《数学世纪——过去100年间30个重大问题》前言

17世纪初，两位大哲学家，英国的培根（F. Bacon）和法国的笛卡儿 （R. Descartes） 宣告近代科学的诞生。他们每位都描绘他们自己对未来的图景，而他们的图景是十分不同的。培根说：“一切都依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之上。”笛卡儿说：“我思故我在。”按照培根的想法，科学家应该周游世界来搜集事实，直到积累起来的事实揭示出大自然是如何运作的。然后科学家会从这些事实中归纳出自然界所服从的规律。而按照笛卡儿的想法，科学家应该待在家里冥思苦想来演绎出自然界的规律。为了正确地演绎出自然界的规律，科学家只需要逻辑规则与上帝存在的指示。从培根与笛卡儿开辟道路以来，四百年间，科学就是同时遵循这两条道路快速进步的。无论是培根的经验主义还是笛卡儿的教条主义本身都不具有阐释自然界秘密的能力，但两者结合在一起则已经取得惊人的成功。四百年间，英国科学家倾向于成为培根派，而法国科学家则倾向于成为笛卡儿派。 法拉第（M. Faraday）、达尔文（C. Darwin）、卢瑟福（E. Rutherford）都是培根派；帕斯卡（B. Pascal）、拉普拉斯（P. S. de Laplace）、庞加莱则是笛卡儿派。科学就是由于这两种对立的民族文化的相互交流而大大丰富起来。两种文化也总是在两个国家中起作用。牛顿从本质上讲是笛卡儿派，他同笛卡儿企图那样运用纯粹思维，并用它击溃笛卡儿的涡旋理论。居里夫人（M. Curie） 从本质上是培根派，她熬煮成吨的粗铀矿石来驳倒原子不可破坏的教条。 奥迪弗雷迪（P. Odifreddi）干成了一项出色的工作，在一本简短而又可读的书中讲述了20 世纪的数学故事。我对奥迪弗雷迪的论述仅有的不满意的地方在于，从我的口味来看，它有点太笛卡儿式了。他论述数学史比我想象的更有条理，更有逻辑性。我正好是培根派，而奥迪弗雷迪则是笛卡儿派。在历史事实方面我们是没有分歧的，我们的分歧只是在于应当强调的重点所在。本书是奥迪弗雷迪对真理的描述，而我的描述则会多少有些不同。 对20世纪数学来讲，笛卡儿式的描述中有两个决定性的事件。 第一个是1900年在巴黎举行的国际数学家大会，会上希尔伯特给出主旨演讲，他通过提出著名的23个未解决问题为即将到来的世纪的数学绘制出路线图。第二个决定性的事件是20世纪30年代法国的数学家结成布尔巴基（Bourbaki）的数学家小组，致力于出版一系列教科书，为的是给整个数学建立一个统一框架。希尔伯特问题在引导数学研究走向富有成果的方向上取得巨大成功。其中一些问题已经得到解决，还有一些仍未解决，但几乎所有问题都激发起数学的新思想和新领域的快速产生和发展。布尔巴基的计划同样具有巨大影响力，它改变其后50年数学的风范，给数学加上逻辑的协调性，而这在先前并不存在，同时把数学的重点由具体的实例移向抽象的一般性。在布尔巴基的事务体系中，数学无非是包含在布尔巴基的教科书中的抽象结构，而不在教科书中出现的就不是数学。具体的例子，因为它不出现在教科书中，就不是数学。布尔巴基的计划就是笛卡儿的数学风格的表现，它把数学领域大大缩窄，排除掉培根派的旅游者在路旁可能采撷到的所有美丽的花朵。幸运的是，奥迪弗雷迪不是一位的笛卡儿派，他容许许多具体的例子出现在他的书中。他收进来的美丽的花朵包括零散的有限群以及欧氏空间中的球的堆积。他甚至还在纯粹数学的例子之外同样加进一些应用数学的例子。他描述菲尔兹奖，这是在每四年一次召开的国际数学家大会上给解决具体问题的或者创造新的抽象思想的年轻人的奖项。 我作为培根派，感到这本书的主要缺失之处是令人惊奇的要素。当我看数学史时，我见到一连串的不合逻辑的跃变、不太可能的巧合以及自然界的玩笑。自然界的深刻的玩笑就是-1的平方根。物理学家薛定谔（E. Schrdinger）把它纳入他1926年提出的波动方程当中，而奥迪弗雷迪在书中第3章第4节中讨论量子力学的时刻就连提也没提到。薛定谔方程正确地描绘我们已知的关于原子行为的所有事情。它是全部化学以及大部分物理学的基础。-1的平方根就意味着自然界是用复数而不是实数运作。这个发现对薛定谔也如同对所有其他的人一样令人十分意外。据薛定谔讲，他的14岁的女朋友荣格（I. Junger）对他说：“嘿，当你开始研究时，你甚至从来也没有想到，从这当中会出现如此多的合理的内容。”整个19世纪，数学家从阿贝尔（N. Abel）到黎曼（B. Riemann）到魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass）已经创造出一个宏伟的复变函数论。他们已经发现，当函数论从实数推广到复数时，就变得更为深刻，更加有力。但他们也总是把复数看成一个人工构造出的产物，只是实际生活中有用的和漂亮的抽象。他们从来也没有想到，这个由他们发明的人造的数系实际上是原子活动的场所。他们从来没有想象到，自然界首先在这个地方取得成功。

自然界的另一个玩笑是量子力学的精密的线性性，这个事实就是任何物理对象的可能状态形成一个线性空间。在量子力学发明之前，经典物理学总是非线性，而线性模型只是近似成立。量子力学出现之后，自然界本身突然变成线性的。这对数学产生深刻的后果。在19世纪，李（S. Lie）发展了他的关于连续群的复杂理论，为的是阐明经典动力学系统的行为。当时，无论是数学家还是物理学家对李群都没有什么兴趣。这个非线性理论对于数学家太复杂，对于物理学家太费解，李去世时十分沮丧。然而，50年之后，结果发现自然是精确线性的，李代数的线性表示理论成为粒子物理的自然语言。李群与李代数作为20世纪数学的中心主题获得重生。这在奥迪弗雷迪书中第2章第12节中有所讨论。 自然界的第三个玩笑是拟晶的存在，奥迪弗雷迪在第3章开头对此进行了简短讨论。在19世纪，晶体的研究导致欧氏空间中可能的离散对称群的完全列举。定理得到证明，也就是建立这样的事实： 三维空间中离散对称群只可能包含三、四或六阶旋转。而在1984年发现了拟晶，这是由液体金属合金中产生出的真实固体，它有二十面体对称群，其中包括五重的旋转。大约同时，数学家彭罗斯（R. Penrose）发现平面的彭罗斯铺砌。这是一种平行四边形排列，它覆盖全平面，具有长程的五角形序列。三维的合金的拟晶就相当于二维的彭罗斯铺砌。在这些发现之后，数学家必须推广晶体群的理论以便把拟晶纳入其中。这是一个主要的研究计划，它仍在进行当中。 最后，我要提到我钟爱的培根式的梦想，寻找一维拟晶理论以及黎曼ζ函数理论之间的可能联系。一维拟晶无需有任何对称性。它可以简单定义为在一条直线上质点的非周期排列，它的傅里叶变换也是一条直线上质点的一种排列。由于缺少对对称性的要求，一维拟晶比起在二维或三维的拟晶来有更大的自由度。一维拟晶可能有多丰富，我们几乎一无所知。同样，关于黎曼ζ函数的零点（奥迪弗雷迪在第5章第2节讲述），我们也所知不多。黎曼假设是说，除了平凡的例外之外，所有ζ函数的零点都在复平面的某一条直线上。这是1859年由黎曼作出的猜想，也是整个数学著名的未解决问题。我们所知的一个事实是，如果黎曼假设成立，则在临界直线上的ζ函数的零点按照定义是一个拟晶。假如黎曼假设成立，ζ函数的零点具有一个傅里叶变换，它由在所有素数幂的对数处的质点构成，而不含别处的质点。这就提供了证明黎曼假设的一个可能方法。首先，你对所有一维拟晶进行完全分类，列出表来。对新品种的对象进行收集和分类是培根式活动的完美典范。然后，你浏览这个表，看看其中是否有ζ函数的零点，如果有ζ函数的零点，则你就证明了黎曼假设，那你就只要等到下一届国际数学家大会来领取你的菲尔兹奖章。当然，这个方法困难的部分是收集并分类拟晶，这只能作为一个练习留给读者。 弗里曼·戴森（Freeman Dyson）

美国新泽西州，普林斯顿高等研究院