Traversina bridge structural design analysis in graphic statics / 枕木峽步行橋圖解靜力學結構分析

本文起因甚是偶然。
歐洲酷熱那周的週末跋涉去看Zumthor的山上小教堂和此橋。回來跟教授B扯淡的時候說到此事，B說正好上次有個實習生做的結構分析T博士不滿意，Conzett的那本《Structure as Space》書上的圖表達的又不清楚，T懷疑是假的。“你這兩天抽空寫一個報告唄。”
關於閱讀本文的背景知識，主要為圖解靜力學的基礎部分。相關介紹可以看這幾篇文章：
什么是图解静力学（从悬索cable谈起）
建筑与结构的图形化共识 ——图解静力学引介 01
建筑与结构的图形化共识 ——图解静力学引介 02
建筑与结构的图形化共识 ——图解静力学引介 03
(作者还写了其他相关文章，感兴趣的同学可以去看，这里只挑了两篇我个人觉得写的较好的。）
还有猪小宝的一篇：
用尺子画图就能求解桁架内力？——图解静力学入门
（这个涉及桁架结构，相对复杂一点点，用来入门很不错。）
關於此橋背景知識，請看下面兩篇文章：
康策特（Jurg Conzett）与枕木峡上的步行桥（Traversinersteg）
康策特是谁？ 一个瑞士结构师的诗意抗争
本文不再贅述，直接進正題。
先上原書的圖：
                
                
筆記人老師的那篇文章中，也有這些圖，但由於原文的註解涉及技術細節，翻譯不是很準確。這裡先給出我的翻譯，後文會結合更詳細的解釋及分析給出整個結構的設計策略。
翻譯：
1. 主索曲線找型：力圖
圖中每條直線段的長度與右側形圖中對應部件中的力相等。由於主索中各部分受力應該為等常數，線段s與t及其中間所有線段末端形成的曲線應為一個半徑為393 kN的圓。
2. 主索曲線找型：形圖
U至X之間的線段為園的一部分（譯者：近似）。基礎形態的選擇基於最初根據預製樓梯板尺寸所做的估算。主索的材料選型滿足橋樑中在最大雪荷載下所產生的393 kN的常量。此圖的作圖由T及任意方向t開始，通過試錯，最終找到滿足主索末端可以到達預計S點的其實方向。
3. 通過對比不同菱形桁架(diamond-truss)的震動特性及建造費用，我們最終選定了A-R之間由17個部分組成的方案。根據力圖，在形圖中從A-R分別畫與力圖中對應線段的平行線（譯者：圖解靜力學基本構圖方法）並與形圖中的主索相交，得到A'-R'的位置。
4. 通過對交叉桁架系統的分析發現，兩組次級索的平行分量提供了平行于主索的額外拉力。這樣，與圖2相比，結構類型的改變提高了結構效率。在仍然保證主索最大拉力為393 kN前提下，形圖中主索的多邊形可以變得更扁平，并把A'-R'沿圖3中輔助線AA' - RR'移動到新的位置。（譯者：這個其實錯了，後文會分析。）這樣，我們得到了最終的幾何形式...
5. ... ，此力圖（其中從s''到t''的所有線段末端形成的曲線仍然為以O為圓心，393 kN為半徑的圓）...
6. ... 以及與之對應的形圖中代表不同索的軸線。（在實際建造過程中，S點被提高160 mm以抵消主索自重產生的下降）
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A. 基本結構問題找型
首先是對所需設計結構的問題及邊界條件進行設定。如圖01，此橋連接的兩側山崖跨度為60m左右，高差20m左右。
                
                
橋樑選擇使用預製樓梯板。基於此，根據一些粗略計算[1]，基本可以認為樓梯板形成弧線為圓弧。每塊樓梯板重量基本相當，忽略高差造成的差異，可認為荷載均佈。
我們先將問題簡化一下，分析僅有三段橋樑板的情況，如圖：
                
                
對每個節點用圖解靜力學分析一下，結果大概是右圖的樣子。又由於次級索（方向為豎向）作為連接主索和樓梯的媒介，也連接了每一對節點（A-A', etc.）。也正是這些索將荷載從樓梯板傳遞到主索。其共用形圖和力圖可以組合一下。同結構件內的力大小及方向應該一樣，對相應部分做縮放以後可得下圖：
                
                
所以實際的通過力圖與形圖關係構建橋樑結構原型的步驟如下：
a. 根據問題的幾何邊界條件畫出相應力圖。
                
                
b. 在形圖上畫出第一根主索，及力圖中代表次索中力的方向及大小的線段（藍線）。
                
                
這裡，由於主索實際是一根索，在保證穩定性和安全的前提下，計算得內部最大可承受應力為393 kN（實際上的力會低於此值，並且在不同荷載的作用下可能不一樣）。根據相應的比例在力圖上畫出對應力的長度。
其中，圓圈的半徑即為此力，只要保證代表主索的力線從圓心出發不出此圈，則主索內承受應力不會超過393 kN。
c. 在力圖上畫出其餘代表主索中力的線段，并依次完成形圖部分。
                
                
最後，調整力圖中線段位置，可相應改變橋樑的形圖，即實際幾何形態。目的是調整主索末端的方向，滿足實際建造時末端應指向對應山頭的錨點（此圖為得到更準確的幾何形態，已加大荷載密度）。
                
                
至此，第一階段的找型工作基本完成。對應原書圖中的1-3步。問題都是基本的圖解靜力學問題。
基本形式雖已找到，但設計，并沒有結束。由於橋樑架设在山谷中，除了安全問題，還要考慮穩定性問題。風荷載及雪荷載是兩大動態荷載 (live load) 來源。如何保證橋樑穩定耐久？如何讓橋樑結構效率最優？結構深化及優化也就隨之而來。
B. 基於原書構建的幾種可能
由於原書寫的不是很清楚，我們首先假定在將次級索由近似平行換為對角線斜交的過程中，原輔助線是不變的。也就是說，各節點位置不變。以此為基礎對變換后的結構用圖解靜力學進行分析。
首先對各節點進行分析，方法與A部分中的類似。
                
                
單獨取出B與B’節點，對比改變次級索前後的力圖和形圖的變化：
                
                
其他節點：
                
                
然而問題來了，如果仍然按照A部分中的方法，我們發現無法將X與X'兩組節點的力圖通過共用索（等價力）結合起來。
                
                
原因是什麼呢？兩組力圖的組合方式不對？交叉結構需要在力圖中引入新的部分[注1]？當然，也可能是基本假設有問題。
比較有效的檢驗方法，是根據A部分中的力圖與形圖的構造過程對新形圖重新構造力圖。
到圖04(b)為止，構造過程與之前沒有變化。但下一步：
                
                
如果將原來的A-A'取消而換為B-A'，為了在力圖中封閉力多邊形(close the force polygon)，勢必要引入新的力，即圖中粉色線。而同樣在形圖中需要多引入一個新的結構組件。這與事實不符。
另外一種可能，就是移動A'節點：
                
                
這樣原有結構組件仍然可以保證力圖中力多邊形是封閉的。在這種情況下，簡化版橋的力圖與形圖如下：
                
                
然，天不遂人願。在接下來繼續加入X組節點及對應荷載時[注2]，問題出現了：
                
                
問題之一是通過X與X’兩組節點構建的兩條代表原次級索方向的力線在力圖中並不平行；之二是無論如何調整荷載位置（即在力圖中調整樓梯板軸向應力），力圖無法滿足均勻荷載。這與事實亦不符。
那麼問題就可能出在基本假設上——形圖中代表原次級索的輔助線並不像書中描述的那樣沒有變化，而是發生了改變。亦即，節點位置發生了改變。
C. 次級索替換后實際結構變化及分析
如果沒有節點位置不變（代表原次級索方向的輔助線不變，或新相交索對任一節點的合力方向與原次級索相同）的限制，通過圖解靜力學構造該橋力圖與形圖的方法大致如下：
                
                
1. 畫出代表荷載的有向線段，以及代表橋底板方向的線段。調整其位置，并令其與一半徑為393 kN的圓相交[注3]。
2. 根據圓與橋底板方向線相交的交點，畫出代表主索的力線，及以主索上各節點X'為端點的斜向次級索力線。
3. 繼續構造過程[注4]，加入橋底板部分的各節點X及次級索在力圖中的表示。圖中彩色線段部分即為力圖與形圖中兩組對應節點的表達。
然而，細心觀察會發現，實際上步驟3中構造的線段的交點並不在與代表橋底板的直線上。
                
                
而這種偏差並不能通過調整力圖中各部分與圓的位置消除。那麼這種偏差會造成多大的影響呢？
                
                
當按照實際建造情況將橋底板分為17段，圖中的偏差很小。而經過測量各線段長度并計算偏差量我們發現，在影響最大的橋的起始部分，偏差量也只有0.03125 kN。這對於本橋的尺度及所用的材料來說，幾乎可以忽略不計。
                
                
考慮到此橋設計的時間以及當時CAD軟件的應用程度，這種偏差很有可能在設計階段被有意或無意的忽略掉了。
如此，橋的基本幾何形式就構造出來了。最後調整主索末端的方向以保證末端能與山上的錨點重合。
                
                
那麼次級索在替換為交叉索前後，力圖和形圖變化了多少呢？將兩部分圖重合起來，圖示化結果如下：
                
                
與原來相比，力圖中線段末端掠過的圓弧張角變小，對應形圖中橋樑形態變得更扁平。
最後，藉助現在的CAD工具，在對力圖中各部分調整的過程中，我們還可以發現更多有趣的結論，比如：
                
                
類似的形態，力的分佈卻有很大不同，拉壓狀態也可能不同。在此不做過多展開。
D. 後記
其實關於Conzett，文章伊始鏈接的那篇介紹他的文章已經很好，這篇文章權且作為對豆瓣學術界的一點點補充。對於這座橋感觸比較深的是Conzett從建築及體驗中會提取必要元素作為結構選型以及結構設計的影響因素（還有本文未提到的橋尾可做座椅的混凝土台基等）。一方面是作為結構師的敏銳和敏感，另一方面可能也和他與Zumthor合作八年有很大關係。
另外一方面就是從研究者的角度來看實踐者，很深的體會之一為：做實踐，最重要之事乃適可而止。仔細觀察這個橋的設計以及他的其他設計，何時深化，何時忽略，何時滿足限制，何時做探索，等等等等。他對量和度的把控都做得非常好。而做研究就顯得相對任性（前提是有資金支持）。當然也感受到作為圖解靜力學的發源地，瑞士的實踐領域對這種方法的運用自如。
最後附上建造標示及兩張橋上頭尾互望的照片：
                
                
                
                
                
                
############################ 正文結束，我是分割線 ############################
[注1] 實際上傳統圖解靜力學做法是做不了這種交叉結構的，因為滿足力圖和形圖對偶(dual graph)一個必要條件是形圖的拓撲圖是平面圖(planar graph)。現在的處理方法我見到的有兩種，一種是做變換把交叉反轉，另一種是用外力替換結構組件。本文不做過多展開。
[注2] 這裡就遇到[注1]中的類似問題。形圖中的交叉，在力圖中變換后會形成一個平行四邊形。
[注3] 本文所涉及的圖解靜力學各圖構造過程在Rhino+Grasshopper+Python環境下完成。此處及前後文許多設計調整線段位置的過程均為動態調整，不需每次重頭手動構造各圖。
[注4] 方法同[注2]。在此需要略微注意一下的是，在第3步過程中，構建力圖中的X系列節點時直接用了平行線，其基礎是兩條次級索的相交部分並不互相影響各自的方向（交點處不對索施加額外的作用力，索只受軸向拉力），事實是否如此取決於建造過程中節點的連接方法。附圖顯示證實了這種做法：
                
                
                
                
Reference:
[1] Structure as space: engineering and architecture in the works of Jürg Conzett and his partners. AA publications, 2006.