稳定分布与广义中心极限定理

                
                
一、真的是幂律吗？
         幂律分布是复杂系统中一种非常常见的现象，例如收入的分布、地震等级的分布、单词使用频率的分布等等，几乎横跨了从自然到社会的多种学科(关于幂律分布的实证分析，请参看Mark Newmann的文章[1]，有关幂律分布成因的讨论，请参看这里[2]。我们集智也曾对幂律分布进行过讨论，参见1、2)。
         然而，幂律分布真的那么普遍吗？随着对大量数据的收集，我们发现，所谓的幂律仅仅适用于分布曲线的高端部分（也就是x很大的部分），这一点从分析幂律分布的数学表达式也能看出来。我们知道，如果f(x)是幂律的概率密度函数，那么：
f(x)=cx-α （1）
         假如x表示的是社会上人们的收入，那么显然x有可能取0（社会上存在着收入为0的人）。但是，这在幂律分布公式的角度来看是不可能的，这是因为对于α>0，即x上面的指数是一个负数，这样就意味着，当x趋近于0的时候，f(x)的值会很快趋近于无穷大。所以，在幂律分布中，x必须大于等于一个常数m，这就意味着，幂律分布实际上只适用于尾端部分：x>m。那么人们自然要问，收入低端的分布是什么样的呢？难道，收入低于m值的概率是0？低收入的人们都死绝了吗？
         事实不是这样的，Yakovenko等人[3]用美国真实税收情况估计出的收入分布曲线如下图：
 
                
                
美国收入分布的累积概率图，图片来源[3]
这是1997年Yakovenko等从美国税收数据推出的整个美国收入分布的曲线。其中，横坐标是收入的数据值，纵坐标是累积概率分布，也就是收入大于横坐标x的人口比例。我们看到，收入分布曲线分成了明显的两段，第一段是左边的那段弧形曲线部分，第二段是右下角的直线。由于图中的坐标是双对数的，所以直线段是幂律的，也就是作者标出的Pareto部分，而第一段是曲线的，因而不是幂律的，作者称这部分为Boltzmann-Gibbs分布，也就是指数分布。为了看清楚低端是指数分布，作者用小图表示出了在横坐标轴不取对数，纵坐标轴取对数的图，我们知道指数分布在这样的半对数坐标下就变成了直线，因而收入的低端应该是指数分布。
不仅仅是收入分布，很多以前被看作是幂律分布的系统，例如股票收益率的分布、复杂网络上节点的度的分布等等都存在着这种尾端趋近于幂律，头端则明显偏离幂律的现象。人们不禁要问，难道这些实证上的分布真的是幂律的，还是有其它的分布？
二、稳定分布（Stable Distribution）
当你与真正的统计物理学家或者数学家交流的时候，会发现，他们更多地提及一种称之为Levy Stable Distribution或者叫α-Stable Distribution的模型[4]而非幂律分布。例如，大名鼎鼎的Mandelbrot在1967年的时候就曾经用这种Stable分布来拟合棉花期货价格的波动分布[5]。经济物理学之父H.E. Stanley和Mantegna曾用结尾Stable分布来拟合股指波动的分布[6]。
为什么这些数学、物理学家都更倾向于稳定分布而非幂律分布呢？原因是，这个稳定分布的概率密度函数恰恰具备尾端趋近于幂律分布，而在头端（xà0）偏离幂律，趋向于指数分布的性质。
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