问题：Lorentz群和Dirac旋量

另一些帖子的地址： http://www.douban.com/group/topic/40812369/ O(3,1) 有四个连通分支，下面把包含单位元的那个称为Lorentz群，或SOe(3,1)，或proper orthochronous Lorentz群。 SOe(3,1)不是单连通的，它的覆盖群记为Spin(3,1)，同时也是通用覆盖群。这是同构于SL(2, C)的。SL(2, C)就是单连通的了。SL(2, C)和SOe(3,1)是2对1的同态。这很像SO(3)和SU(2)之间的关系。这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不 懂。 SL(2, C)的有限维线性复表示可标记为(m/2, n/2)，其中m和n是非负整数。当m或n是奇数时，称为旋量表示。旋量表示并不是SOe(3,1)的表示，比如说从单位元开始，绕z轴0转到2pi，SOe(3,1)的“旋量表示”并不变回去，而是差一个符号。要转过4pi才回去。但物理学家管这个叫双值表示，似乎更恰当的名称是射影(projective)表示。按照Weinberg在他的QTF vol 1 chap 2中的说法，射影表示是 U(g) U(h) = exp(i φ(g, h)) U(g h) 其中φ(g, h)是个实数。射影表示是差一个相位的表示。比如说SU(2)的旋量表示，就是SO(3)的双值表示，这似乎正是射影表示。 这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不懂。 Dirac旋量就是(1/2, 0)⊕(0, 1/2)的表示。这个在刘川老师的量子场论讲义，或者是Peskin and Schroeder等教材中都讲了。 我来提一些问题：下面假设我都用Weyl基或chiral基。 0. SU(2) 和 SL(2, C) 是什么关系？ 1. so(3,1)的复化同构于sl(2, C)⊕sl(2, C)，为什么SOe(3,1)反而会被SL(2, C)盖住？ 2. 所谓左手旋量和右手旋量，是不是分别对应(1/2, 0)和(0, 1/2)表示？它们对应的是表示（线性变换），而不是表示空间中的向量吗？ 3. 这个表示是可约的，但为什么Dirac方程是耦合的，它会把左手旋量和右手旋量混合起来？ 4. 如果第一问中，这些旋量对应的是线性变换，为什么它们不像别的线性变换那样写成矩阵的样子，而是写成两个数的样子？ 5. 为什么不会把两个旋量加起来？如果他们是线性变换，似乎确实不能加起来，因为群元素只有乘法，群元素不会加起来。 6. 为什么两个旋量按照那个ψ† γ0 ψ的规则乘起来就成了“标量”？我自己去计算了一下，确实它会把左手旋量和右手旋量的分量混合地乘起来，并且还是一个实数。但我不理解为什么要这么凑起来。同样，为什么 ψ† γ0 γ0 γμ ψ 就成了一个像向量一样的东西？这些都可以验证出来，但是我不清楚这是为什么。 先这样。感谢你的阅读，如果你能回答，更加感激不尽！！