一个统计学上的悖论

本文由公众号 “把科学带回家” 提供 给孩子最好的科学教育作者 七君

我们平时在做重大决策的时候，比如择校啊，选专业啊，总是会参考这些比较对象的硬指标，比如它们的录取率啊，就业率啊等等。像是，哪个学校的就业率高，我们就会去报考这个学校。统计数字可以帮助我们了解这些比较对象的优劣，让我们做出明智的决策。不光是个人，公司和国家也是这样做决策的。那么这样做对吗？其...实...不...对今天我们就来介绍一个让人非常头疼，但非常有用的悖论，它会告诉你，很多时候统计数字相当不可靠，特别容易误导人。先来看一个假设的例子。

小明生了慢粒白血病，她的失散多年的哥哥找到有2家比较好的医院，医院A和医院B供小明选择就医。 小明的哥哥多方打听，搜集了这两家医院的统计数据，它们是这样的： 医院A最近接收的1000个病人里，有900个活着，100个死了。 医院B最近接收的1000个病人里，有800个活着，200个死了。 作为对统计学懵懵懂懂的普通人来说，看起来最明智的选择应该是医院A对吧，病人存活率很高有90%啊！总不可能选医院B吧，存活率只有80%啊。 呵呵，如果小明的选择是医院A，那么她就中计了。 就这么说吧，如果医院A最近接收的1000个病人里，有100个病人病情很严重，900个病人病情并不严重。 在这100个病情严重的病人里，有30个活下来了，其他70人死了。所以病重的病人在医院A的存活率是30%。 而在病情不严重的900个病人里，870个活着，30个人死了。所以病情不严重的病人在医院A的存活率是96.7%。 在医院B最近接收的1000个病人里，有400个病情很严重，其中210个人存活，因此病重的病人在医院B的存活率是52.5%。 有600个病人病情不严重，590个人存活，所以病情不严重的病人在医院B的存活率是98.3%。 画成表格，就是这样的——

你可以看到，在区分了病情严重和不严重的病人后，不管怎么看，最好的选择都是医院B。但是只看整体的存活率，医院A反而是更好的选择了。所谓远看是汪峰，近看白岩松，就是这个道理。

这让人很抓狂。万一我们真的患上了什么病，又遇到了这种类似的情况，岂不是会让自己掉坑里？大韩民国这么多小明就是因为这个原因去世的吗？到底这是怎么回事？实际上，我们刚刚看到的例子，就是统计学中著名的黑魔法之一——辛普森悖论（Simpson's paradox）。辛普森悖论最初是英国数学家爱德华·H·辛普森（Edward H. Simpson）在1951年发现的。辛普森悖论就是当你把数据拆开细看的时候，细节和整体趋势完全不同的现象。

辛普森悖论：同一组数据，整体的趋势和分组后的趋势完全不同。

从统计学家的观点来看，出现辛普森悖论的原因是因为这些数据中潜藏着一个魔鬼——潜在变量（lurking variable），比如在上面这个例子里，潜在变量就是病情严重程度不同的病人的占比。

辛普森悖论在日常生活中层出不穷。最著名的辛普森悖论的实例，就是1973年加利福尼亚大学伯克利分校性别歧视案的例子。

加利福尼亚大学伯克利分校

大家从表格里可以看到，如果只看整体录取率，那么男生的录取率是44%，女生的是35%。不求甚解的话，一般人肯定会得出这样的结论——女生被歧视了。打算申请这所著名大学的女生要是看到这样的数据，八成肺都气炸了。

你可以看到，在6个院系的4个里，女生的录取率大于男生，女生只在2个院系里容易折戟。加利福尼亚大学伯克利分校的统计学教授 Peter Bickel 后来发现，如果按照这样的分类，女生实际上比男生的录取率还高一点点。Bickel 认为，在这个案例中，辛普森悖论出现的原因是，女生更愿意申请那些竞争压力很大的院系（比如英语系），但是男生却更愿意申请那些相对容易进的院系（比如工程学系）。辛普森悖论真是太奇怪了。

再比如这个经典的佛罗里达死刑悖论。1991年，科罗拉多大学的统计学家 Michael L. Radelet 和东北大学的社会学研究院主任 Glenn Pierce 重新查看了1976-1987年间美国佛罗里达州的谋杀案的审判数据，发现了重大的司法不公正事件。从归总的数据来看，佛罗里达的法官在审判的时候并没有偏向白人，因为白人嫌疑人的死刑率甚至还比黑人高一些。

现在你可以很明显地看出，不管被害人是什么种族，黑人比白人更有可能被判死刑。这还不算。分类后的数据显示，如果受害人是白人，那么嫌疑人就更容易被判死刑。如果被害人是黑人，嫌疑人被判死刑的可能性很低。种族歧视昭然若揭啊。

所以，我们要怎样才能避免辛普森悖论呢？答案是…很难。不少统计学家认为，辛普森悖论的存在，让我们不可能光用统计数字来推导准确的因果关系。因为数据可以用各种各样的方式分类，然后再进行比较，所以理论上潜在变量无穷无尽，你总是可以用某个潜在变量得到某种结论。而且对于那些不怀好意的人来说，他们很容易对数据进行拆分或者归总，得到一个对自己有利的指标，从而来迷惑甚至操纵他人。医学和社会学的研究者也常常会遇到辛普森悖论，从而得出错误的结论。

辛普森悖论完美地阐释了这句古老的哲学寓言：“假如一棵树在森林里倒下而没有人在附近听见，它有没有发出声音？”如果有一个邪恶的潜在变量逃脱了你的眼睛，那么统计数字得出的结论还可信吗？我们能做的，就是仔细地研究分析各种影响因素，不要笼统概括地、浅尝辄止地看问题。什么，你要我举个利用辛普森悖论操纵别人的例子？很简单啊。那些常说“我是聪明的小朋友里最漂亮的，漂亮的小朋友里最聪明的”小孩，一般都是既不_____，也不_____的。