一个奇妙的几何图形

昨天夜里在自己电脑里瞎翻，无意间看到自己中学时写的一个文档，里面画了一个几何图形并列举了它的7个性质。想起中学的时候特别喜欢在几何画板上随便乱画，时不时就能自己“发现”一些性质或者出一些平面几何题——当然这些性质往往是前人早就发现过的。这里的7个性质，我已经忘记是自己画出来的还是从什么几何书里找的；只列了结论而没有证明，也不知是当时的自己证不出来还是证出来了懒得写上去。昨晚重看，发现里面的大部分结论可以用坐标法很容易地证出；只是这个图形的奇妙，再一次让我叹为观止。平面几何有时就是这样，虽然没有什么研究价值，但很多定理、性质让人惊叹不已，纯粹作为一种娱乐，也是非常有意思的。
我的图形是这样的：
                
                以一个三角形ABC的边AB和AC为边，分别向外作正方形ABDE和ACFG。
这张图中的点用坐标表示特别简单。设AH是△ABC的高，以H为原点、HC为x轴建立平面直角坐标系。设A(0,a)，B(-b,0)，C(c,0)。那么D是A围绕B逆时针旋转90度所得的点，其坐标是(-(a+b),b)。（或者作DD1⊥BC于D1，显然△ABH≌△BDD1，所以D的横坐标是-HD1=-(BH+BD1)=-(BH+AH)=-(a+b)，纵坐标是DD1=BH=b。）
正方形ABDE的中心O1是线段AD的中点，其坐标是(-(a+b)/2,(a+b/2))。
O1又是线段BE的中点，我们知道B的坐标(-b,0)，所以E的坐标是(-a,a+b)。
对称地，可以得到F(a+c,c)，G(a,a+c)。
综上所述，我们得到
A(0,a)，B(-b,0)，C(c,0)，D(-(a+b),b)，E(-a,a+b)，F(a+c,c)，G(a,a+c)。
下面是性质：
1. S(△ABC)=S(△AEG)。
这当然不用什么坐标法。直接从AB=AE，AC=AG，∠BAC和∠EAG互补就能得到。
注意△ABC和△AEG的地位是对称的：正方形ABDE和ACFG既是由△ABC的边AB、AC向外作出的正方形，又是由△AEG的边AE、AG向外作出的正方形。因此，每得到一个关于这张图的性质，将同样性质应用到△AEG上，立即可以得到另一个对偶的性质。
2. 延长HA与EG交于N，则N是EG的中点。
                
                把结论改换为“设N‘是EG的中点，则N’在HA上”。N‘的坐标是(0,(2a+b+c)/2)，当然在HA（也就是y轴）上。
性质2的对偶性质是
2’. 过A作EG的垂线，交BC于L，则L是BC的中点。
改换一种说法就是
2’’. 设L是BC的中点，则AL⊥EG。
                
                3. 设BF和CD交于P，则AP⊥BC（或者说P在y轴AH上）。
                
                直线BF的方程是
                
                直线CD的方程是
                
                它们的交点是
                
                P当然在y轴上。
性质3的对偶性质是
3‘. 设DG和EF交于K，则AK⊥EG。
                
                4. 设M是DF的中点，则△BMC和△EMG是等腰直角三角形。
                
                M的坐标是
                
                作MM1⊥BC于M1，则BM1=CM1=MM1=(b+c)/2，因此△BMC是等腰直角三角形（M1就是BC的中点L）。
又有
                
                
                
                
                
                这样
                
                所以△EMG是等腰直角三角形。
注意这个性质的前后两部分互为对偶，所以得出△BMC是等腰直角三角形后可以立即知道△EMG也是等腰直角三角形，后面算坐标的过程实际上是不必要的。
5. BG、CE、DF交于一点。
                
                这个结论用坐标法证比较繁，而有简单的纯几何证法。把结论改换为“设BG与CE交于Q，则Q在DF上”。只需证∠BQD=∠FQG。事实上它们都是45度。注意△ABG是由△AEC逆时针旋转90度得到的，所以它们的对应边垂直，也就是BG⊥CE。进而A、Q、B、D、E和A、Q、C、F、G分别五点共圆（或者说Q是两个正方形外接圆的交点）。因此∠BQD=∠BED=45度，∠FQG=∠FCG=45度。
另外，从此图中还可以看出AQ⊥DF。因为∠AQE=∠ABE=45度，∠DQE=∠DBE=45度，所以∠AQD=∠AQE+∠DQE=90度。
                
                再进一步，我们证明了∠BQD=∠DQE=∠AQE=45度，对称地可以知道∠CQF=∠FQG=∠AQE=45度，所以AQ、BG、CE、DF将周角Q八等分。
性质5的对偶性质是它自己。
6. 设L、N分别是BC、EG的中点，则LN⊥DF（进而LN平行于上图中的AQ）。
                
                L和N的坐标分别是
                
                
                
                所以直线LN的斜率是
                
                又由D和F的坐标知直线DF的斜率是
                
                二者的乘积是-1，所以LN⊥DF。
性质6的对偶性质也是它自己。
最后还有第7个性质，用坐标法非常麻烦，我又没想出纯几何的方法，暂时记在这里。如果有谁证出来了的话请告诉我。
7. 设DF分别交AB、AC于Y、X，BX与CY交于R，则AR⊥DF（交点当然就是性质5中的那个Q）。
                
                btw，如果性质2-4和6中的某一个有纯几何证法的话也请指出。我老久不碰平面几何，对基本技巧已经很生疏了。
最后还有向外作三个正方形的图形。我在另一个文档里记录了两个性质，没给证明，现在一时也证不出来，也姑且记在这里。两个性质都是三线交于一点的形式，用文字描述太麻烦，直接上图。