几种常用的利率模型

衍生品的价格等于未来收益的折现在风险中性测度下的期望，权益相关的衍生品定价相对较简单，一般来说是假定股票价格服从几何布朗运动，如果需要复杂一点的模型还可以加上种种调整，比如跳跃项等。而利率的随机过程较为复杂，利率衍生品也几乎是最复杂的衍生品，到目前为止，比较流行的利率模型主要有以下几种。

该模型是最基础的一种利率模型，思路与实现都较为简单，其基本思路是瞬时利率在风险中性测度下服从：

其中为W(t)一个标准布朗运动过程,a,b,\sigma均为正的常数。容易看出该模型有很好的均值回复特性，当r(t)大于或小于a/b时，漂移项会使向反方向运动，从而使其在a/b附近波动。

如果将模型变得稍微复杂一点，便可以允许参数随时间变化，但要求其是关于时间的确定函数，那么Vasicek模型就变为了Hull-White模型：

在此利率过程下，许多衍生品的价格便可以通过折现求期望得到了，以债券价格为例，在T时刻到期的单位收益债券在t时刻的价格为：

同理，如果某利率衍生品在T时刻的收益为X，那么该利率衍生品在t时刻的价格为：

如果X的形式很简单，那么便可以用积分的方式求出该资产的价格，否则，便需要使用一些数值方法来计算，比较常用的便是二叉树、有限差分、蒙特卡洛等。

2. CIR模型

上面的Vasicek模型有一个缺点，那就是利率可能为负值，这与我们的常识相违背，至少在中国还未出现过负利率的情况。为了对这种情况进行改进，CIR模型应运而生，在风险中性测度下，该模型假定瞬时利率r(t)满足：

与在Vasicek模型中一样，a, b, sigma均为正数，当r(t)=0时，上面公式的漂移项变为一个正数，而第二项随机项为0，从而会向上运动，由布朗运动连续性可知始终不小于0.

3. HJM模型

HJM模型是由Heath, Jarrow, Morton于1992年提出的一种新的利率建模方法，与其说它是一种模型，不如说它是一种框架，该框架非常重要的一个作用就是为利率期限结构提供了无套利约束。

HJM模型与上面的两种模型的不同点在于其建模的对象不是瞬时利率，而是远期瞬时利率。何为远期瞬时利率？正如瞬时利率是\delta趋于0时从t时刻到t+\delta时刻的利率，为t时刻在趋于0时从T时刻到T+\delta时刻的远期利率。很容易看出：

r(t)=f(t, t)

模型假定在风险中性测度下：

由远期利率和债券价格的关系可知：

为使模型不存在套利机会，需要使在T时刻到期的债券在任意t时刻的折现值

为一个鞅过程,即:

从而：

同时对等式第二项和第三项对T求导，并交换对t微分和对T求导的顺序，

因dlogD(t)不含T，故对T求导后为0，而对dlogB(t,T)对T求导便为df(t,T)，从而最终等式变为：

从而：

消去v(t,T)便得到：

这便形成了HJM模型最终的约束：

HJM 最大的优点在于其显式保证了无套利条件，只要满足上述等式即可。前面几种模型本质上是HJM模型的一种特殊情况，很容易验证Vasicek，Hull-White，Ho-Lee，CIR模型均满足HJM模型的无套利条件，其分别为不同函数得到的结果。

HJM有一个比较大的缺点，其缺点在于\sigma(t,T)不能设定为

的形式，其中第一项不依赖于f的确定性函数，原因在于这种形式会使得漂移项与的平方成正比，违反了随机微分方程存在唯一解的线性增长条件，可能使得在某一时刻出现无穷大的概率为正。而只有diffussion项为这种形式时最终的利率才会为对数正态分布，更符合现实中的情况，而且可以推出cap期权的解析解，

4. 远期LIBOR模型

为了克服HJM模型的缺陷，为cap期权提供优雅的解析解，在众多学者的努力下，远期LIBOR模型诞生，该模型建模的对象是远期简单利率。

设L(0,T)为在0时刻确定的从T时刻到时刻T+\delta的远期利率，由远期简单利率与债券价格的关系可知：

假定存在多个日期，使用B_n(t)代表将在T_n时刻到期的债券在t时刻的价格，L_n(t)代表在t时刻确定的T_n与时刻T_{n+1}=T_n+\delta_n之间的远期收益率，那么：

模型假定在远期测度P^{M+1}（当然也可使用其他测度，如风险中性测度，推理过程类似）如下：

易知：

选择为B_{M+1}(t)为基础资产，为了保证无套利，需要使得

在远期测度下为鞅。对其取对数后求微分得：

为使其为一个鞅过程，必须使得原等式等于：

对比系数容易得到：

由

得

为使得D_n(t)与D_{n+1}(t)均为鞅，必须有D_{n+1}(t)L_n(t)为鞅，对其求微分可得：

使dt项系数为0得：

从而：

在n=M时：

可以看出L_M(t)在远期测度P^{M+1}下为鞅过程，服从对数正态分布。很容易便可以计算得到在到期的cap期权在t时刻(t < T_M)价格为：

其中BS为Black-Scholes公式