用几张图说清楚什么叫映射、转换、线性转换

映射，是数学中最重要的概念之一，线性代数研究线性映射，仿射几何、射影几何研究图形间的映射关系，而几何代数、向量微积分则研究更一般的映射关系。映射关系可以用集合论、线性代数和其它数学分支的代数表达式表达，但是不如图形更直观。

什么是映射：「映射」 (map) 也称作「转换」 (transformation)，几何中又称作「投影」(projection)、「仿射」(affine)，尽管后二者有微妙的区别。

电影胶片上的光点投影到大屏幕上

电影胶片上的每一个光点都可以在大屏幕上找到相应的像素，这就是映射。这样的映射没改变图形的「原貌」只是「放大」，这种操作在代数中称作「纯量」乘法。

将3D实体投射到2D的平面，

这种投射，不仅改变的原对象的大小（缩小），而且将三维对象「降维」为2D对象，用代数方法表示就是：ƒ(R³) = R²

2D图形「扭曲」

映射不仅可以改变大小、维度、还可以改变方向、角度。这种映射是从平面到平面的转换：ƒ(R²) = R'²。

线性转换——图形元素只有直线和点

如果映射前后的图形都是由直线构成，称作线性转换：ƒ(ax + by) = aƒ(x) + bƒ(y)。这个过程是这样的：

从一条线段转换为另一条线段

映射的一般形式：

根据映射两集合的元素对应状态，可分为：单射 (injective)、满射 (surjective)、双射 (bijective)，其它。

四种映射状态

它们之间的关系是