心理学考研312 | 心理统计：推断统计的数学基础
第一部分——考试大纲
第二部分——考点分析
综合来看，心理统计这一部分在统考卷中所占分值为35分左右，主要有10道左右的单选题、一道多选题（在74或75题考查），一道简答题或者是一道综合题。从曲线图中可以看到有四年的分值较高，说明这四年的综合题83题考查的正是统计部分的知识。简答题或综合题多数情况下考查统计的计算过程，有时也会考查统计的相关概念。
在该考点中，考查次数最多的就是“概率分布”，需要对正态分布、t分布、F分布、卡方分布等有很好的理解。
第三部分——知识考点
考点一：推断统计的数学基础
1、概率14.65
（1）含义：表明随机事件出现可能性大小的客观指标就是概率，有后验概率和先验概率两种。
（2）性质：任何一个随机事件A的概率都是非负的；在一定条件下必然发生的必然事件的概率为1；在一定条件下必然不发生的事件，即不可能事件的概率为0。
（3）加法定理：是指两个互不相容事件A、B之和的概率，等于两个事件概率之和。
（4）乘法定理：是指两个独立事件同时出现的概率等于该两事件概率的乘积。
2、概率分布07.63、08.79、09.46、09.56、09.75、10.63、11.63、12.51、13.49、13.50、14.58、16.51、16.52、18.58、19.58、20.43、20.55、20.57、21.56
（1）含义：概率分布是指对随机变量取值的概率分布情况用数学方法（函数）进行描述。
（2）类型：离散分布与连续分布；经验分布与理论分布；基本随机变量分布与抽样分布。
（3）正态分布
①含义：也称常态分布或常态分配，是连续随机变量概率分布的一种，是在数理统计的理论与实际应用中占有最重要地位的一种理论分布。心理与教育中大量现象均按正态形式分布，例如能力的高低，学生成绩的好坏，人们的社会态度，行为表现以及身高、体重等身体状态都属于正态分布。
②特征：正态分布呈对称分布，在正态分布中，均值、中数、众数相等。
正态曲线的形状像一口钟，两头小，中间大，大部分的原始分数都集中分布在均值附近，极端值相对而言比较少。
正态分布曲线中央点最高，曲线先向内弯后向外弯，拐点在±1个标准差处。两端向靠近横轴处不断延伸，但始终不会与横轴相交。
正态分布是一族分布，即其形态会随随机变量的均值和标准差的变化而变化。所有正态分布都可以经由Z分数转换成标准正态分布，标准正态分布的μ＝0，σ² ＝1，记作N（0，1）正态分布，具有固定的形态。
正态曲线下面积为 1，分布下包含了所有数据。
正态分布曲线下，标准差和面积有一定数量关系。±1个标准差包含总面积68.26%，±1.96 个标准差包含总面积的95%±2.58个标准差包含总面积的99%。
正态分布下各差异量数之间有固定比率。
③应用：化等级评定为测量数据；确定测验题目的难易度；按能力分组，确定人数；测验分数的正态化。
（4）二项分布
①含义：是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布，它是由贝努里创始的，所以又称贝努里分布，是指试验仅有两种不同性质结果的概率分布，可以说是两个对立事件的概率分布。
②条件：任何一次试验恰有两个结果；共有n次试验，n是预先给定的任一正整数；各次试验各自独立；某结果的概率在任一次试验中都是固定的。
③特点：
二项分布是离散型分布，p＝q时图形对称，p≠q时成偏态。若n很大，则二项分布接近于正态分布。
若二项分布满足np且nq≥5，二项分布接近正态分布，μ=np，σ² = npq，n为独立试验的次数，p为成功事件的概率，q＝1-p。
④应用：解决含有随机性质的问题，如10道判断题，判断答对多少道才能认为不是出于猜测。
（5）t分布
①含义：t分布是统计分析中应用较多的一种随机变量函数的分布，也叫学生氏分布，这种分布是一种左右对称、峰态比较高狭，分布形状随样本容量n-1的变化而变化的一族分布。
②特点：
t分布是以平均值0左右对称的分布，左侧t为负值，右侧t为正值；变量取值在-∞～+∞ 之间。
当样本容量趋于∞时，t分布为正态分布，方差为1；当n-1＞30时，t分布接近正态分布， 方差大于1，随 n-1的增大而方差渐趋于1。当n-1＜30时，t分布与正态分布相差较大，随 n-1减少，离散程度（方差）越大，分布图的中间变低但尾部变高。
（6）F分布
①含义：从两个正态分布总体中随机抽取容量为n1，n2两个样本，计算值，每个随机变量除以对应的自由度df1与df2之比，称为F比率，这无限多个F值的分布即为F分布。
②特点：
F分布形态是一个正偏态分布，它的分布曲线随分子、分母的自由度不同而不同，随df1与df2的增加而渐趋正态分布。
F值总为正值，因为F为两个方差之比率。当分子的自由度为1，分母的自由度为任意值时，F值与分母自由度相同概率的t值（双侧概率）的平方相等。
（7）卡方分布
①含义：从正态总体中随机抽取无限多个数量为n的随机变量，这些变量的平方和或者标准分数的平方和的分布即为卡方分布。
②特点：
卡方分布是一个正偏态分布。随每次所抽取的随机变量的个数不同，其分布曲线的形状不同，n或n-1 越小，分布越偏斜。df很大时，接近正态分布，当df→∞时，分布即为正态分布。
x²值都是正值。
卡方分布的和也是卡方分布，即分布具有可加性。
卡方分布是连续型分布，但有些离散型的分布也近似卡方分布。
3、样本平均数分布10.57、12.47、14.64、15.49、15.59
①抽样分布：又称取样分布、样本统计量的分布，指某种统计量的概率分布，它是根据样本（X1，X2，…，Xn）的所有可能的样本观察值计算出来的某个统计量的观察值的分布。常用的样本统计量分布有平均数及方差的分布。
②中心极限定律：对于任何均值为μ，标准差为σ的总体，样本容量为n的样本均值的分布， 随着n趋近无穷大时，会趋近均值为μ，标准差为σ/n½的正态分布。
③样本均值的分布：
当总体为正态，方差已知，样本均值的分布为正态分布；
当总体非正态，方差已知，但是样本足够大（n>30），样本均值的分布为渐近正态分布；
当总体为正态，方差未知，样本均值的分布为t分布；
当总体非正态，方差未知，但是样本足够大（n>30），样本均值的分布近似为t分布。
4、抽样原理与抽样方法08.59、11.57、14.75、15.51、20.44
（1）随机性原则：每个个体被选取的概率相等；进行返回取样，以保证每个个体每次被抽取的概率不变。
（2）抽样方法
①简单随机取样法：包括抽签法，随机数字法，适合总体数目较小，个体差异较小时用。最能体现随机化原则，但在大规模抽样时费时费力。
②等距取样法：又称系统抽样，适合总体数目庞大时用。抽样方法简单，样本代表性较强；但当总体具有某一种周期性变化时可能忽略已有信息。
③分层随机取样法：要求层内尽量同质，层间尽量异质，个体差异较大时用，按各层人数比例分配。
第四部分——必背大题
1、简述正态分布与标准正态分布的区别与联系08.79
