对「线性代数」的再思考（二）

为了讨论方便，这里再次引用那位法国数学家的语录：

there is hardly any theory which is more elementary than linear algebra in spite of the fact that generations of professors and textbook writers have obscured its simplicity by preposterous calculations with matrices.

- Jean Dieudonné

很难再有比线性代数更基础的理论了，而历代的数学教师和教科书作者却一直在用令人费解的矩阵计算把这种简单性掩盖了。

--让 迪厄多内

本篇笔记的目的就是探讨线性代数的这种「基础性」(elementarilty) 的性质。我个人认为线性代数的「基础性」可以从下面两道乘法算术题得到

一、 西红柿 4 块钱 1 斤，买 5 斤多少钱？——4元 × 5斤 = 20元 二、 房间长 4 米、宽 3 米，面积是多少？—— 4米 × 3米 = 12米²

从第一道题我们可以获得三项知识：基 (basis) 、 规模 (scalar) 和线性组合 (linear combination)，「4元」是基，「5斤」是规模，「20元」是线性组合。当然，这道题里的线性组合是最小组合，参加组合的项只有一个：4·5。假如这道题改成：

西红柿 4 块钱 1 斤，买 5 斤，鸡蛋6块钱1斤，买 2 斤，一共花多少钱？

那么，组合项就有两个了：4元×5斤 + 6元×2斤 = 32元。如果再买了 1 斤大葱那么就是三项组合了。设大葱 3 元 1斤，4元×5斤 + 6元×2斤 + 3元×1 = 35元

我们这里获得的见识就是：基是各种商品的单价，规模是每种商品购买量，线性组合是购买的总价格。如果分别用字母 u1、u2、和 u3 表示三种商品的单价，用c1、c2 和 c3 表示购买数量，用 v 表示总价格，那么，其总价格就是： v = u1·c1 + u2·c2 + u3·c3 所以，u1、u2 和 u3 是基，c1、c2 和 c3 是规模，v 是线性组合。

归纳：这道题的基本思想就是：线性组合 = 基 × 规模。

注意：小学算术中，无论是线性组合，还是基和规模，其内容都是用数表示。而线性代数，线性组合，基和规模，其内容都是不再是单纯的数，而数的复合形态——向量和矩阵。其中，基是用矩阵表示，而规模既可以用向量也可以用普通的数表示。

再看第二道算术题：4m × 3m = 12m²。

虽然都是乘法运算，但是这道题没有第一道题的 基 × 规模 = 线性组合 的关系。这种运算用线性代数的术语叫做行列式。行列式有一种特质：它的值是数，数所代表的几何形象是线段，而行列式的数所表示的量，却不再是线段，而是平面，故它的单位是 m²，不再是 m。为什么是行列式？因为行列式的本质就是两条直线所围成的平行四边形的面积。

归纳：这道题的基本思想是：两个不同方向的直线所围成的平面称作面积，它的代数含义是两个向量所构成的矩阵的行列式。