未来十年学科发展战略——数学

一、基础数学

包括数论与代数、几何与拓扑以及分析三大部分。历史遗留的问题，如波奇和斯温纳顿－戴雅猜想（BirchandSwinnertonDyerconjecture）,Hodgeconjecture,Riemann假设和Yang－Mills量子理论等。

二、应用数学

包括常微分方程与动力系统，偏微分方程，概率论，组合论，运筹学。

待解决的问题：流体运动，从微观到介观、再到宏观的数学建模及其理论基础；纳维－斯多克斯方程的光滑性；P与NP问题。

三、计算数学与科学工程计算

高性能计算中的一些瓶颈问题。包括流体计算，电磁场计算，幅射物理计算，纳米计算和物理计算中的先进算法研究，多尺度模型的分析与计算，以及非平衡态的计算。

四、统计学与海量数据分析

高维数据、缺失数据和复杂结构数据的分析。

由复杂现象产生的海量高维数据开展“数据驱动”的研究。

五、数学与其他学科交叉的若干重大问题

包括蛋白组学，系统生物学，脑科学与认知科学，量子计算和量子调控，纳米材料，复杂系统的控制等。

六、重点研究方向：

1.数论与代数中的前沿问题。主要研究内容：Langlands纲领，算术代数几何，Riemann猜想，Diophantus逼近，超越数论，模形式，代数数论，Lie理论，群及其表示，代数K－理论，现代模论，微分算子代数，非半单代数的表示理论，群上调和分析，多元自守形式和多元超几何函数，代数组合论，代数编码等。

2.流形的几何与拓扑。主要研究内容：整体微分几何研究；流形上的度量的局部不变量与整体性质的关系。近年来物理产生的微分几何问题倍受关注，各种模空间的研究成为热点。

3.现代分析及其应用。主要研究内容：①复分析前沿交叉应用。复动力系统，拟共形映射与Teichmuller空间理论，值分布理论和正规族理论，共形不变量与Schramm-Loewer-Evolation,调和拟共形映射理论，Klein群理论，Circlepacking与离散几何、多复变函数论与复几何、自守形式。②算子代数与泛函分析交叉应用。不变子空间问题及其相关代数算子，非交换几何及其在几何、拓扑和物理中的应用，自由概率论及因子分类，Banach空间及算子空间理论，非线性泛函分析中的大范围变分及拓扑方法及其在偏微分方程中的应用。③调和分析前沿方法与交叉应用。经典调和分析，几何测度论，非交换调和分析，度量空间上的调和分析，小波分析，调和分析在微分方程中的应用，应用与计算调和分析及其在信息科学中的应用。

4.微分方程与动力系统的理论与应用。主要研究内容：非线性方程解的适定性、正则性和渐近性态，混合型及变型微分方程定解理论、高维双曲守恒律的激波理论、非线性（包括完全非线性）椭圆或抛物型方程定解理论，非线性波动理论，自由世界问题，非可积系统，散射理论和弥散效应等。动力系统的各种重要运动形式和定性理论与分岔理论，运动轨道的拓扑结构及稳定性，不变集和KAM理论，吸引子及分形和混沌理论等。

5.随机分析及应用。主要研究内容：倒向随机微分方程与非线性期望理论及其应用，拟正则狄氏型与马氏过程位势论及其应用，无穷维空间上的马氏过程理论及其遍历论，随机微分几何与无穷流形上的Malliavin分析及其应用，随机偏微分方程理论及其应用，随机微分方程与马氏过程在金融保险等学科中的应用；量子态的纠缠和量子不确定性的数学刻画；渗流、随机矩阵等模型下的随机分析理论与SLE理论（随机劳维纳演化）。马氏过程的大偏差理论以及极限理论等。

6.数据建模与分析。主要研究内容：因果网络构建，相依结构建模，数据采集新技术等。探讨各种复杂层次结构数据、时空数据等的统计分析及统计计算方法。在高维数据研究方面，着重研究降维与特征提取问题。探讨函数型、非参数降维和有效聚类与判别的新理论、新方法，探索大维随机矩阵的关键特征，寻求对模型维数进行惩罚限制的新的变量选择方法等。

7.复杂系统中的优化与控制。主要研究内容：非线性规划理论与方法，凸分析与变分理论，网络流，排队论与系统可靠性理论，马氏决策理论与对策论，组合优化多项式算法与连续化方法及启发式方法，随机模型的优化设计等；多个体系统集体行为及其干预与控制，复杂网络系统与复杂自适应系统建模，随机层面的优化与方法以及安全控制，非线性、分布参数型与离散事件型复杂系统的优化与控制的理论和方法等；综合集成的理论及其系统建模，综合集成的知识系统理论和支持技术，复杂系统的预测理论和方法等。

8.科学与工程计算的算法分析与应用。主要研究内容：多尺度建模，分析与计算方法，流体力学高精度（自适应）计算方法的设计、分析和程序实现。包括粒子输运问题的计算方法研究；高维电磁场数值模拟的新型计算方法，包括电磁散射问题的各向异性电磁场(涡流)问题的数学建模；生命科学中的计算方法，成像技术的理论与方法；适用于高性能计算机的并行计算方法、算法和软件实现技术，基础计算方法的创新与发展，包括新型有限元、自适应方法，谱方法，结构算法、优化问题的计算方法以及计算几何方法等。

9.复杂离散结构数学方法与应用。主要研究内容：代数组合，组合数论，离散几何与构造性组合学，代数图论、结构图论、拓扑图论和随机图论；图的Ramsey理论和着色理论；组合矩阵论；自由概率论和随机矩阵论中的组合方法；离散数学与物理学交叉，如角动量理论和Diamma-Monmer问题；离散数学与化学交叉，如RNA与DNA的二级结构的组合学研究；离散数学与计算机科学的交叉，如组合数学机械化与网络图论研究；离散数学在通信安全中的应用，如组合设计与传感器网络研究。

10.科学与工程中的反问题的理论分析及应用。主要研究内容：具有主要应用背景的反问题的数学模型的研究与解释；可测量的数据是否可以决定我们要求的未知量，即反问题的唯一性；反问题的稳定性（条件稳定性），尤其关注在符合实际条件的约束下的稳定性；反问题的稳定算法（正则算法等）以及数值实现。

11.确定与不确定现象的数理逻辑与数字机械化。主要研究内容：可计算理论与证明论，数理逻辑与计算机科学技术、数学机械化的交叉融合，数理逻辑与人工智能、认知科学的交叉融合，不确定性定性与不确定性推理的数理逻辑，不确定性数理逻辑与构造性数学，不确定性数理逻辑的时空演化性质，不确定性数理逻辑与自然语言逻辑、认知科学的交叉融合。通过数学机械化研究提高计算机处理数学问题的能力。研究重点包括符号计算，自动推理，代数、微分与差分方程求解的理论与高效符号算法，基于几何不变量的高效几何计算与推理方法，基于符号数值混合计算的可信算法，经典量子计算复杂性，计算数论及其在密码学中的应用，数学机械化方法在信息技术中的应用。

12.生命科学中数学建模与方法。主要研究内容：生物信息学中的数学问题，包括高通量生物工程技术中的数学问题和方法（如SNP芯片，下一代测序技术等），利用系统生物学策略和数据进行生物信息挖掘的方法（如疾病基因的预测，药物靶标预测等），生物信息中经典网络问题（如蛋白质结构预测和比对方法，蛋白质相互作用热点区域识别等）。系统生物学中的数学问题，包括分子生物网络的建模与方法（如分子生物网络的构建、分析、比较、控制、设计等），生命科学研究中涉及的复杂网络理论与方法，多层次异源生物数据集成的数学模型与方法等。

13.环境与能源科学中的数学建模与分析。主要研究内容：清洁能源技术（特别如制氢，燃料电池，太阳能转换，风能转换技术）的数学建模与模拟，运用数学建模与信息技术的数学基础，能源设备制造与能源输运中关键技术的数学基础与方法，转基因作物潜在生态风险的评估理论与数据分析，能源消耗对大气环境影响的数学建模与分析，水污染及其治理过程的定量描述与预测，我国人口增长对生态环境影响的数据建模与分析，化肥和农药对特定地区水体与土壤，特定生物影响的定性分析，某些特定污染物在空气、土壤、水、生物体之间转化的数学模型及人体危害的建模分析，基于数据建模对濒危物种监测与保护技术基础等。

14.管理科学与社会科学中的数学模型与方法。主要研究内容：经济金融系统的建模仿真、演化与危机的传导机理，其风险的定价、度量与控制；战略资源需求价格的定量预测、评估与监测预警系统的数学建模与分析；重大突发事件的非线性特征与数学描述；供应链网络管理布局的数学建模与求解、协调机制的数学刻画与分析、中断时风险的分析与计算；社会系统的协调管理机理的演化的数学刻画和分析；社会系统中网络联系的数学模型的建立与机理分析；社会科学研究中大量数据处理方法及其所提供的对于我国国情的统计分析和决策建议的依据。

15.传统支柱产业的改造更新与换代中的关键数学问题。主要研究内容：针对钢铁，石油，航空，机械，建筑等重要工程领域中的关键技术问题开展相关数据建模、分析与求解，为产业改造，更新和换代提供必要的数学支撑。

16.复杂连续介质动力学中的数学机理及应用。主要研究内容：复杂连续动力学方程整体解的适定性、正则性，渐近性态，奇性分析与传播，非线性波的运动，相互作用及稳定性，幅射磁液体力学的典型问题与分析，多尺度近似模拟及其动力学行为等。问题涉及非线性微（积）分方程，随机分析，数值模拟和科学计算，多相复杂流体，结构流变学，材料科学、环境科学、化工等学科。研究成果可以应用到高分子材料，生物力学与工程，幅射流体、能源科学、地球物理学、航空航天、相分离动力学等学科领域。

17.信息计算机科学中的数学的问题与方法。主要研究内容：新型信息获取技术的数学基础，压缩传感的数学理论与方法，信息安全的数学理论与方法，稀疏编码与稀疏信号恢复的数学理论与方法，面向特定领域的数据处理新方法与新理论，非结构化数据处理的数学理论与方法，数据集配准技术的数学理论与方法，机器学习的数学理论，多元异构信息融合的数学理论与方法。

18.经济预测与金融安全中的数学方法。主要研究内容：非线性数学期望理论，随机控制与随机博弈理论，正倒向随机微分方程的统计和计算方法，随机分析及不确定环境下一般均衡理论。

措施：1建立合理科学的评价体系；2.培养和稳定高水平的数学人才；3.建设一些有国际影响的研究基地；4.加大对数学学科的稳定支持；5.关注基础教育的重要性。加强国际交流与合作。