DP解决一道排列组合（湫秋系列故事——安排座位）
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4532
湫秋系列故事——安排座位
Time Limit: 20000/10000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 143 Accepted Submission(s): 38Problem Description
为了给腾讯公司找到更多优秀的人才，HR湫秋最近去某高校组织了一次针对该校所有系的聚会，邀请了每个系的一些优秀学生来参加。 作为组织者，湫秋要安排他们的座位。这并不是一件很简单的事情，因为只有一排位置，并且位置总数恰好等于参加聚会的人数。为了促进交流，两个来自相同系的同学不可以座位相邻。湫秋现在希望知道有多少种不同的合理安排座位的方法（任意两个合理的安排方法，只要有一个位置的同学不同，都被认为是不同的）。
Input
输入第一行为T，表示有T组测试数据。每组数据一个N开始，表示一共有多少个系。下面的一行包含N个整数Ai，表示每个系的到场人数。[Technical Specification]1. 1 <= T <= 472. 1 <= N, Ai <= 473. 1 <= Sum(Ai) <= 447
Output
对每组数据，先输出为第几组数据，然后输出结果。由于结果可能很大，输出对1,000,000,007 取余后的结果。
Sample Input
3 2 1 2 2 1 3 3 1 2 3
Sample Output
Case 1: 2 Case 2: 0 Case 3: 120
Source
2013腾讯编程马拉松复赛第一场（3月29日）
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liuyiding
我的思路：
这道题目是组合学的范畴，如果纯从组合角度考虑，利用容斥原理，也不是不能解决，只是会相当繁琐，布鲁迪《组合数学》第六章的习题17是一道类似的变例，当然这道题目与之还有区别，因为前者只需要同一个系学生的不全部连续排列即可，而这道题目需要同一系的学生两两分开。既然是算法题目，那就换种思路，用动态规划，DP来解决吧。
这里有n个系，按照最终人数由少到多排列为a1，a2，...，an
令N（c，b1，b2，...，bn）表示在{b1，b2，...，bn}人数情况下同系学生两两分隔的排列数，其中c=b1+b2+...+bn
那么现在来了第c+1位第x系的童鞋，不妨设x=n，现在的问题就是N（c+1，b1，b2，...，bn+1）如何递归推导出来？
首先任意一种原先c位已经排好序的序列中，共有c+1个空格可供我们的第c+1位童鞋排入，而他不能与其中的bn位系友相邻，因而只有c+1-2bn种位置。值得注意的是，这只是符合条件的一种情况，即新插入的同学插入到满意的位置，而该位置左右包括他本人在内，三位同学来自三个不同的系。
另外不能遗漏的一种情况是他插入到某个位置，该位置左右两位同学来自他不同的某个系。这种情况下，需要对n系之外的n-1个系逐一检查，如果这n-1个系中任何一个系有大于等于2个学生来参加聚会，则都应予以考虑。
综上，递归式如下
N（c+1，b1，b2，...，bn+1）=N（c，b1，b2，...，bn）*（c+1-2bn）+2[N（c-1，b1-1，b2，...，bn）+N（c-1，b1，b2-1，...，bn）+...+N（c-1，b1，b2，...，bn-1，bn）]
之所以第二种情况需要乘以2，是因为在考虑过程中将排在C同学前后的两位同系学生比如A和B，等价为A来考虑，但在具体情况下，A，C，B与B，C，A是两种不同情况。
很明显，边界条件为N（c，1，1，...，1）=c!，且N中任意一项若小于等于0，则N为0。
以N（6,1,2,3）来举例说明：
N（3,1,1,1）=3!=6,
N(4,1,2,1)=N（3,1,1,1）(4-2)=12=N(4,1,1,2)
需要说明的一点是，任意非递增序列的N数值上与递增序列相等，即N(4,1,2,1)=N(4,1,1,2)，但要保持序列的对应关系。这点计算上的技巧接下来就会碰到。
N(5,1,2,2)=N(4,1,2,1)（5-2）+2*N（3,1,1,1）=12*3+2*6=48
N(6,1,2,3)=N(5,1,2,2)（6-2*2）+2*N(4,1,1,2)=48*2+2*12=120
OK，至此，整个dp的思路应该说的比较清楚了。具体code我就不写了，毕竟数年没有coding，生疏的不成样子，呵呵。
这两天还在着手写《具体数学》的读书笔记，Stay tuned！
湫秋系列故事——安排座位
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为了给腾讯公司找到更多优秀的人才，HR湫秋最近去某高校组织了一次针对该校所有系的聚会，邀请了每个系的一些优秀学生来参加。 作为组织者，湫秋要安排他们的座位。这并不是一件很简单的事情，因为只有一排位置，并且位置总数恰好等于参加聚会的人数。为了促进交流，两个来自相同系的同学不可以座位相邻。湫秋现在希望知道有多少种不同的合理安排座位的方法（任意两个合理的安排方法，只要有一个位置的同学不同，都被认为是不同的）。
Input
输入第一行为T，表示有T组测试数据。每组数据一个N开始，表示一共有多少个系。下面的一行包含N个整数Ai，表示每个系的到场人数。[Technical Specification]1. 1 <= T <= 472. 1 <= N, Ai <= 473. 1 <= Sum(Ai) <= 447
Output
对每组数据，先输出为第几组数据，然后输出结果。由于结果可能很大，输出对1,000,000,007 取余后的结果。
Sample Input
3 2 1 2 2 1 3 3 1 2 3
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Case 1: 2 Case 2: 0 Case 3: 120
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2013腾讯编程马拉松复赛第一场（3月29日）
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我的思路：
这道题目是组合学的范畴，如果纯从组合角度考虑，利用容斥原理，也不是不能解决，只是会相当繁琐，布鲁迪《组合数学》第六章的习题17是一道类似的变例，当然这道题目与之还有区别，因为前者只需要同一个系学生的不全部连续排列即可，而这道题目需要同一系的学生两两分开。既然是算法题目，那就换种思路，用动态规划，DP来解决吧。
这里有n个系，按照最终人数由少到多排列为a1，a2，...，an
令N（c，b1，b2，...，bn）表示在{b1，b2，...，bn}人数情况下同系学生两两分隔的排列数，其中c=b1+b2+...+bn
那么现在来了第c+1位第x系的童鞋，不妨设x=n，现在的问题就是N（c+1，b1，b2，...，bn+1）如何递归推导出来？
首先任意一种原先c位已经排好序的序列中，共有c+1个空格可供我们的第c+1位童鞋排入，而他不能与其中的bn位系友相邻，因而只有c+1-2bn种位置。值得注意的是，这只是符合条件的一种情况，即新插入的同学插入到满意的位置，而该位置左右包括他本人在内，三位同学来自三个不同的系。
另外不能遗漏的一种情况是他插入到某个位置，该位置左右两位同学来自他不同的某个系。这种情况下，需要对n系之外的n-1个系逐一检查，如果这n-1个系中任何一个系有大于等于2个学生来参加聚会，则都应予以考虑。
综上，递归式如下
N（c+1，b1，b2，...，bn+1）=N（c，b1，b2，...，bn）*（c+1-2bn）+2[N（c-1，b1-1，b2，...，bn）+N（c-1，b1，b2-1，...，bn）+...+N（c-1，b1，b2，...，bn-1，bn）]
之所以第二种情况需要乘以2，是因为在考虑过程中将排在C同学前后的两位同系学生比如A和B，等价为A来考虑，但在具体情况下，A，C，B与B，C，A是两种不同情况。
很明显，边界条件为N（c，1，1，...，1）=c!，且N中任意一项若小于等于0，则N为0。
以N（6,1,2,3）来举例说明：
N（3,1,1,1）=3!=6,
N(4,1,2,1)=N（3,1,1,1）(4-2)=12=N(4,1,1,2)
需要说明的一点是，任意非递增序列的N数值上与递增序列相等，即N(4,1,2,1)=N(4,1,1,2)，但要保持序列的对应关系。这点计算上的技巧接下来就会碰到。
N(5,1,2,2)=N(4,1,2,1)（5-2）+2*N（3,1,1,1）=12*3+2*6=48
N(6,1,2,3)=N(5,1,2,2)（6-2*2）+2*N(4,1,1,2)=48*2+2*12=120
OK，至此，整个dp的思路应该说的比较清楚了。具体code我就不写了，毕竟数年没有coding，生疏的不成样子，呵呵。
这两天还在着手写《具体数学》的读书笔记，Stay tuned！
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