波利亚《数学分析中问题与定理》

什么是好的教育？系统地给学生自己发现事物的机会。 （摘自 H.Spencer) …… 传授有关知识对我们来说是次要的事情。我们首先要养成读者的正确态度、加强某些思维训练，这些在数学中无疑比在其他科学领域中更为重要。 我们不可能详细地制定最有效的思维方法的一般规律。即使可能建立这些规律，它们也不会是很有用的。人们不在于从理论上去熟记这些正确的规律，而应该使其渗入自己的血肉以备随时和本能地加以应用。因此对于培养一个人的思维能力来讲，只有思维的训练才是真正重要的。独立解决一些难度高的问题对读者的帮助远超过下文提到的一些行之有效的经验之谈，不过在开始阶段照它做并不会带来什么坏处。 人们力图这样去理解一切：孤立的事实，将它与有关的事物作对照；新的发现，将它与已熟知的知识相联系；不习惯的，与习惯的相类比；特殊的结论，加以推广；一般的结果，给予适当的特殊化；复杂情况，分解为组成部分；细节，通过概括，获得全貌。 熟悉一个城市与熟悉一个知识领域有类似之处。一个人必须能从任何的给定地点到达任何其他地点。如果他能很快选择一条最方便或最快的路径从一个地点到另一地点，那么他可算是相当熟悉了。如果他是非常熟悉的话，他甚至还能搞出点新花样，例如进行一次远足，自始至终避免走某些平时常走的路——这种事情会发生在一些公理的讨论中。 借零星的认识去构造完美的知识整体与用未经加工的乱石建筑一道墙也有类似之处。人们必须把每个新的认识象对每块新的石头那样翻来复去地从各方面观察它，把它试放到所有可能的位置上去，直至新的东西在已建成的部分中找到它最合适的位置，使得接触面尽可能大而裂缝尽可能小，从而形成整个坚固的结构。 直线是由两点确定的。类似地，许多新的结果是通过在两个极端情况之间的一类线性插值的方法得到的。一条直线也可以由一个方向和一个点所确定。新的结果也常可以从一个值得注意的特殊情况与某人工作方向的巧合中产生出来。平行引伸也是得到新结果的有效方法。 一个想法使用一次是一个技巧，经过多次使用就可成为一种方法。在数学归纳法中求证的结论和为了证明它所能动用的手段是成比例的。它们的比为 n+1 比 n。因此加强求证的结论也可能带来好处，因为与此同时我们也加强了证明过程中可以动用的手段。在其他场合也出现这种情况，即较一般的提法比起特殊的结果可能更容易证明；在这种情况下最重要的成就应该是建立更一般的论述，提炼本质的东西，掌握完整的情况。 “Qui, nimium probat, nihil probat.”（拉丁文原意是“谁检验一切命题，谁就什么也没有检验”）不过人们应当带着怀疑的心情审查每个证明，看看是否所作的假设在论证中都已用上了。人们应当试图从较少的假设得到相同的结论，或者从相同的假设得到较强的结论，仅当找到了反例表明已达到可能的极限时才应当满足。 然而人们决不能忘记有两类推广：一种是容易取得的，一种是有价值的。一种是用稀释的办法来加以推广，另一种是用集中的方法来加以推广。稀释意味着在大量的水中把肉煮成淡汤；集中意味浓缩大量营养物质为精华。在通常的观点下似乎是互不相关的概念得到统一便是集中。例如群论浓缩了过去散布于代数、数论、几何中似乎是非常不同的概念。用稀释进行推广的例子是更容易找到了，不过举这种例子是很容易伤感情的。