生成元

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  隐竹 (what do you want to do) 楼主 2008-10-01 00:44:39

  在别处得到的答案 The generators or a group are elements of a group from which all other elements of the group can be made by taking products of the generators. Sometimes they talk about infintesimal generators. I like to take things by expample. Without the mathematical rigor, for a rotation in a plane this is the matrix that corresponds to an infintesimal change in the angle of rotation.

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  Everett (╮(╯▽╰)╭~(=￣ U ￣=)~) 组长 2008-10-01 01:59:27

  这里提到两个不同意义的生成元: ------------------------------------------------- "The generators or a group are elements of a group from which all other elements of the group can be made by taking products of the generators. " 这是离散群的生成元。 ------------------------------------------------- "Sometimes they talk about infintesimal generators. I like to take things by expample. Without the mathematical rigor, for a rotation in a plane this is the matrix that corresponds to an infintesimal change in the angle of rotation. " 这是李群的生成元。力学中的生成元通常是指这一种。

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  隐竹 (what do you want to do) 楼主 2008-10-01 11:21:05

  是不是凡是旋转群我们都可以把它写成e指数的形式？为什么呢？

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  Nunc Dimittis (至末，未了。) 2008-10-01 11:44:46

  很大一类李群我们都可以写成e的指数形式. 这是一个定理, 细节看教科书.

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  隐竹 (what do you want to do) 楼主 2008-10-01 12:57:12

  o 这样 谢谢

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  Everett (╮(╯▽╰)╭~(=￣ U ￣=)~) 组长 2008-10-01 14:39:02

  简单的理解： 假设 U(θ) 表示转过 θ 角度的操作，那么当 θ 很小的时候，我们可以做Taylor展开： U(θ) = U(0) + U’(0) θ +... 其中 U(0) 表示转过0度，那就是不转动，那就是恒等操作，用1来表示；U’(0) 就是 dU(θ)/dθ 在 θ = 0 时候的值，从量纲上看，它当然也是一个操作，被记为 i T ≡ U’(0)。还给 T 取了个名字，叫生成元。然后物理学家喜欢把高阶项都扔掉，于是就记为 U(θ) = 1 + i θ T 然后有个人，他很无聊，他要把 U(θ) 作用到一个对象（比如说铅笔）上，一直作用 N 次。我们用 U(θ)^N 来表示这个操作。那么实际上就是把那个对象连续转动了 N 个 θ 角，所以应该等价于一个一次性转过 N θ 角的操作，也就是 U(N θ)， U(N θ) = U(θ)^N = (1 + i θ T)^N. 现在问 U(N θ) = ? 为了回答这个问题，我们在两边取对数， ln U(N θ) = N ln (1 + i θ T), 考虑到 θ 很小，对数又可以做Taylor展开：ln (1 + i θ T) = i θ T，那么就有 ln U(N θ) = i N θ T, 于是就得到了一个指数形式 U(N θ) = exp(i N θ T). ------------------------------ 做李群的牛人看到了不要骂我，我是学物理的。

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  隐竹 (what do you want to do) 楼主 2008-10-01 14:47:26

  呵 illumianting

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