原创：关于复几何的胡言乱语（1/10）

复几何就是关于复流形的学问。从刚性的角度考虑，可以分为复拓扑和复度量几何两部分。拓扑的部分研究流形在局部的分析学性质，如C^inf光滑性质、全纯性质，相对而言是粗糙一些的，由于流形局部的分析学性质可以在度量学性质的等价类中进行“连续形变”；几何的部分则要对流形赋予度量，从而可以考虑流形上的闭测地线，于是得到“长度”，多重积分化为分次积分就可以一直走到了“体积”。比如，复流形的de Rham定理、Dolbeault定理、复流形上外微分形式的积分、复向量丛、全纯向量丛、丛上的光滑或全纯联络、除子、胀开（blow-up）、流形上闭链的相交理论、Poincare对偶是隶属复拓扑的，而Kaehler恒等式、Hodge理论、向量丛上的度量联络、向量丛的曲率、陈示性微分形式、Kaehler-Einstein度量则隶属度量几何。后面我们即将看到，复拓扑和复度量几何这两部分不是可以本质地区分开的。更广义地，我们可以把复分析也包括到复几何之中，单变量的复分析就是各位同学本科期间学的“复变函数论”，研究整个复平面上的亚纯函数的分析性质。多变量的复分析则研究复欧式空间C^n中某个开集上的亚纯函数，并试图对C^n中的全纯区域（holomorphic domain）做出等价分类。 复流形是光滑实流形在复数域上的类比，只不过要求实维数为偶数，否则就不能局部同胚于复空间C^n，还要求转移映射（transition function）是双全纯的。由于流形在每个可缩的开集上可以建立全纯坐标系，并且这些开集组成的族可以极大相容，于是局部地就可以把流形看做是一份一份的2n维开球甚至整个C^n（指光滑同胚等价，而非双全纯等价）。由于平坦空间R^2n上的分析学是早已开始建立了并熟知的，于是局部地我们就可以用R^2n上的分析学来代替流形上的分析学。前者是“平坦”的，后者是“弯曲”的，这就是“局部-整体”原则的一个简单运用。 复流形上的de Rham上同调理论没有什么新的信息，只不过把实流形的de Rham上同调与复数做张量积而已，也就是把系数函数从实值函数换成复值函数而已。复流形上真正重要和本质的上同调理论是Dolbeault，由它出发可以走到Hodge定理。我们把外微分算子分裂为partial和partial bar两部分，这样任意拿过来一个算子都是自复合之后为0的，于是都可以得到一种相应的上同调。但由于我们最关心的是全纯函数和全纯微分形式——全纯有个好处就是可以做幂级数展开——于是我们不太关心反全纯的。注意到全纯函数和全纯微分形式是没有反全纯分量的，所以partial bar算子作用上去得到0，于是只要研究partial bar算子，以及它的核空间，就可以得到流形的复分析学性质。Dolbeault定理给出了流形的以全纯p形式束（sheaf）为系数的上同调和Dolbeault上同调的关系——他们是同构的。证明的关键就是与实流形的Poincare引理进行对照，把外微分算子d换成partial bar即可。