mm，也就是说对角线是 43mm。跟50mm 差不多，所以被称为 normal.
当然，这样的推算有两个很严重的假设，或者说问题：
1、对 normal lens 的定义中，假设了我们在30度之外的余光所看到的不影响我们的视觉感觉。这显然是错误的。我在打第一人视角射击类的游戏时候，就总是感觉到仿佛是被局限在一个筒子的视角中，就是因为没有余光。总觉得在左右30度之外的地方有看不到的敌人。
2、我们在看打印出来的照片的时候（当然现在更多是在电脑上看，或者iPad上看），往往是在距离照片30厘米左右的距离看。但如果是普通的5寸大小的洗出来的照片，其产生在我们视网膜上的图像，远远不能够达到上下左右30度视角那么大。计算可以得出，照片的尺寸要达到是距离眼睛距离的 2/sqrt(3) = 1.15 倍，才能够充满 cone of vision. 也就是说，当你看 normal lens 拍摄出来的照片，如果把照片放到距离眼睛30厘米的地方，照片的尺寸（姑且算对角线吧）应该有 30x1.15 = 34.5厘米。iPad 可能差不多了，但是iPhone 就远远不够。
以上两点，导致我们在看过一个令人震撼的景色后，再看当时拍出的照片，会感觉完全没有捕捉到当时的震撼。
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上文是基本来自我申请Stanford 设计学院课程时候递交的申请表。说它是申请表，其实不准确。设计学院提出的唯一要求就是，申请的内容要能够容纳在一张A4的打印纸上。你可以写篇文章，画画，或者做折纸，剪纸，，，或者任何天马星空的想法。
我最后是讲述了我学习摄影时，自己推导 normal lens 的过程。我觉得这很准确的反映的我是怎样一个人：强烈的好奇心，喜欢自己推导，理科的思考方法。
我最后交上去的那张A4纸见下图。如果是你，你的 A4纸会是什么样子？欢迎留言分享！
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PS 我后来又自己推导过一次光圈和景深关系的量化关系。也是因为没有人给过我一个满意的，基于数学和光学推导的答案。回头我整理一下，也发个文章。@简里里 同学有一阵子表示打算学习摄影，我还曾经极尽我解释的能力，给她讲解过。简同学表示非常难懂，，，可能也最终促成了她放弃继续学习摄影。希望这次能够解释的清楚一些：）