巴比奇之前的机械计算器
英国数学家查尔斯·巴比奇（Charles Babbage）借鉴提花机原理，在十九世纪早期发明了差分机（Difference Engine）和分析机（Analytical Engine），它们被视作现代计算机的雏形，巴比奇也被称为“计算机之父”。
在巴比奇取得成功之前，人类对于计数、计算机械的探索已经进行了200年，甚至更长时间，比如多才多艺的达芬奇也做过类似设计。
从帕斯卡和莱布尼茨，到斯坦厄普和巴比奇，几乎所有的机械计算器（calculating machine）在它们的制造者和旁观者眼中都是失败的。
——《Reckoning with Matter》
1621年左右，德国图宾根大学教授契克卡德（Wilhelm Schickard）为天文学家开普勒制作了一台以齿轮为基础的机器（Rechenuhr），用于简化月球轨道研究中的乘法运算。
照片是人们在1960年根据手稿重新制作的契克卡德计算钟。
契克卡德出生于德国南部的Herrenberg，这个小城碰巧我去过。他的这台计算设备被普遍认为是人类历史上第一台计算器，它支持六位整数计算。
计算钟上部近三分之二都是乘法器，主要由八根分别代表数值2~9的木条组成，它们可以横向移动。垂直面下部六个旋钮是加法器。契克卡德在齿轮转轴上为每个数字专门增加一个齿，数值达到10（即转了一圈）时这个齿就会驱动第二个齿轮，完成升位。这一机制现在仍在某些里程计、煤气表中使用。
不久之后，在1642年，法国著名哲学家、数学家帕斯卡（Blaise Pascal）成功推出了自己的计算器。它像个宝盒，可以进行加减法运算。
这台机器被称为帕斯卡加法器（Pascaline），发明它的时候帕斯卡还很年轻，并且他的初衷只是为了降低父亲税收工作的劳动强度。
后来加法器受到官方欣赏而得以推广，大概总共制造了50台左右，有两台保留到了现在。
如果觉得图片表达不够清楚的话，可以看看下面这个视频，它通过电脑动画全面展示了加法器的运作方式。
第一本关于机械计算机的专著出自英国数学家、发明家、外交家莫兰（Samuel Morland）。他的《The Description and Use of Two Arithmetic Instruments》出版于1973年，令人意想不到的是，其后160年间再也没有讨论计算工具的英文著作面世，直到巴比奇推出他的专著。
在1660年代，莫兰接连发明了三种计算机器，功能分别是乘除运算、三角运算和加减运算。其中的加法器做到了袖珍化，尺寸为122×71×8mm。
莫兰的加法器
莫兰书中的乘法器有个名字叫做Cyclologica，它是稍早出现的纳皮尔棒（Napier's bones）的一种变形。
莫兰的多重身份（他甚至做过间谍）反映了他非同一般的头脑。他在推广自己的机器方面比其他数学家更在行，并且也懂得制作者的价值，他总是提到那几个工匠并赞扬他们的手艺。
买主与工匠通过莫兰联系在一起，而在帕斯卡那里，他们是被隔离开的。
著名数学家、哲学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）对机械计算器也作出了自己的贡献。他研发的机器以阶梯轴Staffelwalze（stepped drum）为特色，轴上有九个长度递增的齿，第一个齿长度为1，第二个齿长度为2，以此类推。故此人们称莱布尼茨计算器为Stepped Reckoner。
从开始构思到1694年计算器定型，莱布尼茨用了20多年时间，其间他也研究了帕斯卡加法器。Stepped Reckoner是第一款可以进行加减乘除四则运算的计算器，机器尺寸670×270×170mm。
阶梯轴是莱布尼茨的一大贡献，在后来200年时间内一直有人使用它，有时它直接被称作莱布尼茨轮。
当年中国的康熙皇帝很喜欢算术，有位在中国传教的耶稣会传教士想送一台莱布尼茨计算器给康熙，但由于机器有太多齿轮，无法很快制作完成，莱布尼茨没能满足他的愿望。不过后来康熙还是得到了这台计算器，据推测应该是欧洲钟表匠到中国以后跟中国的工匠一起制作的。
莱布尼茨计算器齿轮复杂精密，对机械制造技术提出了极高要求，在找到钟表匠Ollivier并把制造工作交给他之前，莱布尼茨跑遍了整个巴黎。即便如此，在1716年他去世时，并没有任何一台原型机能够正常工作。
制作工艺不止让莱布尼茨一个人头痛，几乎每个发明机械计算器的人都在这方面花了些脑筋。
人们在使用机械计算器做计算时往往要扭动旋钮，通过齿轮传动得到最终结果。这意味着必须有足够的力量来转动也许很多个后续齿轮，光想想手就酸了。而且就算你手劲很大，能转动很多齿轮，它们本身却不一定够保证自己不被破坏。所以设计者必须充分了解制造工艺，必要时需要变通自己的设计。
契克卡德的文字里就透露了他的计算器操作如何受阻，后来人们重新仿制时也有这样的体会。
而帕斯卡为后人做了个示范。他巧妙利用了重力，设计出一种叉子形状的sautoir装置。在数值进位时，低位齿轮将sautoir抬起再落下，它的爪子推动高位齿轮。前面的视频里已有演示。
另一个例子来自英国政治家、科学家查尔斯·斯坦厄普（Charles Stanhope，1753~1816）。他陆续在1775年、1777年、1780年推出了三台机械计算器，其中前两台后来被巴比奇收藏，并传给了儿子。
斯坦厄普非常关注工艺细节，跟工匠的交流也很密切。他认为齿轮上的轮齿形状很关键，通过不断设计将原先的轮齿改造成了后来的平齿。
斯坦厄普出于对机器可操作性的重视，把机械原理与工艺、工匠结合成一体，具有那个时代机械发明家应有的务实态度。
斯坦厄普的机器也采用了阶梯轴，所以属于莱布尼茨式计算器。帕斯卡、莱布尼茨等先驱为后人提供了原型，更早的契克卡德也是。后来很多发明家的成果都在这些类型里面，其中宝盒状的最多。
还有一种原型特征也很鲜明，圆盘式的，像生日蛋糕。
德国牧师哈恩（Philipp Matthäus Hahn）在1774年设计了他的四则运算计算器，内部使用了莱布尼茨阶梯轴，上面是一个可以水平转动的手柄。
哈恩的计算器十八世纪末在德国取得了成功，变得广为人知。接着哈恩又研制了相对比较简单的加法器。
1780年代初，德国工程师穆勒（Johann Helfrich von Müller）因为计算工作需要开始研发计算器。他恰好看到了一篇介绍哈恩计算器的文章，就以它为样本发明自己的计算器，后来还被哈恩控告抄袭。
也难怪人家控告，穆勒计算器的外观形象很难不让人联想到哈恩。穆勒辩称他的机器针对哈恩机器的缺陷进行了关键改进，使得制作变得简单。
几乎与他们同时，甚至还要略晚一些，莱施欧德（Johann Reichold）也发明了类似的圆盘计算器，却没有陷入纠纷。
实际上这种圆盘式计算器在十八世纪二、三十年代就出现了，布劳恩（Anton Braun）已经制作过几个，并且取得了成功。
当然采用方盒外形的机械计算器仍是最多的。
第一款成功商业化的机械计算器是托马斯四则计算器，不出意外它是方盒状的。发明者托马斯（Charles-Xavier Thomas de Colmar）在军队工作时需要大量运算，后来他在1920年推出了自己的计算器。在此后半个世纪托马斯计算器持续生产至少1500台。
也有其他形状的计算器被发明，但数量远不能跟方盒相比。比如1709年Giovanni Poleni发明的钟形计算器，比契克卡德计算钟更像一座钟。尤其顶部特意加上的三角形，透露了发明者的基本认识——他一定觉得既然是精密机械，就该向钟表看齐。
十九世纪二十年代，巴比奇体积庞大的机械计算机诞生了，在功能上它们超过了其他小打小闹的计算器，向真正的计算机迈出了关键一步。但依然有大量新发明的小型计算机械不断涌现，在无需复杂计算的工作中，它们的简单小巧为自己争取了生存空间。
与巴比奇计算机并行的小型机械计算器比以往任何时候都多，并且呈现了更加丰富多彩的样貌。
事实上，在工业革命以后，受益于制造技术的爆炸式发展，仅十九世纪就有几十种机械计算器被发明出来。与今天的电子产品相比，它们固然显得相当笨拙，但运转机制的直观性以及机械零件的复杂性赋予了机械计算器较高的欣赏价值。
References:
- Jones M L. Reckoning with Matter: Calculating Machines, Innovation, and Thinking about Thinking from Pascal to Babbage[M]. University of Chicago Press, 2016.
- V闪闪. 没有芯片和程序的计算机——手摇式计算机[DB/OL]. [2019-04-10]. https://www.weibo.com/ttarticle/p/show?id=2309404359495395446052
- 逸之. 机械之美——机械时期的计算设备[DB/OL]. [2015-11-11]. https://www.jianshu.com/p/4f69217a58f8
- History of Computers网站：https://history-computer.com
- https://en.wikipedia.org/Wilhelm_Schickard; ~Samuel_Morland; ~Charles_Stanhope,_3rd_Earl_Stanhope; ~Stepped_Reckoner
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