四：变量的分布及典型模型
简要地说，概率分布就是以变量的取值为x轴，相应的概率为y轴而形成/绘制的一种图形
前面说过，社会统计学主要研究的变量类型是定类变量，而定类变量又可分为离散型随机变量和连续型随机变量；二项分布是离散型随机变量的典型模型，而正态分布是连续型随机变量的典型，下面予以详细介绍
一：二项分布
（一） 情境引入
连续掷质地均匀的骰子3次，正面只出现一次的概率是多少？
思路：穷举法/枚举法，事实上相当于古典概型（即基本事件发生的概率都相等）
三次投掷的结果互不影响，而正面仅出现一次，则要么第一次正面朝上，要么第二次或第三次。若用1表示正面朝上，0表示反面朝上，则一共的可能是：
000
001
010
011
100
101
110
111
但是，能不能进一步简化呢？可以；可以这样思考：题目仅要求正面出现一次，却并没有限定是在哪一次投掷中出现正面。于是，排列数与组合数派上了用场。（见补充一）
（二）N次独立试验中，如果每次试验只有两种可能结果，事件A发生的概率P(A)=p，事件A不发生的概率P( )=q(即1-p)，则n次独立试验中事件A发生次数 的概率分布为：
公式解读（请结合前面的实例进行理解）：
一种理解方式是：
事实上，在这么多情况中，其实可以用一个变量来把握：那就是p概率对应事件发生的次数（在前面的实例中，就是1出现的次数）
x，就是要求的事件中，x次单个事件发生的叠加，因为这n次试验中，每次的结果互不影响，因此是乘法关系，所以最重要的部分是
但是，不能漏掉后面的部分。一些人可能以为算出 就万事大吉了；不错，确实如此，但这是不完整的：至少有一条是：我们要进行n次试验，而你只进行了x次（x<n），就等于说试验还没有结束，是不完整的。那么在剩下的（n-x）次试验中，相应的概率就是（1-p），即q。也是乘法
最后，如果把 看作一个整体，那么， 就可以看作是权重；前面谈到过，组合数是与顺序无关的，而只根据 是不知道试验结果的分布的（以前面的例子来说，就是001和010在不考虑 的情况下，就是一种情况）
二：正态分布
自然界和人类社会中，受多个变量影响的因变量往往服从（或近似服从）正态分布。
为样本均值，
为标准差，
是方差
标准化（z变换）：
将每一原始变量标准化之后，新变量就服从标准正态分布。但要注意的是：z变换不能使非正态分布转化为正态分布，但是经过这样的变换后，
，
是成立的
不过，正态分布的y轴实际上并不是相应的概率，而是像直方图那样将频率除以组距所得到的（假定原始分布含分组）；
但是：前面提到过，正态分布的自变量是连续分布的，但分组的情况下并非如此；真正的正态分布是将组距无限细分得到的，其曲线因而是平滑的，称为分布密度曲线或概率密度曲线
那么，正态分布的概率怎么求？首先，求自变量落在某一区间的概率，就是用曲线在该区间下的面积（用积分的方法得出）与曲线下总面积（也就是1）的比值。因此，曲线的数值不表示概率，而曲线下的面积表示概率。
实际中一般不会求某一点的概率，因为其不具有实际意义，但并非不能求；如果笔者没有记错，相应的方法是求极限
经过z变换得到的数值，称为标准分，标准分为1，就表示该数值比样本平均值高出1个标准差
如果两个班考试成绩的均值、标准差都不相同，那么，经过标准化之后，可以进行比较。，因为标准化之后二者遵循相同的分布，例如：小明在班上有过两次考试，第一次考试，班级的平均分和标准差分别是80、5；第二次是75、10.而小明在两次考试中都考了90分，那么小明第一次考试成绩的标准分为2，第二次则是1.5，所以小明第一次考试的成绩更好
标准正态分布的具体数值由相应的工具表导出，其原理仍是积分；另外需注意的是：正态分布的图形是对称的；在二项分布中，如果p=q=0.5，那么它的图形也是对称的
3blue1brown有一个关于正态分布的作品，推荐
补充：
一．排列与组合
排列，即从n个元素中选择m个元素，且进行排序，排列数即表示有多少种可能结果；而组合与前者的区别是：组合中不进行排序，也就是抽出的元素相同，视作一种情况。因此，在下面的公式中可观察到：仅仅相差一个m！而已。这正是对抽出的m个元素进行全排列的结果数
全排列：
二．超几何分布
该分布见于高中理科数学，其模型亦不难理解
它与二项分布的区别是：可认为二项分布是“抽出且放回”，超几何分布是“抽出不放回”。
那么这意味着什么呢？抽出不放回时，超几何分布要受影响，因为它的样本量较小，抽出一个样本对下一次抽出个案时有影响。但二项分布不受影响：回想一下，二项分布的参数中，p表示某个比例，不论哪次抽取，都认为抽到的概率是一样的。因此，二项分布适用于大样本情况，超几何分布适用于小样本情况。实际上，在大样本情况下，超几何分布的结果与二项分布的甚为接近，甚至相等
三.多项超几何分布
四.三项分布及多项分布：二项分布之拓展
在二项分布中，
表示期望，可理解为平均值；据说概率论起源于西方社会的赌钱，是为了预测自己赢钱与否，期望值就是平价收益
表示方差
离散型变量的数学期望：
连续型变量的数学期望：
