几种常用的利率模型
衍生品的价格等于未来收益的折现在风险中性测度下的期望,权益相关的衍生品定价相对较简单,一般来说是假定股票价格服从几何布朗运动,如果需要复杂一点的模型还可以加上种种调整,比如跳跃项等。而利率的随机过程较为复杂,利率衍生品也几乎是最复杂的衍生品,到目前为止,比较流行的利率模型主要有以下几种。
该模型是最基础的一种利率模型,思路与实现都较为简单,其基本思路是瞬时利率在风险中性测度下服从:
其中为W(t)一个标准布朗运动过程,a,b,\sigma均为正的常数。容易看出该模型有很好的均值回复特性,当r(t)大于或小于a/b时,漂移项会使向反方向运动,从而使其在a/b附近波动。
如果将模型变得稍微复杂一点,便可以允许参数随时间变化,但要求其是关于时间的确定函数,那么Vasicek模型就变为了Hull-White模型:
在此利率过程下,许多衍生品的价格便可以通过折现求期望得到了,以债券价格为例,在T时刻到期的单位收益债券在t时刻的价格为:
同理,如果某利率衍生品在T时刻的收益为X,那么该利率衍生品在t时刻的价格为:
如果X的形式很简单,那么便可以用积分的方式求出该资产的价格,否则,便需要使用一些数值方法来计算,比较常用的便是二叉树、有限差分、蒙特卡洛等。
2. CIR模型
上面的Vasicek模型有一个缺点,那就是利率可能为负值,这与我们的常识相违背,至少在中国还未出现过负利率的情况。为了对这种情况进行改进,CIR模型应运而生,在风险中性测度下,该模型假定瞬时利率r(t)满足:
与在Vasicek模型中一样,a, b, sigma均为正数,当r(t)=0时,上面公式的漂移项变为一个正数,而第二项随机项为0,从而会向上运动,由布朗运动连续性可知始终不小于0.
3. HJM模型
HJM模型是由Heath, Jarrow, Morton于1992年提出的一种新的利率建模方法,与其说它是一种模型,不如说它是一种框架,该框架非常重要的一个作用就是为利率期限结构提供了无套利约束。
HJM模型与上面的两种模型的不同点在于其建模的对象不是瞬时利率,而是远期瞬时利率。何为远期瞬时利率?正如瞬时利率是\delta趋于0时从t时刻到t+\delta时刻的利率,为t时刻在趋于0时从T时刻到T+\delta时刻的远期利率。很容易看出:
r(t)=f(t, t)
模型假定在风险中性测度下:
由远期利率和债券价格的关系可知:
为使模型不存在套利机会,需要使在T时刻到期的债券在任意t时刻的折现值
为一个鞅过程,即:
从而:
同时对等式第二项和第三项对T求导,并交换对t微分和对T求导的顺序,
因dlogD(t)不含T,故对T求导后为0,而对dlogB(t,T)对T求导便为df(t,T),从而最终等式变为:
从而:
消去v(t,T)便得到:
这便形成了HJM模型最终的约束:
HJM 最大的优点在于其显式保证了无套利条件,只要满足上述等式即可。前面几种模型本质上是HJM模型的一种特殊情况,很容易验证Vasicek,Hull-White,Ho-Lee,CIR模型均满足HJM模型的无套利条件,其分别为不同函数得到的结果。
HJM有一个比较大的缺点,其缺点在于\sigma(t,T)不能设定为
的形式,其中第一项不依赖于f的确定性函数,原因在于这种形式会使得漂移项与的平方成正比,违反了随机微分方程存在唯一解的线性增长条件,可能使得在某一时刻出现无穷大的概率为正。而只有diffussion项为这种形式时最终的利率才会为对数正态分布,更符合现实中的情况,而且可以推出cap期权的解析解,
4. 远期LIBOR模型
为了克服HJM模型的缺陷,为cap期权提供优雅的解析解,在众多学者的努力下,远期LIBOR模型诞生,该模型建模的对象是远期简单利率。
设L(0,T)为在0时刻确定的从T时刻到时刻T+\delta的远期利率,由远期简单利率与债券价格的关系可知:
假定存在多个日期,使用B_n(t)代表将在T_n时刻到期的债券在t时刻的价格,L_n(t)代表在t时刻确定的T_n与时刻T_{n+1}=T_n+\delta_n之间的远期收益率,那么:
模型假定在远期测度P^{M+1}(当然也可使用其他测度,如风险中性测度,推理过程类似)如下:
易知:
选择为B_{M+1}(t)为基础资产,为了保证无套利,需要使得
在远期测度下为鞅。对其取对数后求微分得:
为使其为一个鞅过程,必须使得原等式等于:
对比系数容易得到:
由
得
为使得D_n(t)与D_{n+1}(t)均为鞅,必须有D_{n+1}(t)L_n(t)为鞅,对其求微分可得:
使dt项系数为0得:
从而:
在n=M时:
可以看出L_M(t)在远期测度P^{M+1}下为鞅过程,服从对数正态分布。很容易便可以计算得到在到期的cap期权在t时刻(t < T_M)价格为:
其中BS为Black-Scholes公式
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