Crisis and Hesitation 2021/11/7

今天上午是直接睡过，玩了会手机去吃饭。一个喜欢的up主最近开始直播了，去刷了一下录播。吃完饭看了一个特别有意思的访谈视频。下午便投入美妙的拓扑学中。主要是连续映射的一个性质，有一种（sub- consistent）次保持性。对于，开集（定义），闭包（定义），拓扑基的开性（拓扑基不能保持的），连通性和紧性。

稍微回顾了一下上次的内容，证明紧集含有无限个点必有极限点。的证明很有趣。作者直接采用的排除法，假设没有极限点的紧集，必为有限个，采用了离散拓扑结构，以及有限覆盖，说明这样的集合有限。

今天最让我感到亮眼的是，连续映射对于连通性的保持来证明介值定理。毕竟以前的定理显得不那么自然。如果使用区间套我觉得应该是最trivial的。但个人认为，连通性才是最自然的证明。key point在于，正的值域的原像与负值域的原像，都是开集，可以说明都是内点（因为保号性，连续对局部施加的性质）。如果0不在值域内，那么两个非空开集的并就是一个连通的区间。这显然矛盾。我当时看到这个证明顿觉自然美妙，于是便试着尝试把这种也建立在epsilon- delta语言来证明一般特殊R空间上的f的介值定理（即数分书上的介值定理），其实关键还是在于连通性的叙述。绕不开这点，就算用方法其实也只是在换个说法彰显连通性而已。可以见得连通性在区间，连续映射之间的强大作用。

然后去吃了晚饭后，回来就没学习了。当时觉得巨困无比，于是玩了会手机等肚子消化后睡觉，结果从8点多睡到9点。又睡不着了。一直玩，等瞌睡，结果等到现在。明天还有早课，下次还是灵活一点，别太限制，困就睡，不困就学，小困就坚持呗，要么出去走走，不过这几天不敢出门毕竟疫情，对自己对他人负责。

考试也没有去着手复习，只是觉得拓扑的美妙。便不是很想去看考试的东西，感觉只是一些模仿，和一些不自然的东西。

明天还早课，害。