【拓扑】同调群与基本群

                
                庞卡莱是 19 世纪末 20 世纪初法国最伟大的数学家，他与德国的希尔伯特领衔当时的数学界，分别继承了黎曼和高斯的衣钵：庞卡莱对物理世界的深刻洞察给了他天马行空般的想象力，一如当年的黎曼；希尔伯特严谨，博学，细致入微地思考，为 20 世纪前半叶数论和代数几何的发展指明了方向。庞卡莱的拓扑学和希尔伯特的代数几何，就像普朗克的量子论和爱因斯坦的相对论，完全革新了整个学科的基本观念。
这一帖就试试介绍庞卡莱引入的两个概念：“同调群”与“基本群”。它们都是几何体内在性质的“代数体现”。
庞卡莱意识到，描述一个几何体抽象性质的关键在于这个几何体本身有没有边界，以及它是不是其它几何体的边界。比如，一个圆盘和一个球面为什么不同，就是因为圆盘有边界而球面没有边界；球面为什么跟轮胎面不同，就是因为球面上的任何一个圈都是球面某一部分的边界，比如赤道就是北半球面的边界，而轮胎面上有的圈并不是轮胎面任何一部分的边界。
在第一篇里说过，莱布尼兹梦想用符号来表述一些抽象的几何性质。200多年后庞卡莱终于实现了这个梦，他把跟边界有关的性质数量化。先把几何体剖分成基本组成部分（点，边，三边形，四面体，...)，比如，一个球面上可以画四个点，然后把它们两两相连（不允许连线相交），有六条边，这些边把球面分成四个三边形，这就是球面的一个“剖分”（见左图）。剖分的基本组成成份叫做 “单形”，“点”是 0 维单形，“边”是 1 维单形，“三边形”（包括内部）是 2 维单形，等等（试想一下 3 维单形是什么）。
拿之前已经剖分的球面做例子，顶点 A, B, C, D 是 0 维单形，边 AB, AC, AD, BC, BD, CD 是1 维单形，三边形 ABC, ABD, ACD, BCD 是 2 维单形 （如果 ABC, ACD 是东半球的区域，那 ABD, BCD 就包括了西半球） 。因为考察的是球面，而不是球体，所以没有三维以上的单形。
庞卡莱在单形前面放上系数（整数），假设它们能够相加，以及做同类项合并。这种表达式称为一个“链”，比如
(3 AB – 2 BC) + (AC – 5 BC) = 3 AB – 7 BC + AC.
单形前面的加号减号具有几何意义，“定向”。在 1维的时候就是边的方向，比如，AB 是从 A 到 B 的边，-AB 就是从 B 到 A 的边，也就是 BA，所以 BA = - AB. 三边形的定向复杂一些，不过本质上就是跟顶点的排列顺序有关，对换两个顶点就会改变定向，
ACB = - ABC.
由于每一个 n 维单形的边界由若干 n-1 维单形组成，所以“求边界”可以作为一种运算，作用在 “链”上，得到另一个 “链”，其每一项都比原来链里对应项的维数低一维。在求边界的过程中，定向也是一个重要因素，虽然 AB 的边界是两个点 A 和 B, 但为了体现定向性质，规定 AB 的边界是 ( B – A ). 这种约定可以推广到高维的链，大家不妨自己试试。
如果用 d记求边界运算，在跟定向相容的约定下，它在球面剖分的各单形上作用如下
d (A) = d (B) = d (C) =d (D) =0;
d (AB) = B-A, d (BA) = A-B, d (BC) = C-B, ……
d (ABC) = BC-AC+AB, d (BCD) = CD-BD+BC, ……
在“链”上的作用，
d (3 AB – 2 BC) = 3 d (AB) – 2 d (BC) = 3 (B-A) – 2 (C-B) = -3 A + 5 B - 2 C.
边界运算有一个很好的性质。直观上容易看到，“物体的边界没有边界”。比如，三边形的边界是三条边组成的闭合链。生活中我们说“闭合”的意思就是没有边界。代数上体现为，连续两次求边界一定是零，
d [ d (BCD) ] = d [ CD – BD + BC ] = d(CD) – d(BD) + d(BC) = (D-C) – (D-B) + (C-B) = 0
现在把剖分后的几何体的所有这样的 “链”放在一起，它们之间有加减法（合并同类项），可以用系数乘，还可以“求边界”。这就得到了一个代数对象，叫做这个剖分后的几何体的 “链群”。这个代数对象跟我们开始的剖分方法有关。
在链群中，可以由求边界运算得到的链叫做“边缘链”，比如，
2 AB + 2 BC + 2 CA = d ( 2 ABC )
说明等式左边这个链是一个边缘链。没有边界的链叫做“闭链”。边缘链一定是闭链，而闭链不一定是边缘链。庞卡莱发现，“有多少闭链不是边缘链”这个性质与剖分无关，从而是几何体某种本性的代数体现。怎样代数地描述这个性质？考虑所有闭链，它们之间的加减，数乘，结果还是闭链，在其中把边缘链等同于0，这样得到的代数对象将不依赖于剖分几何体的方法，庞卡莱叫它“同调群”。
现在来算球面的同调群。顶点都没有边界，但是两个顶点的差一定是一条边的边界，
A-B = d (BA)
按照庞卡莱的语言，A-B 是边缘链，将被等同于 0, 也就是说，在同调群中A-B = 0, 或者说 A = B. 这样，本质上只有一个 0 维对象，
A = B = C = D,
它可以被整数乘，这样我们得到球面的 0 维同调群
{ … , -3A, -2A, -A, 0, A, 2A, 3A, …}
这个代数对象的加法，数乘，跟全体整数的加法，数乘是一样的，用数学的语言来说，球面的 0 维同调群“同构于”整数集。
1 维的链是六条边的组合，用代数运算（解线性方程组）或者几何直观都可以看到，没有边界的 1 维链总是由三边形的边界 ( AB + BC + CA ), ( BC + CD + DB), ( AB + BD + DA) 组成，按照庞卡莱的语言，球面上所有的 1 维闭链都是边缘链，都应该在同调群中等同于 0，所以1 维同调群是 0.
2 维的链是四个面的组合，x ABC + y ABD + z ACD + w BCD, 它是闭链的条件
d ( x ABC + y ABD + z ACD + w BCD ) = 0.
有兴趣的朋友可以动手算一算上面这个方程，比如第一项
d ( x ABC ) = x ( BC – AC + AB ) = x BC – x AC + x AB,
然后合并每条边的系数，令它等于零，就得到 6 个关于 x, y, z, w 的线性方程。这个方程组的解是 x = z = -y = -w. 这个结果说明球面上的每个二维闭链都可以写成
w ( BCD – ACD + ABD – ABC ),
也就是说，总是括号中闭链的整数倍。如果把括号里的闭链叫做 s, 那么球面的二维同调群就是
{ … , -3s, -2s, -s, 0, s, 2s, 3s, … }，
同构于整数集。
综上所述，球面的 0 维同调群和 2 维同调群都同构于整数集，1 维同调群为 0. 再引入一个概念，同调群内含有多少个整数集，就说同调群的“秩”是多少。把不同维同调群的“秩”交错加减，即，0 维同调群的秩减去 1 维同调群的秩再加上 2 维同调群的秩再减去 3 维同调群的秩……, 得到一个整数。在简单例子里稍作计算，就会发现这个整数实际上是 0 维单形个数减去 1 维单形个数再加上 2 维单形个数再减去 3 维单形个数……，即，各维数单形个数的交错和。这个数大家其实颇为熟悉，在高中立体几何最后应该提到过，叫做“欧拉示性数”，对凸多面体的表面，它就是 V – E + F, 而且总是等于 2. 实际上，所有凸多面体的表面在拓扑上都是球面，这个“2”就是球面的各维数同调群的“秩”的交错和，1 – 0 + 1 = 2.
显然，欧拉示性数是最容易计算的拓扑不变量，只需要找一个剖分，然后数数几个顶点几条边几个面......，再加加减减就行了。
同调群告诉我们哪些闭链不是边缘链，通俗一点说，告诉我们几何体里面哪些封闭的对象是 “中空”的。它显然是比欧拉示性数更精细的拓扑不变量。有兴趣的朋友可以自己算算两个几何体的同调群：圆圈，轮胎面。（提示：先把它们剖分成单形。）
庞卡莱发现了同调群以后，拿它来区分了一些三维的对象。后来他发现，同调群不够精细。比如，跟三维球面（二维球面的高一维推广）具有相同同调群的几何对象不一定就是三维球面。这促使他寻找更精细的拓扑性质。这次他想到几何体里头还有东西是可以运算的，就是道路。两条道路如果首尾相接，就组成一条新的道路，这就是道路的乘法。这里有两个问题需要处理，首先，不是任何两条道路都能相乘（必须首尾相接才可以），然后，即使能相乘，乘法也不满足结合律，运算起来不方便。庞卡莱想到了办法解决这两个问题。他在几何体内取一个基点，只考虑那些从这个点出发再回到这个点的道路，这些道路当然互相首尾相连；然后他规定，如果一条道路能在几何体内经过连续变形到另一条道路 （见下图），这两条道路就被看作在同一个 “道路类”中，这样规定后，“道路类”之间的乘法就满足结合律了。这些 “道路类” 也组成一个代数对象，有乘法运算，这个对象叫做几何体的“基本群”，或者 “1 维同伦群”。
                
                
来点感性认识。线段的基本群只有一个元素，就是静止在基点的道路。线段里的其他任何从基点出发回到基点的道路都可以在线段内连续变形到静止在基点的道路。我们把只包含一个元素的基本群称为“平凡的”。再看圆周，它的基本群是所有整数组成的。绕圆周 n 圈的道路不能在圆周上连续变形到绕圆周 m 圈的道路，而把它们首尾相接的结果就是绕圆周 n+m 圈的道路，这里道路类之间的乘法体现为整数间的加法。第三个例子，球面，它的基本群是平凡的，因为球面上所有由基点出发的回路都可以在球面上连续变形（滑缩）为静止在基点的道路 （见左图）。具有平凡基本群的几何体称为“单连通的”。
基本群的计算涉及到更深入的细节，比如拓扑的具体定义，拓扑空间之间的映射，等等，无法在这里详加解释。有兴趣进一步了解的朋友请参阅《基础拓扑学》，阿姆斯特朗（M.A.Armstrong）著；孙以丰译。
发明了基本群以后，庞卡莱觉得这个更加精确的拓扑性质应该足以把三维球面从其它三维几何体中区分出来，但他自己无法证明。这就是举世闻名的庞卡莱猜想：单连通的三维封闭几何体一定是三维球面。这个猜想及其推广主导了代数拓扑学一百年的发展，最终在2004年由俄罗斯数学家裴若曼给出证明。裴若曼因此在 2006 年获得数学界最高荣誉——菲尔兹奖。
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