Rudin数学分析原理书评 ——原帖不可考，勿怪。

转帖，原帖不可考。勿怪。 A.引言： 我无法掩饰自己对这本书（简称PMA）的喜爱。这真的是一本优秀的数学分析书，非常值得细细品读，尤其是对於中国数学系的学生。 中国的数学分析课，技巧和原理是合在一起的，鱼和熊掌不可兼得，对分析的原理往往讲不深，讲不彻底。中国的数学分析书是照著大纲写的，鲜见好的书籍；相反 在美国，技巧和原理是分开的，分别归在“Calculus”和“Mathematical Analysis”这两门相互独立的课程中。所以，对於美国的数学分析书，你别指望能找到教你什么积分技巧（这只会在名叫微积分（Calculus）的书 中），但原理很透彻，使中国的分析书籍比起来相形见绌。 学习外国的数学分析，一定要接触过微积分，这和中国，前苏联的不同。 我通过中国的《数学分析》开始接触分析，也翻看过Apostol的<Mathematical Analysis>，但通过PMA深入学习数学分析。下面的内容会对这些进行一些比较。 B.关于写作风格： 非常非常精炼。你在看这本书的时候会痛恨为什么定理的证明写的那么精炼。PMA中的定理证明写得非常“雅观”，也就是说，是让人欣赏的。许多定理（比如 Weierstrass多项是逼近定理）你在刚开始看的时候看不出一步步，一个个构造有什么用，临近结尾却突然一个个的又都被用到，指向结论。也就是说 ──定理的证明不会告诉你，为什么要走这一步，这是怎么想到的，为什么这个式子要这么构造（即not motivated），这些都靠你自己去想。然而你一旦相通了，你的分析能力又被锻炼了。 看PMA，能力的提升决不仅仅在练习中，看里面的定理，就像你的严厉的父亲在教你骑自行车，绝对不会手把手当著你，会让你自己摸索，但在必要的时候会点明关键。也如同破□化蝶的过程，艰苦但会令你受益匪浅。 看PMA中定理证明时的痛苦有时反而会让你自己摸索证明方法，这无疑也是一种锻炼。 C.关于练习： PMA里面的练习不算特别多，但很多都很有难度，很能锻炼你的思维水准。不少练习都是一些拓展的或是后续课程当中读者能够处理的定理，不少练习的结论甚至和教材里面的内容同样重要，需要读者记住，我会在后面提及。 D.关于内容： Rudin的分析，内容多；Apostol的分析，内容也多。但两者“多”得不同。Rudin的多，更注重能够使所涉及的体系更加饱满，更加完整，更加透彻，而不是追求枝枝节节的结论。练习中的某些结论同样重要，不能忽视。 下面我所提到的内容，大多是中国的分析所没有的。 （章节一）静下心来！千万不要跳过这一章！从建立有理数域的公理到构造实数系，建立复数系，你在中国的分析书中是很难看到的。也就是说，这本书使整个分析 都建立在 “ 有 理 数”上！中国的分析有一部分是建立在欧几里得几何上的（比如证明lim sinx/x=1），这无疑是与近代数学背道而驰，因为近代数学的几何都是建立在逻辑和“数”上的。 Apostol直接用公理化引入实数，这是一种回避。 PMA从有理数构造无理数用了Dedekind的方法，这是不能错过的，是整个分析的基础。 当然有理数还能从整数构造出来。这在Rudin的PMA中没有提到，不过读者可以自己尝试用“数对”的方法构造（有理数能够用一对整数，即互质的分子分母表示出来）。 （章节二）精彩的一章！讲的是集合论与点集拓扑，学好这一章能对后面的学习打下扎实的基础。由於后面几个章节大部分的讨论是n维欧几里得空间R^n和复平 面，作者直接以拓扑的形式讲述R^n空间的性质，实数轴R^1的性质就是它的特例了。这样显得非常精炼，因为在逻辑上有了一般的R^n就不需要特殊的 R^1了。Apostol的分析也是这么处理的。 中国的分析先讲R^1，后面再讲R^n，讲点集拓扑的。虽然逻辑上显得多余，但从教学上有其必要性。一个原因就是中国课程设置的技巧与原理的合一。中国学 生没怎么接触微积分就要学习分析，然而在美国，学习分析之前要有扎实的微积分基础。虽然我更喜欢国外的做法，不在多余的内容上浪费，但R^1的性质构建也 是需要了解的。因为R^1性质的证明有和R^n不同的方法（可以不依赖于拓扑结构。当然把R^n上的方法套上去也可以），在历史上也是先有R^1性质的证 明，再有R^n的，读者应当有所了解。 即使是讲拓扑，PMA也是相当出色的，从最一般的度量空间讲起，描述了很多度量空间共有的性质，而不是只有R^n空间才有的。比如Heine-Borel定理（点集拓扑的精髓之一），即 1. 集合E是紧的 2. E任何无穷子集都有聚点在E内 3. E闭且有界 Heine-Borel定理说的是：（只有R^n中）这三者是等价的，然而在一般性度量空间又如何呢？分析的书只有在PMA中才找得到！： 1和2等价，1、2和3不等价，1和2能推得3，但无法逆推。 并且作者以练习的形式引导读者得出这一证明（第2章22到26题）。在其他书中，你是无法找到一般性的结论的，仅仅只有欧几里的空间R^n的情形。 Heine-Borel定理无疑是点集拓扑中非常重要，实用的定理，讨论一般性也是非常必要的。并且在第7章你能看到它的威力。 21题是重要的，它告诉你凸集是连通的。22到26题，如前所述，至关重要！ 关于如何判定那些是闭的，紧的，作者没有多说，虽然其他分析书中也很难找到，但我仍要指责作者没有进一步阐明。不过，利用第4章定理4.15读者容易得出：曲边梯形，曲盖柱体是紧的。读者一定要对“哪些集合是开的、闭的、紧的、连通的”有自己的思考。 （章节三）数列与级数。与第2章相比，这一章略显平庸。级数中和Dirichlet法则相对应的重要的Abel法则出现在练习8当中。书中给出了e是无理数的证明。与Apostol的书一样，给出了级数重排的两个重要定理，其中Riemann重排的理论比较重要。 这一章的练习非常值得一做，不少题目有相当大的难度，尤其是24□，居然还没有hint……做好这一章对能力有很大的提高。 作者说了很多地方的讨论仅限於复空间，但很多能推广到R^n中，以及一些特殊的空间等等，练习当中有相关内容要求证明。 （章节四）函数的极限与连续性。同样直接讲度量空间中函数的连续性，站得高望得远，R^n，一维实变量函数就都是特例了，不像中国的分析书浪费笔墨，还先讲特殊性的单变量R^1。同时这一章也给出了判定紧集和连通集的有力工具。 练习23和24是关于凸函数的，虽然不是至关重要，但也比较实用。 （章节五）导数。讲述并不特别出彩。练习非常不错。 （章节六）讲的是实数轴R^1上的Riemann-Stieltjes积分。要掌握积分里面的思想，你会发现证明积分的许多定理是有套路的。 外国的Riemann积分定义与中国的并不相同，也不等价。前者的定义能包含后者，反之不然。 练习10非常重要。这是H□lder不等式，是我们在高中就很熟悉的Cauchy不等式的积分形式。不仅如此，还是Cauchy不等式的推广，不仅限於平方（根）的形式。 练习7，8是关于反常积分的，虽然出现在练习中，但在后面的正文（Gamma函数）却被用上了，所以很重要。 （章节七）继第2章后又一非常精彩的一章！讲得是函数序列与函数级数。我们先看看中国的类似章节讲些什么：除了讲函数的一致连续性用在交换不同极限的内容，和一些一致连续当中和数列，级数收敛类似的简单判定就所剩无几了。 我们看看PMA讲了些什么：除了最基本的函数的一致连续性的应用，对於一致连续性的性质，作者从拓扑的角度，把函数看作“函数空间中的点”，这样函数的一 致连续就能像一般的complete空间一样，许多数列，级数的理论都能直接用在一致连续上。读完这张，你会发现，不管是R^n中的数列收敛，还是函数的 一致连续，本质都是一类空间所共有的性质。这就是我所说的“站得高看得远”。 不仅如此，作者还讨论了函数空间的拓扑性质。在引入函数空间中点集“等度连续”的概念之后，给出了两条重要的定理，它是R^n空间数列中的两个定理：“收 敛数列有界”，以及“有界数列有收敛子列”的对应版本。更重要的是，作者在练习18中给出了Heine-Borel定理的函数空间版本。记住它！！！有了 它，之前提到的两个定理不过是Heine-Borel定理的推论。你又站高了一层！（并且这个函数空间下Heine-Borel定理的证明用到了一般度量 空间的Heine-Borel定理证明，后者出现在第2章22到26题，如前所述。） 还想再站高一层吗？这一张还给出了关于函数逼近论的Stone-Weirstrass定理。有了它，处理一般的连续函数的性质，你就能用多项式函数代替，用三角函数等特殊的函数代替！ 这些都是你在中国的分析，甚至国外的分析都很难看到的。作者收尾的也是恰当好处，以上定理都是与收敛，与数学分析中各个方面密切相关的。作者并没有把这一章变成拓扑课程，这还是分析。 另外，练习12给出了交换极限和积分的次序时，当积分是反常积分的情形，记住它。 正文中给出了一个处处连续但不可微的例子。练习中给出了填满空间的曲线的例子。 （章节八）特殊的函数，包括幂级数，指数函数，对数函数，三角函数，Fourier级数和Gamma函数。 你要问我这一章多重要，我可以告诉你：当初就是瞥见这一章，使我离开Apostol，离开高等教育出版社，而投入Rudin的怀抱。 你要问我这一章多重要，我可以反问你：1.a^(b+c)=a^b*a^c（a^b即a的b次方）当初的证明是在b,c是正整数的时候成立的，你凭什么说 当b,c是分数，甚至是无理数的时候成立？2.你证明lim sinx/x=0时用到圆的弧长，面积的公式，你有证明过它们吗？甚至为他们建立过公理化体系吗？ 所以，你必须读这一章，它会告诉你答案。在这里，指数函数，三角是通过幂级数建立的，a^(b+c)=a^b*a^c，lim sinx/x=0也是根据这些定义证明的，顺带给除了派π的代数定义。最后作者才给出了三角函数的几何意义。不需要一个额外的几何公理，神奇吧！你在中国 的分析，甚至在许多国外的分析（比如Apostol）都是找不到的。 这一章还证明了闻名的定理，即n次复系数多项式必有n个复根。在正文中给出了证明。 练习23到27是又一个证明，方法似乎更为传统，用“绕卷数”的方法。这一章的不少练习透露出复变函数的气息。 （章节九）多变量函数的微积分。虽然作者补充了线性代数的相关知识，但学习过相关内容（矩阵，行列式，线性空间，线性变换）无疑是重要的。作者精辟的讲出 了：函数的全导数是一个线性映射，这无疑让人受益匪浅，比讲全导数是矩阵更能让人接受。中国的分析讲的是全微分，不仅函数值仅仅是一维的，用微分的概念将 也不清晰 除了重要的压缩不动点定理，反函数定理，隐函数定理，作者还给出了不常在分析书中见到的秩定理。 交换求导次序的定理是重要的。二次求导交换次序的定理出现在正文中，任意次的情形出现在练习29，非常重要。 作者还给出交换偏导数和定积分次序的定理。虽然没有给出，但读者应该自己给出反常积分的情况。 练习30是多变量Taylor定理，读者也不能错过。 （章节十）向量分析的n维情形。本质是流形上的分析。给出了n维情形Stokes定理。作者试图直接依托于n维矩形的多次积分讲述流形上的分析，而有界区 间上的重积分是其特例。然而这是不讨好的，因为这样重积分和流形上的积分有些性质（受依托于n维矩形的多次积分的限制）就无法体现，比如不同区域上积分的 可和性。 中国分析的相关内容也不理想，向量分析仅限与3维，多重积分的定义，那种任意作的小区间不过严肃。 关于这方面内容，我建议读Munkres的<Analysis on Manifolds>。 （章节十）实分析引论。读者完全可以不看，而可以看更深入的Rudin的<Real and Complex Analysis> E.补充资料 要读这本书，读者要预先学过：微积分（单变量，多变量微积分，向量分析），线性代数（矩阵，行列式，线性空间，线性变换）。 学完此书，读者还应当学习： 1. 流形上的积分，来补充PMA中不完善的重积分，向量分析内容。 2. 近代数学分析相关历史（重点是实数系构建）。厘清历史脉络，知道数学的大厦是怎么建成的，才能对今后的自主研究有所帮助。