音集理论中关于补集与原集的合音程涵量关系的证明

命题：有音集A，基数为a，其相对于12音全集的补集为B，基数为b. 若A的音程向量为[A(n)]，则B的音程向量[B(n)]满足：
对于1 ≤ n ≤ 5，A(n)-B(n)=a-b;
特别的，n=6时，A(n)-B(n)=(a-b)/2.
 
证明：由于12音体系中计算音程时采取“大于6取余”的方式，并且考虑到移位不变性，受波恩-卡曼边界条件启发，我采取钟盘模型来阐述这一问题——把十二个音级依次序对应到钟盘上的十二个钟点。这样做的好处在于，音程的计算可以简化为两个音在钟盘上对应点之间的最短距离，而不必考虑“大于6”的情况。音程则可以用一段圆弧来表征，显得更加直观。
                
                
先用一个具体例子来说明思路。考虑A为pc5-13, 基数a=5，音级01248，代表点在图上用红色标出。从音程向量[221311]可知有2个ic1，用蓝色标记这两段圆弧。我们再看其补集B：pc7-13，音程向量[443532]，它含有的4个ic1已用绿色标出。与pc5-13的ic1数量差2，等于两个音集基础差。回头观察钟盘，不难理解，代表A中5个音级的红点两侧的长度为1的圆弧是跟B是不会有关系的，因为B中没有A包含的音级，所以这样的圆弧无法对B的ic1有贡献。那么总共有12个长度为1的圆弧，每个红点杀掉两个圆弧，留给B的只剩下12-2×5=2个圆弧。但是很容易发现，这里我们重复杀了几段，这几段恰好就是蓝色标记的那两段，也就是A所含的ic1, 由于两端都是红点而被杀了两次，所以要把这个数量补回来，于是B所拥有的圆弧数就是12-2×5+2=4段。这就解释了为什么B含有4个ic1.
以上是具体的例子，我们要把这个方法推广到一般情形。对于任意A，不妨设其基数a<6, 则A的补集B的基数b=12-a>6. 对于任意1 ≤ n ≤ 5，都能在我们的钟盘上找到12段长度为n的圆弧，它们分别以十二个点为起点，虽然有重合，但是只要两端不完全相同，它们就代表不同的音程。同样的道理，被A中音级杀掉的圆弧数为12-2a，补上重复杀掉的数目便是留给B的音程涵量。而重复杀掉的圆弧就是A所包含的音程，所以它的数目就是A(n). 用等式写出这一步就是
12-2a+ A(n)= B(n),
移项得A(n)- B(n)= 12-2a.
将a和b的关系b=12-a带入，便得到我们所要证明的结论：A(n)-B(n)=a-b, (1 ≤ n ≤ 5).
那么当n=6时是什么特殊情况呢？这个其实是音程向量的基本性质决定的，因为所有的ic6都是倒影不变的，所以计数时少记了一半。这里再用我们的钟盘模型说明一下。比如0和6两个音级，虽然它们可以构成两段不同的圆弧，但是由于端点是一样的，所以只算了一条。这样，所有的ic6数量都减半，这样在等式右边就需要除以二，以符合音程向量的定义。
 
这个命题是我在音集理论中遇到的第一个需要花点时间思考的问题，阿伦·福特在书上没有给出证明，我就写出来分享一下。另外，我相信这个钟盘模型可以让大家很直观的看清楚一些其它问题（倒影、音程和原型等等），对理解音集理论有很大帮助。