一道小学题目的思考
缘起 今天在抖音上面看到一个老师在讲小学数学题，很有意思的一个题目，我觉得值得深挖一下。也为以后的退路（码农失业当老师）做一点准备。
题目1:
老师的解法是逆向思维，看完这个视频我们自然地会有三个问题。
1.如果我就是头铁要用正向思维，这个题目可以解吗？
2.正向的思维和逆向的思维难度一样吗，差别在哪？
3.导致这个差别的本质原因是什么？ 正向思维
计算机系的同学都能看明白，这是一个典型的递归题。它的 trivial 形式是这样的：
题目1.0: 一班60人，至少有多少人会0项技术？ 答案很简单，60人。 好吧，这有点无聊。我们把这个题目分解为四个题目，然后依次来解决。
题目1.1：一班60人，42人会游泳，至少有多少人一项都会？
题目1.2：一班60人，42人会游泳，46人会骑车，至少有多少人两项都会？
题目1.3：一班60人，42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，至少有多少人三项都会？
题目1.4：一班60人，42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会打羽毛球，至少有多少人四项都会？
题目1.1，答案42，结束。（生命、宇宙以及任何事情的终极答案）
题目1.2，直到此时，“至少”这个词才有实际意义，意思是，两项都会的人是不确定，我们想要的是，让两项都会的人数尽可能少，才能符合题目要求。我们看个图。
如图，青色表示60人，红色表示游泳的42人，而黄色表示骑车的46人。为什么黄色和红色不在青色的同一边呢，这就是“至少”的要求，只有离得尽可能远，才能让两项都会的人数少。 答案：42+46-60=28，两项都会的至少有28人。
题目1.3，此时难度上升了，一个横条只有两个边，第三个放不下了。我们有办法。
我们用蓝色代表会溜冰的50个人，之所以把蓝色画成两段，主要是为了避免和红黄两色重叠的部分重叠。这样才能得到至少的结果。
我们现在知道，两项都会的至少有28个人，那剩下60-28=32人。这些地方不足以放下会溜冰的50个人。有50-32=18个人，必须放在前面两项重合的地方。也就是说，至少18个人要会溜冰，同时还会其他两项。 题目1.4，现在我们有经验了，55个打羽毛球的人，只要不放在上一题算到的18个人的区域内，其他地方可以随便放。很可惜不够用，差了多少呢，差了55-(60-18)=13个人。这13个人就是必须会打羽毛球，同时还要会其他三项。
正向思维和逆向思维的区别
显而易见，正向思维的步骤比逆向思维要多多了。但是他有一个好处，思路非常的 straightforward，把理解的智商要求直接从110拉低到90。
在谈这个本质的原因之前，我们把题目换个问法。
题目2：
一班60人，42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会打羽毛球，*至多*有多少人四项都会？
按照之前的思路来思考一下。
题目2.0:一班60人，至多有60人会0项技术。
题目2.1:一班60人，42人会游泳，至多有42人会游泳。
题目2.2:一班60人，42人会游泳，46人会骑车，至多有，min(42,46)=42人两项都会。
题目2.3:一班60人，42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，至多有，min(min(42,46),50)=42人三项都会。
题目2.4:一班60人，42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会打羽毛球，至多有，min(min(min(42,46),50),55)=42人四项都会。
很简单对吧，图我就不画了。
这题如果要逆向去解的话，所求的问题是，至少有多少人存在至少一项不会？看起来很复杂，真实计算的话会回到上面正向的思路里去。
看起来解题步骤多寡和正向还是逆向不一定有关系，反而和这个至多至少关系很大。
本质原因
我们从有实际意义同时最简单的一个问题开始。
题目 2.2 (1.2)，一班60人，42人会游泳，46人会骑车。至多（至少）多少人两项都会？
当我们算至多有多少人两项都会的时候，和总人数没有关系，只要给出两个数字中小的那一个就可以了。
而至少多少人两项都会和总人数有关系。正向计算，要想两项都会的人数少，两个色块就要离得远。然后如果大于总人数就减去总人数即可。42+46大于60，那么至少有28人要两项都会。 等一下，这里的如果是干啥的，那如不果的时候怎么办？ 我们把如不果放一放，先看看逆向的解法，60-42=18，60-46=14。14+18=32。60-32=28。结果相同。可是这每一步都是个啥意思呢。
前面两步意思是，不会的人各有多少。不会的人加起来是啥意思呢？ 作者说了，是至少有一项不会的人，最多的个数。最多怎么达到呢，让这些人完全不是同一批人。也就是说，不会游泳的是一批人，不会骑车的是另一批人，这样至少有一项的人就最多了。
那么问题来了，这两类人一定不会是同一批人吗？如果会游泳的有1人，会骑车的有1人。那不会的那两批59人里面肯定有相同的。
哦，原来这踏马的叫惊喜啊，正向解法里那个如不果是这个意思。
所以这个逆向解法蕴含了一个假设，就是不会至少一项的几类人，一定不是同一批人。当然了，按题目中的数字计算，小于60，他们确实可以不是同一批人，假设成立。但这不是通用的思路，换个数字就不一定对了。或者说，这个思路的正确性是有条件的，又或者说，这个思路是根据答案构造的。
我们发现了一个通用的规则，步骤多寡和问题里问的是最多还是最少有关系。逆向解法虽然不通用，但也给了我们一定的启发，步骤多寡和条件里的会与不会有关系吗？
题目3(4)：一班60人，18人不会游泳，14人不会骑车，10人不会溜冰，5人不会打羽毛球，至多(少)有多少人四项都会？
这俩题目有问题，解题思路第一步肯定减回去，把题目变成和题目1，2相同。看来还得改。
题目5(6)：一班60人，18人不会游泳，14人不会骑车，10人不会溜冰，5人不会打羽毛球，至多(少)有多少人四项都不会？
啊哈，明眼人一下就看出来了。题目5，6和题目1，2互为镜像，解题思路完全一样。
总结一下，这类题目共有8个结构，其中5，6和1，2互为镜像，思路一样。3，4和7，8（我偷个懒不列了）互为镜像，是1，2的简单变形，可以变回去解题。1是复杂形式，2是简单形式。 复杂形式有一个可以解部分情形的逆向思维解法，通用解法依然是正向的。 结论：计科递归解题妙，抖音妹子抬腿笑。
