《数学史概论》读书笔记

首先，这里先摘录《控制工程的数学基础》这本书的附录，数学发展简史，感觉概括得十分详细，简明扼要，可以对比《数学史概论》这本书一起学习。

宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,数学无处不在。——华罗庚。

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单地说，就是研究数和形的科学。数学发展史大致可以分为五个阶段。

第一个时期:数学形成时期(远古——公元前5世纪)

这是人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。

第二个时期:常量(初等)数学时期(公元前5世纪——17世纪)

也称为初等数学时期。形成了初等数学的主要分支:算术、几何、代数、三角。该时期的两大巨著:《几何原本》、《九章算术》。

第三个时期:变量(高等)数学时期(17世纪——19 世纪)

变量与函数的概念进入数学。解析几何、微积分、概率论、射影几何形成。大体上经历了两个决定性的重大步骤:第一步是解析几何的产生，由法国数学家笛卡儿和费马等人创建(1637年);第二步是微积分的创立,由牛顿和莱布尼茨等人创建。

到16世纪，封建制度开始消亡，资本主义开始发展并兴盛起来，在这一时期中，家庭手工业、手工业作坊逐渐地转化为以使用机器为主的大工业。实践的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究，因此对数学提出了新的要求。对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，在数学中产生了变量和函数的概念，数学对象的这种根本扩展决定了数学向新的阶段，即向变量数学时期的过渡。

勒内·笛卡尔（René Descartes，1596-1650)

费马(Pierre de Fermat，1601～1665）

变量数学建立的第一个决定性步骤出现在1637 年笛卡儿的著作《几何学》，这本书奠定了解析几何的基础，从而变量进入了数学，运动进入了数学，对此恩格斯指出：

“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了....。”

笛卡儿(Rene Descartes, 1596- 1650)，法国科学家、哲学家、数学家，1596年3月13日，生于法国西部的希列塔尼半岛上的图朗城，3天后母亲去世，从小便失去母亲的笛卡儿一直直体弱多病。 1649年10月，笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂娜的邀请来到瑞典首都斯德哥尔摩，为这位19岁的姑娘讲授哲学和数学,很遗憾由于笛卡儿对女王的生活习惯不适应，加上严寒冬天的威胁，这位伟大的数学家、物理学家和哲学家病倒了。1650年2月11日，这位科学巨人与世长辞了。

变量数学发展的第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼茨在17世纪后半叶建立了微积分。微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点，对此恩格斯是这样评价的：

“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一的功绩，那正是在这里。”

微积分的出现具有划时代的意义，时至今日，它不仅成了学习高等数学各个分支必不可少的基础，而且是学习近代任何一门自然科学和工程技术的必备工具。

艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日－1716年11月14日）

第四个时期:近代数学(19世纪中叶——第二次世界大战)

大致从19世纪中叶开始，是数学发展的现代阶段的开端，包括非欧几里得几何、抽象代数、复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、积分方程论、点集拓扑、组合拓扑等。

第五个时期:现代数学(20世纪40年代以来)

这个时期是科学技术飞速发展的时期，不断出现震撼世界的重大创造与发展。在这个时期里数学发展的特点是，由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进人到研究更抽象、更一般的形式和关系,数学各分支互相渗透融合。随着计算机的出现和日益普及，数学越来越显示出科学和技术的双重品质。20世纪初，涌现了大量新的应用数学科目，内容丰富，名目繁多，前所未有。数学渗透到几乎所有的科学领域里去，起到越来越大的作用。今天，在人类的一切智力活动中，没有受到数学(包括电子计算机)影响的领域已经寥寥无几了。从19世纪起，数学分支越来越多，到20世纪初，可以数出上百个不同的分支。另一方面，这些学科又彼此融合，互相促进，错综复杂地交织在一起，产生出许多边缘性和综合性学科。因此， 数学发展的整体化趋势日益加强，同时纯数学也不断向纵深发展。

21世纪的数学是量子数学的时代，或者称为无穷维数学的时代。量子数学的含义是指我们能够恰当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性丽数空间的代数。(原子能的应用，电子计算机的发明，空间技术的兴起)广义函数论、整体微分几何、非标准分析、微分拓扑、代数拓扑、代数几何、同调代数、模糊数学、计算数学、分形几何等。

数学发展第一时期与第二时期的主要成果，即初等数学中的主要内容已经成为中小学教育的内容。第三个时期的主要成果，如解析几何(部分已放入中学)、微积分(部分已放入中学)、微分方程、高等代数、概率论(部分已放入中学)等已成为高等学校理工科教育的主要内容。 那么数学的整体结构如何？《系统与控制中的近代数学基础》一书对数学进行了一个简单的刻画。

借鉴代数学的分类（初等代数、高等代数、近世代数），我们不妨把数学分为初等数学、高等数学、近代数学三个层次。

数学的三个层次

初等数学主要包括：初等代数、平面几何、立体几何、平面三角等。高等数学主要指微积分和线代代数（又称数学分析和高等代数、解析几何），工科学生更注重应用和计算训练。近代数学是步入数学研究门槛的一个重要标识，按照一般说法，它主要有三个组成部分：分析、代数和几何。代数指的是近世代数（抽象代数），几何以拓扑学和微分几何为主，分析指实复分析和泛函分析，在这三块内容的数学内部组合后，产生了许多数学研究分支，如代数拓扑、微分拓扑、李群、李代数、代数几何等等。。

近代数学

这里说的近代数学实际上只涉及了很少一部分，只是一个主线条，例如还未包括的：概率论与随机过程，虽然它与分析（测度论）联系密切（在柯尔莫哥诺夫体系下，随机变数就是可测函数，概率就是sigma代数上的有限测度等）但在理论和应用上已经如此丰富，很难再是分析的一部分，又如罗素所强调的逻辑推理对数学的重要性，这里也未包括，涉及的有离散数学和数理逻辑，还有像模糊拓扑等等，实在太多，难以详细。

又如按照《普林斯顿数学指南》里面讲，按照美国数学学会和四年一届的国际数学大会对数学分类的方法，大的领域有：数论、代数、分析、几何学、组合学、逻辑、概率论、理论计算机科学和数学物理。顺便一提，如果看完《数学史概论》感觉继续想看更仔细的话，可以参看《普林斯顿数学指南》第四部分“数学家传记”。

《数学史概论》笔记摘录：

了解历史的变换是了解这门科学的一个步骤。——陈省身

读者评语：如果说数学教程对我们是圣装而来，里面的定理到定理的推导是骨架，那么数学史就是血肉，为历史上重大的数学概念的发现提供方法和参考，我们的目标是褪去绚丽的外衣，透过定理和数学史窥探数学的本质。

0 数学史——人类文明史的重要篇章

数学史研究什么?——数学概念、数学方法和数学思想，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。

不了解数学史就不可能全面了解数学科学。

莱布尼兹：“知道重大发明特别是那些绝非偶然、经过深思熟虑而得到的重大发明的真正起源是很有益的。这不仅在于历史可以给每一个发明者以应有的评价，从而鼓舞其他人去争取同样的荣誉，而且还在于通过一些光辉的范例可以促进发现的艺术，揭示发现的方法。”

庞加莱认为：“如果我们希望预知数学的将来，适当的途径是研究这门学科的历史和现状。”

外尔也讲道：“除了天文学外，数学是所有学科中最古老的概念、方法和结果，我们不去追溯自古希腊以来各个时代所发现与发展起来的概念、方法和结果，我们就不能理解前50年数学的目标，也不能理解它的成就。”

数学的文化特征：

首先，数学的概念是抽象的，而且数学的方法也是抽象的，从古希腊时期其，数学就具有严密的逻辑推理过程。

其次，数学具有一般性的算法倾向。注：作者评语：缺乏演绎论证的算法倾向，与缺乏算法创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。

最后，数学具有艺术特征。它以简洁与形式完美为目标的追求，是理性化的哲学产物。

不了解数学史，就不可能全面了解整个人类文明史。

数学早期主要是从数与形的角度来研究现实世界，直到19世纪（尤其后期），数学转为研究数与形、运动与变化，以及研究数学自身的学问。从而美国数学家们在20世纪80年代对数学定义是这样描述的：

“【数学】这个领域已被称为模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。”

“模式”这一次将以往的数与形、运动与变化、推理与通信、行为等模式高度概括，既可以是现实的，也可以是抽象的，既可以是定量的，也可以是定性的。

数学史的分期：（注意与最前面我们那里不同）

1、数学的起源于早起发展（公元前6世纪前）

2、初等数学时期（公元前6世纪——16世纪）

（1）古代希腊数学（公元前6世纪——6世纪）

（2）中世纪东方数学（3世纪——15世纪）

（3）欧洲文艺复兴时期（15世纪——16世纪）

3、近代数学时期（或称变量数学建立时期，17世纪——18世纪）

4、现代数学时期（1820'——现在）

（1）现代数学酝酿时期（19世纪中叶，1820'——1870）

（2）现代数学形成时期（1870——1940’）

（3）现代数学繁荣时期（或称当代数学时期，1950——现在）

数学的起源于早起发展：

1、数与形的产生：结绳记事和来自自然界的三角、圆等几何形状；

2、古埃及数学和美索不达米亚数学：莱因德纸草书和莫斯科纸草书、泥板文书。

初等数学时期：

1、古代希腊数学：论证数学的开端，泰勒斯与毕达哥拉斯——>芝诺、柏拉图、亚里斯多德——>欧几里得——>阿基米德——>阿波罗尼奥斯（圆锥曲线论）——>衰落（唯一海伦公式）和三角学创立——>尼科马克斯（算术入门：早期的数论）和丢番图。

2、中世纪的中国数学：《周髀算经》和《九章算术》——>《算经十书》——>宋元数学（四元玉鉴）——>衰落

3、印度和阿拉伯数学：《绳法经》——>《代数学》，主要是三角学和代数学进步了一点，几何学就是翻译了希腊的，然后传播到了西欧。

近代数学时期：

1、中世纪的欧洲：主要是在翻译希腊、阿拉伯、中国和印度的数学著作；

2、文艺复兴时期：斐波那契数列——>代数学的发展（伟达的符号化体系）——>三角学（从天文学独立）——透视学到射影几何——>对数的发明；

3、解析几何的诞生：笛卡尔和费马，这里推荐看《数学恩仇录》这本书对应的章节，讲得非常详细；

4、微积分的创立：解析几何是代数与几何相结合的产物，那么微积分就是运动和变化的定量描述；

微积分的主要特征是：微分和积分的互逆关系。

微积分的深化：欧拉、伯努利家族、达朗贝尔、拉普拉斯、拉格朗日、柯西等等。

18世纪的发展主要是：1、积分技术和椭圆积分；2、微积分向多元函数的推广；3、无穷级数理论；4、函数概念的深化；5、微积分严格化的尝试；

还有就是微积分的应用与新分支的形成：1、常微分方程；2、偏微分方程；3、变分法；

几何与代数：1、微分几何的形成；2、方程论；3、数论发展；

从而引来了三大突出问题：

1、高于四次的代数方程的根式求解问题；

2、欧几里得几何中平行公理的证明问题；

3、牛顿、莱布尼兹微积分算法的逻辑基础问题；

在19世纪初，人们对于以上三个问题表现得相当热烈，从而数学进入了一个前所未有、突飞猛进的时代，分别以代数、几何、分析这三大领域的变革为突破点。

代数学的新生：

1、代数方程的可解性与群的发现：阿贝尔——>伽罗瓦——李群；

2、从四元数到超复数：复数解析了平面向量问题，但没解决几个不同方向的力的作用——>哈密顿的四元数——格拉斯曼的超复数；

值得一提的是：维尔斯特拉斯证明了：有有限个基元素的实系数和复系数线性结合代数，如果要服从乘积定律和乘法交换律，就只有实数代数和复数代数；

3、线性代数：它源于线性方程组的求解，行列式理论（柯西和雅可比）——>矩阵代数（凯莱和西尔维斯特，若尔提出了标准形，弗罗贝尼尔斯提出了秩的概念）；

矩阵所表征的线性变换已成为线性代数的中心对象之一，它同样不满足乘法交互律，它与四元数、超复数、向量等成为代数抽象化的重要推动因素。

4、布尔代数：布尔——>斯罗德——>弗雷格——>皮业诺和罗素、怀黑特；

5、代数数论：高斯——费马——戴德金；

几何学的变革：

1、欧几里得平行公设：欧几里得——兰伯特结束；

2、非欧几何：高斯——罗巴切夫斯基——黎曼——克莱因——庞加莱；

3、射影几何：帕斯卡——蒙日——庞思列——莫比乌斯和普鲁克——斯陶特和克莱因；

4、拓扑学：几何学的部分统一（克莱因和希尔伯特）——>公理化方法；

分析的严格化：

1、柯西与分析基础：今天我们所学的微积分现代版应该大部分都是柯西的工作；

2、分析的算术化：维尔斯特拉斯提出要实现分析的严格化，必须要先进行实数的严格化；

3、集合论的诞生：康托尔，值得一提的就是连续统假设；

4、分析的扩展：复分析：欧拉——柯西、黎曼、维尔斯特拉斯；

解析数论：契比雪夫——黎曼——阿达玛、瓦莱普桑（应用整数理论，证明了素数定理）；

数学物理与微分方程：偏微分方程：傅里叶——格林——麦克斯韦；值得一提的是关于微分方程的解讨论产生了一系列的成果：解的存在性问题、解的唯一性问题、与奇点相关的问题、推广到复数域的问题；主要后面是庞加莱的成果；

20世纪的纯粹数学：

一个是围绕希尔伯特的23个问题研究，另一个是数学的统一化，比如前者有：实变函数论、泛函数分析、拓扑学和抽象代数、公理化的概率论；后者有：微分拓扑、代数拓扑、整体微分几何、动力系统等；

20世纪的应用数学：

各个学科的交融，这里不细说；

—END！