一天一个博弈论之谎言者悖论
谎言者悖论起源
西元前6世纪，克利特哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides）说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。”
这句话有名是因为它没有答案。因为如果艾皮米尼地斯所言为真，那么克利特人就全都是说谎者，身为克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，于是他所说的这句话应为谎言，但这跟先前假设此言为真相矛盾；又假设此言为假，那么也就是说所有克利特人都不说谎，自己也是克利特人的艾皮米尼地斯就不是在说谎，就是说这句话是真的，但如果这句话是真的，又会产生矛盾。因此这句话是没有解释的。
谎言者悖论概述
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”
他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”
罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。
接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。
谎言者悖论的形式
说一个语句为真，即肯定该语句，也就是维持该语句之真值形式不变。说一个语句为假，即否定该语句，也就是颠倒其真值形式。这是逻辑学中最基本的规则之一。一般认为兰姆赛(Ramsey)在提出真理冗余论时最先明确地对之进行了扼要的阐释。他指出：“P，这是真”(It is true that P)与“P”同义；“P，这是假”(It is false that P)与“-p”同义。该规则的另一种表述是，“P是真”，与“P”同义；“P是假”，与“-p”同义。我们在以后的讨沦中姑且将这个规则称为“兰姆赛原则”。
说谎者语句可简单地表述为：这语句是假。根据自古以来关于说谎者悖论内容的约定，说谎者语句的主词“这语句”指称说谎者语句即“这语句是假”本身，亦即：
(A)这语句→这语句是假
我们将上式称为“约定A”，其中符号“→”代表指称概念。下面的分析将表明，人们在说谎者悖论的推导中，实际上是将约定A中的指称概念当作逻辑等值概念或同义概念来使用的；因此严格地讲，人们事实上预设了“这语句”指称(同义于或等值于)“这语句是假”。当我们断言说谎者语句为真时，得：
(1)“这语句是假”是真
根据兰姆赛原则，断定一个语句是真的，等于肯定该语句，因此由(1)推出：
(2)这语句是假
人们认为(1)与(2)相矛盾。这是说谎者悖论的约定的一半内容。现在的问题是，单从形式上看，我们不能断定语句(1)与(2)相矛盾。语句(1)的主词是“‘这语句是假’”，而(2)的主词是“这语句”，它们二者在形式上并不同一；若要语句(1)与(2)相矛盾，必须使它们的主词同义，即预设约定A成立；也就是说，必须预设语句(1)和(2)的主词都指称说谎者语句本身；如果(1)与(2)的主词不同义，则它们必不互相矛盾。这样，我们根据约定A，将(2)的主词作一代换，得：
(3)“这语句是假”是假
(3)与(1)是典型的形式上的矛盾，(3)亦是(2)的否定。但是为什么我们会从(1)[通过(2)]推出与其相矛盾的(3)呢?明显地，我们在以上推理中只使用了唯一的一个具体的逻辑根据，即约定A，现在我们考察一下约定A在逻辑上是否有问题。
说谎者语句的主词“这语句”是说谎者语句的指示词，其语义作用相当于说谎者语句的名称。语句的指示词和名称相当于逻辑学中的命题常项，我们可以将“是真”或“是假”加在其后形成一个肯定句或否定句。就此而论，“这语句是假”可看作是对其主词“这语句”的否定，这点也可从说谎者语句说自身为假这个事实看出来，即说谎者语句意谓着：
(4)这语句是假，这是假
而“这语句”意谓着说谎者语句本身即语句(2)。从逻辑上看，语句(4)是(2)的否定，或者说这两个语句是互相矛盾的。这表明，说谎者语句的意谓是其主词的意谓的否定。由此我们就证明了说谎者语句是其主词“这语句”的逻辑上的否定，从而也就证明了约定A是自相矛盾的，因为它表示“这语句”指称(等值于或同义于)其自身的否定句l。
既然如此，当人们在上面根据约定A用“‘这语句是假’” 代换“这语句”从而从(2)推出(3)时，就不自觉地犯了一个逻辑错误。因为“‘这语句是假”’是语句(2)的名称的名称；这意谓着，通过代换，(2)由对“这语句”的否定，变成对“‘这语句是假’”的否定，从而由(2)产生了其矛盾句(3)。其原因是明确的，在一个断定某语句真值的语句中，我们不可用与之相矛盾的表达式代换其主词，否则的话必然产生与原语句相矛盾的另一个语句。这可以说是逻辑学中的一条简单的规律。比如，如果我们用-X代换“X是真”中的主词，得：-x是真，即X是假；等等。当人们用“‘这语句是假’”代换“这语句”从而由(2)推出(3)时，就违反了这条规律。在这里，矛盾的产生是合乎逻辑的，而矛盾的来源显然是约定A的自相矛盾性被代入该推导之中的结果。事实上违反该规律本是一个逻辑学中的低级错误；说谎者悖论的推导实质上就犯了同样的错误。只是自然语言的某种机缘，才将其牢牢地掩盖住了。
另一方面，如果不使用约定A，则我们不可能从(2)推出(3)。因为在这种条件下，(2)的主词与(3)的主词不指称同一个语句，(2)就不是说其自身为假，而是说其它什么语句为假。由此清楚地表明了，当人们使用约定A时，就将其矛盾性代入了相关推理之中，悖论的结论因此而产生。事实上，从逻辑上讲，按兰姆赛原则(2)与(1)是同义的；人们只是根据自相矛盾的约定A才认为(2)与(1)相矛盾。这提示出约定A与兰姆赛原则不相容。当我们断定说谎者语句为假时，基本道理也一样，不再赘述。至此我们可得出如下结论：导致说谎者悖论的逻辑根源不是别的，只是约定A的自相矛盾性，它使得说谎者语句说自身为假，从而使得说谎者语句意谓着与其矛盾的语句，故当人们根据兰姆赛原则断定说谎者语句的真值时，就合乎逻辑地推出与其相矛盾的语句。除了人们事先预设了约定A并在其后对之加以应用之外，关于说谎者悖论的一切推导都在逻辑规律的控制之下。
通过以上讨论我们已能看清，自相矛盾的约定A是说谎者悖论得以产生的逻辑充要条件。但约定A本身的自相矛盾性是如何产生的呢?在日常语言中，当我们用一个表达式指称语言外的任何事物时，由于语言符号的任意性 ，我们在指称上不可能犯逻辑错误；不过我们若用一个表达式指称另一个表达式，则语言符号的任意性就会失效，我们在一定条件下便会犯逻辑错误。因为在该种条件下，我们用一个表达式指称作为其自身否定的一个语句(就像在约定A的情况下那样)。这在如下意义上是违反逻辑基本规律的：其一，它使得该表达式就是被其所指称的语句的主词，从而导致该被指称语句说自身为假。其二，如果一表达式P指称(等值于)其否定句-p，那么倘若我们肯定P，也就等于肯定-p，即p→-p；如果否定P，也就等于否定-p，即-p→p。这实际上即是说谎者悖论推导的结构；这种矛盾等值式逻辑上导源于约定A。其三，从推理技术上讲，如果我们规定一个表达式指称其自身的否定句，则在推理中我们就可合法地用该否定句(的名称)代换该表达式，从而使得该推理归于无效。故我们不能设定一个表达式指称其自身的否定而不违反逻辑基本规律。
苏姗·哈克曾表述过一个衡量什么才可算作悖论的解的基本标准，即必须独立于导致悖论的结论这一点而证明对前提表达式或推论原则的反驳。该标准已被学界普遍接受。据此凡是仅根据悖论的结论，而使用否定后件式推理规则来反驳其前提表达式的任何“解决方案”都是无价值的。应着重指出的是，我们关于约定A之自相矛盾性的论证是独立于说谎者悖论之推导及该悖论之结论的；换言之，即使我们从来没有断定过说谎者语句的真值，因而说谎者悖论从不会产生，约定A本身仍是固有地自相矛盾的。人们自古以来对其从语法上看不出任何问题的说谎者语句(或其变体)为何会导致悖论这一点一直困惑不解，现在我们明白了，正是约定A(或其变体)的这种独立的矛盾性，使得说谎者语句的主词在指称关系上，从而使得说谎者语句在意谓或内容上固有地、从一开始就犯了逻辑错误，以后所推出的悖论结论正是将该矛盾应用于相关推论中的合乎逻辑的结果，说谎者语句之语法的无可挑剔性牢牢地掩盖了这一点。
西元前6世纪，克利特哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides）说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。”
这句话有名是因为它没有答案。因为如果艾皮米尼地斯所言为真，那么克利特人就全都是说谎者，身为克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，于是他所说的这句话应为谎言，但这跟先前假设此言为真相矛盾；又假设此言为假，那么也就是说所有克利特人都不说谎，自己也是克利特人的艾皮米尼地斯就不是在说谎，就是说这句话是真的，但如果这句话是真的，又会产生矛盾。因此这句话是没有解释的。
谎言者悖论概述
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”
他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”
罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。
接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。
谎言者悖论的形式
说一个语句为真，即肯定该语句，也就是维持该语句之真值形式不变。说一个语句为假，即否定该语句，也就是颠倒其真值形式。这是逻辑学中最基本的规则之一。一般认为兰姆赛(Ramsey)在提出真理冗余论时最先明确地对之进行了扼要的阐释。他指出：“P，这是真”(It is true that P)与“P”同义；“P，这是假”(It is false that P)与“-p”同义。该规则的另一种表述是，“P是真”，与“P”同义；“P是假”，与“-p”同义。我们在以后的讨沦中姑且将这个规则称为“兰姆赛原则”。
说谎者语句可简单地表述为：这语句是假。根据自古以来关于说谎者悖论内容的约定，说谎者语句的主词“这语句”指称说谎者语句即“这语句是假”本身，亦即：
(A)这语句→这语句是假
我们将上式称为“约定A”，其中符号“→”代表指称概念。下面的分析将表明，人们在说谎者悖论的推导中，实际上是将约定A中的指称概念当作逻辑等值概念或同义概念来使用的；因此严格地讲，人们事实上预设了“这语句”指称(同义于或等值于)“这语句是假”。当我们断言说谎者语句为真时，得：
(1)“这语句是假”是真
根据兰姆赛原则，断定一个语句是真的，等于肯定该语句，因此由(1)推出：
(2)这语句是假
人们认为(1)与(2)相矛盾。这是说谎者悖论的约定的一半内容。现在的问题是，单从形式上看，我们不能断定语句(1)与(2)相矛盾。语句(1)的主词是“‘这语句是假’”，而(2)的主词是“这语句”，它们二者在形式上并不同一；若要语句(1)与(2)相矛盾，必须使它们的主词同义，即预设约定A成立；也就是说，必须预设语句(1)和(2)的主词都指称说谎者语句本身；如果(1)与(2)的主词不同义，则它们必不互相矛盾。这样，我们根据约定A，将(2)的主词作一代换，得：
(3)“这语句是假”是假
(3)与(1)是典型的形式上的矛盾，(3)亦是(2)的否定。但是为什么我们会从(1)[通过(2)]推出与其相矛盾的(3)呢?明显地，我们在以上推理中只使用了唯一的一个具体的逻辑根据，即约定A，现在我们考察一下约定A在逻辑上是否有问题。
说谎者语句的主词“这语句”是说谎者语句的指示词，其语义作用相当于说谎者语句的名称。语句的指示词和名称相当于逻辑学中的命题常项，我们可以将“是真”或“是假”加在其后形成一个肯定句或否定句。就此而论，“这语句是假”可看作是对其主词“这语句”的否定，这点也可从说谎者语句说自身为假这个事实看出来，即说谎者语句意谓着：
(4)这语句是假，这是假
而“这语句”意谓着说谎者语句本身即语句(2)。从逻辑上看，语句(4)是(2)的否定，或者说这两个语句是互相矛盾的。这表明，说谎者语句的意谓是其主词的意谓的否定。由此我们就证明了说谎者语句是其主词“这语句”的逻辑上的否定，从而也就证明了约定A是自相矛盾的，因为它表示“这语句”指称(等值于或同义于)其自身的否定句l。
既然如此，当人们在上面根据约定A用“‘这语句是假’” 代换“这语句”从而从(2)推出(3)时，就不自觉地犯了一个逻辑错误。因为“‘这语句是假”’是语句(2)的名称的名称；这意谓着，通过代换，(2)由对“这语句”的否定，变成对“‘这语句是假’”的否定，从而由(2)产生了其矛盾句(3)。其原因是明确的，在一个断定某语句真值的语句中，我们不可用与之相矛盾的表达式代换其主词，否则的话必然产生与原语句相矛盾的另一个语句。这可以说是逻辑学中的一条简单的规律。比如，如果我们用-X代换“X是真”中的主词，得：-x是真，即X是假；等等。当人们用“‘这语句是假’”代换“这语句”从而由(2)推出(3)时，就违反了这条规律。在这里，矛盾的产生是合乎逻辑的，而矛盾的来源显然是约定A的自相矛盾性被代入该推导之中的结果。事实上违反该规律本是一个逻辑学中的低级错误；说谎者悖论的推导实质上就犯了同样的错误。只是自然语言的某种机缘，才将其牢牢地掩盖住了。
另一方面，如果不使用约定A，则我们不可能从(2)推出(3)。因为在这种条件下，(2)的主词与(3)的主词不指称同一个语句，(2)就不是说其自身为假，而是说其它什么语句为假。由此清楚地表明了，当人们使用约定A时，就将其矛盾性代入了相关推理之中，悖论的结论因此而产生。事实上，从逻辑上讲，按兰姆赛原则(2)与(1)是同义的；人们只是根据自相矛盾的约定A才认为(2)与(1)相矛盾。这提示出约定A与兰姆赛原则不相容。当我们断定说谎者语句为假时，基本道理也一样，不再赘述。至此我们可得出如下结论：导致说谎者悖论的逻辑根源不是别的，只是约定A的自相矛盾性，它使得说谎者语句说自身为假，从而使得说谎者语句意谓着与其矛盾的语句，故当人们根据兰姆赛原则断定说谎者语句的真值时，就合乎逻辑地推出与其相矛盾的语句。除了人们事先预设了约定A并在其后对之加以应用之外，关于说谎者悖论的一切推导都在逻辑规律的控制之下。
通过以上讨论我们已能看清，自相矛盾的约定A是说谎者悖论得以产生的逻辑充要条件。但约定A本身的自相矛盾性是如何产生的呢?在日常语言中，当我们用一个表达式指称语言外的任何事物时，由于语言符号的任意性 ，我们在指称上不可能犯逻辑错误；不过我们若用一个表达式指称另一个表达式，则语言符号的任意性就会失效，我们在一定条件下便会犯逻辑错误。因为在该种条件下，我们用一个表达式指称作为其自身否定的一个语句(就像在约定A的情况下那样)。这在如下意义上是违反逻辑基本规律的：其一，它使得该表达式就是被其所指称的语句的主词，从而导致该被指称语句说自身为假。其二，如果一表达式P指称(等值于)其否定句-p，那么倘若我们肯定P，也就等于肯定-p，即p→-p；如果否定P，也就等于否定-p，即-p→p。这实际上即是说谎者悖论推导的结构；这种矛盾等值式逻辑上导源于约定A。其三，从推理技术上讲，如果我们规定一个表达式指称其自身的否定句，则在推理中我们就可合法地用该否定句(的名称)代换该表达式，从而使得该推理归于无效。故我们不能设定一个表达式指称其自身的否定而不违反逻辑基本规律。
苏姗·哈克曾表述过一个衡量什么才可算作悖论的解的基本标准，即必须独立于导致悖论的结论这一点而证明对前提表达式或推论原则的反驳。该标准已被学界普遍接受。据此凡是仅根据悖论的结论，而使用否定后件式推理规则来反驳其前提表达式的任何“解决方案”都是无价值的。应着重指出的是，我们关于约定A之自相矛盾性的论证是独立于说谎者悖论之推导及该悖论之结论的；换言之，即使我们从来没有断定过说谎者语句的真值，因而说谎者悖论从不会产生，约定A本身仍是固有地自相矛盾的。人们自古以来对其从语法上看不出任何问题的说谎者语句(或其变体)为何会导致悖论这一点一直困惑不解，现在我们明白了，正是约定A(或其变体)的这种独立的矛盾性，使得说谎者语句的主词在指称关系上，从而使得说谎者语句在意谓或内容上固有地、从一开始就犯了逻辑错误，以后所推出的悖论结论正是将该矛盾应用于相关推论中的合乎逻辑的结果，说谎者语句之语法的无可挑剔性牢牢地掩盖了这一点。
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