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追本溯源——探索几何学设计

开课吧 2017-11-30 17:20:19

转自：网易UEDC

几何学是一门研究形的科学，以人的视觉思维为主导，培养人的观察能力、空间想象能力和洞察力。它本是数学领域的一个分支，与设计看似没有什么交集。本文将会从理性的角度，剖析设计背后的几何原理，用平实的语言表达晦涩难懂的数学，用数学阐释设计。

蜂窝猜想

蜜蜂被誉为动物界最勤劳的物种，殊不知，它们也是这世上最懂得“偷懒”的动物。四世纪古希腊数学家佩波斯提出，人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。当时的数学发展还很落后，这一猜想1600年以来，无人能证明。

直到20世纪末，美国数学家哈勒斯在考虑了每一个蜂窝周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最小。周长最小，意味着筑巢时采用的蜂蜡也最少。这个证明被他放在了互联网上，证明过程有19页之长，直到2001年，他对证明又进行了补充使之完善。

此后，蜂窝猜想变成了蜂窝定理：以同等面积的图形对一个平面进行分隔，周长为最小的几何形状是蜂窝状的正六边形。而蜜蜂筑巢的这一行为，也被誉为“最有效劳动的代表”。

艺术细菌——粘液菌

我们都知道，两点之间，线段最短，但如果很多点呢？怎样连接才是最有效率的做法？这就引出了我们第二位主角——粘液菌。这里称它为细菌不是很严谨，它是一种有机生命体，一些特征与真菌类似，其他特征与原生生物类似。它们没有大脑，在腐烂的木头、湿地上蔓延，摄取细菌和腐烂的蔬菜。（敲黑板！）没有大脑意味着什么，意味着它们不能思考，所有行为仅受本能支配，科研者却对这种无脑生物产生了浓厚的兴趣。

研究者拿粘液菌做了一个实验。实验中，他们将粘液菌最喜欢的食物——燕麦片放置于琼脂板上，并标明东京周围各个城市节点，在东京这个节点上注入粘液菌。然后观察它们的扩散方式。

可以看到，实验开始后，群菌开始向四周蔓延开来，8小时后，形成了许许多多的脉络，这是它们输送营养的管道。随着实验的进行，大部分的脉络开始退化消失，只留下几条清晰的管道。最后，它们连接了所有节点，只留下最清晰有效的线路。

实验结果人们发现，这些脉络和东京现今的城市交通规划有很多相似之处，有些甚至要更合理。

这些菌群没有大脑，但它们为了生存，只能寻找路途最短的管道为母体输送营养。正是这种求生的本能，给我们的交通规划者们带来了巨大灵感。在设计城市公路时，优先需要考虑的是主干道的效率，这个道路越短意味着效率也最高。在这一方面，人类和细菌达成了共识，我们都在寻找效率最高的设计方案。如果我们在设计之初，考虑了让粘液菌也参与进来，会不会比现在的设计规划更便捷、更有效率。

黑胶唱片

说起黑胶，很多人并不感到陌生。热衷于模拟录音的音乐发烧友，收藏黑胶是他们表达对音乐热爱的一种“奢侈”的方式。黑胶相比于现代的CD，有着不可替代的优势——漂亮的唱盘、高贵的唱片机以及所传达出的独特的情感。

想要了解黑胶艺术，仅靠听是不够的，它背后的发声原理同样值得我们去一探究竟。

唱片表面有着一圈圈细致的拉丝工艺，这可不仅仅是为了美观。放大看，其实是呈螺旋线状的声槽，音频信号就记录在这里。声槽由外到内有四个部分组成，顺序为：导入槽、声槽、过度槽、导出槽和终止槽。唱针由导入槽引入声槽，乐段之间有若干秒的无声的过度槽，过度槽螺距也较宽，用肉眼可以分辩。声槽的末端与导出槽相接，乐曲结束后唱针由导出槽引至终止槽。最后终止槽是一个闭环设计，它可以让唱针停留原地。

这一过程过程中，声音依靠唱针读取（即磨擦）唱盘的沟痕两侧，通过磨擦所产生的震动借由针杆传回唱头，继而产生磁电转换输出电流；再将这些电流转换成电压形式，输入到前级，再经过等化线路还原，继续进入信号放大部分，最后经由喇叭播放出音乐。

这里我们可以思考一个简单的问题，为什么传统意义上的黑胶唱片通常采用圆盘的设计？

相同运动轨迹直径内，圆的面积最大，存储信息量最大

圆在静止和工作时面积相同，不占空间

同心圆设计，便于旋转和拿取

永不松动的螺母

中国的高铁取得了令世界刮目相看的成绩，然而，小小的螺母却不得不采用进口的。因为高铁运营时，高速行驶的列车和铁轨不断接触，形成的震动非常大，一般的螺丝在这种震动中会被震松震飞，导致严重的交通事故。不想被震飞，就需要螺丝和螺母严丝合缝、永不松动才行。

这个要求看起来很简单，但是要满足它并不容易。大家想，世界上做螺丝螺母的企业可以说是多如牛毛，但是能生产这种永不松动螺母的企业有几家呢？只有一家，来自日本的哈德洛克工业株式会社。

让我们挖掘一下它的设计思路。原理很简单，在螺丝和螺母之间，打入一个梯形的楔子，可以起到牢固的效果。如果将螺母一分为二，再把其中一个螺母当作楔子使用，就可以起到加固作用。

顺着思路，继续往下。左边是一分为二的螺母，上方我们叫凹螺母，采用了一个同心圆的设计，对应左图蓝色的部分。而下方我们叫它凸螺母，它采用了偏心圆的设计，对应左图红色的部分。可以看到，红色圆环的内外圆心并不在一条直线上。当我们把两个螺母拧到一起，也就是两个圆环重叠时，势必会产生错位。而螺母想要拧紧，就必须克服这种错位带来的巨大阻力。这种阻力，就是它永不松动的原因。

可能这样说还不够直观，我们把它们的关系想象成红酒瓶和软木塞，尺寸匹配的软木塞可以刚好打进瓶口里，并且轻松地拔出来。如果换成更大尺寸的软木塞（相当于错位的螺母），就需要用更大的力气才能打进去，一旦打进去，再想拔出来也同样需要很大的力量。这种阻力带来的自紧力让它们彼此间很难松动，这就是几何的力量。

有的人可能会有疑惑，人家把这种螺母的原理和结构都明白地告诉你了，为什么还说能够生产这种螺母的只此一家。因为实际的生产还需要特殊的经验和技术。没有千万次试错的精神，就是琢磨透了原理，也无法仿制出同样的螺母。日本的很多企业都有这种怎样学也学不会的独一无二的技术。

斐波那契与兔子数列

讨论几何学设计，一定会提到的人就是斐波那契。这位意大利数学家提出过这样一道有趣的数学题：

问：兔子在出生两个月后，就具备繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

起初，我们拥有一对兔子。

过了一个月，这对兔子还不具备繁殖能力，所以还是一对。

又过了一个月，这对兔子生了一对小兔子，现在有两对。

再过去一个月，老兔子继续生小兔子，而小兔子还不具备繁殖能力，所以有3对。

……以此类推。

一年后，我们一共有了233对兔子

我们发现，这个数列有一个共同的规律，两项之和可以得到后一项，这对任何一项都是成立的。最后，在数列最前面补一个0。

我们就得到了这样的一个数列，这个数列被称作斐波那契数列也叫黄金数列。大家可能都想到了黄金分割比、黄金螺旋线。那他们是如何产生联系的？让我们继续往下看。

取数列的末两位，求144和233的比值，我们得到的结果是0.618025751……

随着斐波那契数列项数的增加，前一项与后一项之比将越来越逼近黄金分割比（φ），这也是为什么这个数列被称为黄金数列的原因。

在数学中，黄金分割比（φ）≈0.618033988749894848204586834...

它是一个小数点后无限不循环的无理数

如果我们把这一个个数，用正方形代替，会得到这样一个几何图形。当我们以正方形的边长为半径画圆，便会得出这条著名的黄金螺旋线。

这条线不是玄学，大家可能都知道，自然界很多生物上都能找到这根螺旋线，比如鹦鹉螺、向日葵等等，但未必很了解它们为什么会长成这样。

斐波那契与向日葵

植物懂得斐波那契吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。人们发现向日葵会按照斐波那契弧线去排列种子。这似乎是植物排列种子的“最优化方式”。它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。但这个猜测，数学不能证明。

当然，数学无法解开的问题，交给计算机去做就好啦。

这是计算机模拟向日葵的仿真实验，实验中，我们把发散角设置为圆的黄金分割比（φ），使它的排列方式呈现斐波那契螺旋线。而这里的每一个点代表了向日葵等大的果实（瓜子）。

大家可以看到，这里的每一个点代表了向日葵等大的果实，我们从这种排列方式中，很容易找出一条条的螺旋线。有心的同学可以数一下，红色顺时针的螺旋线，一共出现了21条，逆时针的螺旋线，一共出现了34条。完美契合了斐波那契数列的第九位和第十位。

当我们把发散角放大或是缩小一点点，圆点间都会出现间隙，从而导致不能最大程度利用空间。这个实验向我们证明了，以斐波那契弧线排列的向日葵种子，是它们最有效利用空间的方式。

自然界懂得运用螺旋线的植物还有很多，向日葵只是其中之一，这里不再一一列举。

黄金分割骗局

黄金分割比（φ）的价值在许多地方得到了证实，他像神话一样屹立在美学神坛上。但它真的适用于所有的场合吗，我们说也不完全是的。

早在03年，索尼就已经推出了16:9的显像管电视，当时售价达到一万元。随后市场上涌现出一批16:9，16:10的显示屏，与此同时，商家打着更符合黄金比例、更符合人体工程学设计的广告，大肆宣传宽屏的好处，逐渐淘汰了4:3的屏幕。

问题来了，既然16:10比16:9更接近黄金分割比（φ），为什么没有成为主流？

想要解释这个问题，需要我们先解一道数学题。

这里有两块同样15英寸的屏幕，一块16:9，一块16:10，这两块屏幕等大吗？

是否等大我说了不算，得数据说了算。

我们可以通过测量或是勾股定理，得出他们的长宽。左边的屏幕长13英寸，宽7.3英寸。而右边的屏幕长12.7英寸，宽7.9英寸。知道了长宽，就可以求他们的面积。左边蓝色的屏幕我们得到的面积是96平方英寸，右边红色的屏幕我们得到的面积是101平方英寸。

大家可以看到，同样“尺寸”的电视，16:9比16:10足足少了5%的有效面积，对于液晶电视刚起步时，这5%的成本节省让商家尝到了甜头。越来越多的商家愿意推出16:9的电视，市场也接纳了这种“性价比”更高的比例。随着越来越多的电影、节目源采用16:9的比例，直到最后国际组织统一了节目源，让16:10的屏幕慢慢被推向了市场的边缘。但仍然存在一些良心商家在坚持这个完美比例，比方说苹果推出的macbook，它的屏幕是标准的16:10。