线性代数总复习-特征值与特征向量

一、特征值与特征向量
1.讨论特征值与特征向量，都是在矩阵是【方阵】的条件下讨论；
2.讨论(X1+X2)为特征值，一定要(X1+X2)≠0.
3.矩阵所有特征值之【和】=矩阵的迹(主对角线元素之和), 矩阵所有特征值之【积】=|该矩阵行列式|.
(A可逆<=>其特征值均不为0)
4.f(入)=f(A), |特征多项式|的本质是(入-入i)的因式分解
5.|特征多项式|=f(A)=0【化零多项式】
6.步骤：|特征多项式|=0, 求得特征值；反代入 |多项式|X=0, 求得特征向量
二、相似矩阵与可对角化
1.相似A~B (A=U逆·BU) *基变换：B=A逆·C
2.可对角化：有n个线性无关的特征向量/ 有n个特征值/ 特征值没有重根; 若有重根，算是否有n个向量.
3.把特征向量组合在一起：U逆
4.实对称矩阵的对角化（特征值是实数，不同特征值的特征向量相互正交）
第一步 求特征值
第二步 求特征向量，并把【同一特征值的】特征向量施密特正交化，单位化
第三步 组合上述单位正交向量，得到U逆
第四步 U逆·AU=对角矩阵
三、非负矩阵
1.每一个元素都非负，最大特征值（绝对值最大）及其向量都非负
2.不可分矩阵