20201229 初等函数的连续和可导
知乎上回答了一个问题:
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这部分有点偏题，但是我觉得你可能更需要这个，如果你是大一或者大二的学生的话。
ps: 关于分段函数是不是初等函数这个问题，原则上很多分段函数都是初等函数，但是如果这样考虑可导和连续，分类非常难受，(你往下看就能感受到)，所以这里把它丢在非初等函数里。这是为了让"初等函数在定义域内处处连续且处处可导"正确，求导和连续的问题能简单清晰得多，当然如果考试问概念啥的你记得把它薅回来。
pps: 关于初等函数是相对什么来说"初等"的这个问题，知乎有这方面的回答，我也是在知乎上看的。大概是说，初等函数并不相于高等函数，而是过去数学家们为了规范学术环境提出的概念。话说当年数学家们定义了很多很多函数，大家写论文开会的时候不知道自己的这个定义读者听众有没有学过，学的跟自己是不是一个版本，一个符号，讨论起来总是扯皮。大佬们觉得这样不行，就坐下来开了一个会，划分一类初等函数，一类非初等函数，前者默认是数学常识，看论文开会的人必须都会，而且把符号写法都固定下来，大家用统一的格式，后者默认是个性化内容，看论文开会的人都不会，所以无论谁使用非初等函数，都得在后面附上定义。
---------- 初等函数(定义域内连续且可导)六+不知道多少种: 常数，幂(幂的反函数还是幂)，指数，三角，(指数的反函数)对数，(三角的反函数)反三角+它们有限次数的复合或四则运算(复合函数比方说跟号下(3x^3)，函数的四则运算比方说(e^x)/(x^3)，x不等于0)
ps: 有一种"初等函数"是你以为它不是，其实它是，比方说x^x。
(工科微积分课本范围内)，非初等函数五种: 1一种是可以视为"初等函数+单独的点"，拼成的各种分段函数，比方说绝对值函数，取整函数，符号函数，电压函数....乃至你瞎jb定义的一个分段函数，(因为正常人真的不太可能想到下面三种情况)。 2一种是分段又不能当成1处理的函数，比方说在讲函数周期性的时候举的例子，用了狄利克雷函数，又比方说信号系统(另一门课)讲傅里叶级数收敛条件的时候举的例子，它长这样:
3一种是初等函数的积分(初等函数在定义域上一定有原函数)，积分是个很流氓的运算，经常积着积着就变成非初等函数，你公式分部换元三板斧搞完之后还积不出来的积分都是非初等函数，比方说讲二重积分的极坐标计算的时候举的例子，e^(-x^2)的积分。 4一种是作为方程的解出现的函数，比方说在电磁场学生看来(并不)臭名昭著的勒让德函数，贝赛尔函数，(虽然我们从小到大解了无数次方程，但是实际上没初等函数解是一般情况，有才叫意外)。
ps: 有一种"非初等函数"是你以为它不是，其实它是，比方说sinx，你规定定义域为从0到2的闭区间。这其实是分段函数，因为本质上是你瞎jb定义了一个f(x): x<0时f(x)=0，x=0时f(x)=0，0<x<2时f(x)=sinx，x=2时f(x)=sin2，x>2时f(x)=0。
--------- 然后回答问题
楼主说"对于初等函数，连续但不可导的情况"，那不好意思，只要把分段函数全丢到非初等函数里，初等函数"定义域内"处处连续且处处可导就是对的，(有导数为无穷大的点，但这不影响高阶导，在这一点仍可洛必达，泰勒)，不用纠结可导不一定连续的问题，(这本质上是因为求导真的是个有武德的运算，不像积分那样耍流氓)。 ps: 初等函数没定义的地方既不连续又不可导，比方说(1/x)sin(1/x)，x不等于0。x=0是一个震荡间断点，(你可以试试在x=0附近画图[狗头])，但哪怕是这种变态，它在定义域内也是连续且可导的！
楼主说"对于非初等函数，连续但不可导的情况"，这个在工科高数课本范围内只有两种: 1一种是可视为"初等函数+单独的点"的那种分段函数，你可以让它连续，但在定义域接口那个地方左右导数不存在或者左右导数不相等，就会不可导，(所以有"连续不一定可导"的说法) 2一种是函数项无穷级数(数列和)。比方说楼上提到的著名函数，(其实在点开这个问题之前我都不知道有这个魏尔斯特拉斯函数)，就可以看作是一个函数项无穷级数。 ps: 无限个初等函数的和不一定是初等函数，(但也可以是，比方说几何级数)，如果函数项级数的通项是初等函数，恰好处处收敛，其导函数也是初等函数，但导函数不收敛，就可以满足楼主的要求。
-------- 就没有了！反正我没翻到！ 如果还有那肯定是他们数院学生的事情，不听不听王八念经。
