1-0.999... 等于多少？

来自: 痛
2009-08-19 16:46:11

答案很简单： 1-0.999...=1/(...999.0+1) 推理也很简单： 1-0.9=1/(9.0+1) 1-0.99=1/(99.0+1) 1-0.999=1/(999.0+1) ... 1-0.999...=1/(...999.0+1) 当然，我们需要确认，无论 0.999... 中有多少个 9，都存在一个 9 的数目与之相等的 ...999.0。即我们需要承认以下的一一匹配关系始终成立： 0.9<——>9.0 0.99<——>99.0 0.999<——>999.0 ... 现在令 a=1/(...999.0+1) 下面讨论 a 是否等于零。如果 a=0，那么实际上我们需要承认 1/0=1/a=...999.0+1 不过，现在的数学体系，不承认 1/0 有意义，但认定 1-0.999...=0，实际上破坏了一致性。另外一方面，我们知道 lim a=0，是否可以认定 a=0 呢？答案是不一定。a 为无穷小或者为零，这个等式都成立。一个类似的例子，我们知道在 C 语言中有取整函数：int。我们知道 int[x]=5，则 x 可以等于 5，也可以等于 5.23 或 5.7，都没问题。如果因为 lim(1-0.999...)=0，就断言 1- 0.999...=0，就像根据 int[x]=5，就认定 x=5 一样没有道理。

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[已注销] 2009-08-19 17:02:38

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zeta 2009-08-19 18:45:52

1/oo = NaN?

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RapStone 2009-08-19 18:49:53

就是误差的问题。 1和0.999...之间的误差小到可以忽略所以可以认为1=0.999...

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原来是这样 2009-08-22 21:53:09

lz你犯的错误是：明确了1/0没有意义，但却竟然默认了……999.0有意义

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痛楼主 2009-08-23 00:33:19

没错，...999.0 在眼下的数学中是发散级数，但它仍然存有意义，即无穷大。我与当下数学主流观念最大一个不同，是将形式上的对称置于更高地位。就上文来说，我们承认 0.9、0.99、...、0.999.... 有意义，则必须承认 9.0、99.0、...、...999.0 有意义。因为它们在形式上是对称的。类似地，如果我们通过令 x=0.999... 10x=9.999... 10x-x=9.999...-0.999=9 得到 x=1 即 0.999...=1 (a) 成立，则我们必须承认令 x=...999.0 x/10=...999.9 x-x/10=...999.0-...999.9=-0.9 得到 x=-1 即 ...999.0=-1 (b) 成立。因为 (a) 和 (b) 在形式是对称的。非常可惜，眼下的数学承认了 (a)，但不承认 (b)，实际上破坏了对称优先原则。我们知道，对称在物理学中占有较高地位，但在数学中地位却很低。我愿意在数学中将对称原则置于更高位置。在这个问题上我不想说服任何人，也不打算被任何人说服。

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原来是这样 2009-08-23 11:25:45

1 （a）的存在意义似乎是你定出来的，不是“眼下的数学”承认的 2 （a）其实是存在的，这就是比实数更大的范围——广义实数，而在广义实数中，1/0也是存在的。其实也就是说，数系在纳入一个新元素的时候，也是纳入了它的对称体的 “对称在数学中地位很低”，这是从哪儿得出的结论……

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int cmp (const void*, const void*) 2009-08-23 11:38:41

“在这个问题上我不想说服任何人，也不打算被任何人说服。 ” 那你发这个是什么意思

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int cmp (const void*, const void*) 2009-08-23 11:43:48

（a）其实是存在的，这就是比实数更大的范围——广义实数，而在广义实数中，1/0也是存在的。 +1 但是extended real number就不是一个field了。某些地方性质好是要付出代价的，我还是更喜欢作为一个field的real number一点，因为它好的性质更多。还有关于(b)，很多计算机的计数系统里面是有跟这个类似的东西的。

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痛楼主 2009-08-23 12:30:32

我想我应该说得更确切一点，基于对称原则，(a) 式与 (b) 式必须同时成立，或者同时不成立。在目前的主流数学中，1=0.999... 是成立的。类似 (a) 式的论证在各种数学文献中很常见。比如我们将 0.142857142857... 化为分数通常会利用这种方法。康托尔关于实数不可数的论证也用到了 1=0.999...。但 (b) 式是被否定的，因为 ...999.0 是发散级数，这种运算是被禁止的。再如，我们经常用到 0.142857...、3.1415926...、1/0!+1/1!+1/2!+1/3!...，却极少关注 ...758241.0、...629541.3、0!+1!+2!+3!... 等。后者都被一言以蔽之：发散级数而打入冷宫。这是当今数学漠视对称的一个明证。基于形式的对称，我认为后者与前者的数学意义同样重要。实际上，我也在努力，希望能够找到处理这些所谓发散级数的新方法。

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int cmp (const void*, const void*) 2009-08-23 13:49:01

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%91%E6%95%A3%E7%BA%A7%E6%95%B0 http://en.wikipedia.org/wiki/Divergent_series

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Barret 2009-08-23 15:09:25

则我们必须承认令 x=...999.0 x/10=...999.9 x-x/10=...999.0-...999.9=-0.9 得到 x=-1 即 ...999.0=-1 (b) 成立。 ---------------- 楼主干嘛不是 x/10-x 不就没事了，得出来还不是1=0.999无限循环。感觉在诡辩嘛。

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痛楼主 2009-08-26 00:47:50

我想走得更远一些。如果 -1 确实可以等同于 ...999.0，那么，虚数 i 就会等同于 ...999.0^0.5 从而与无穷相关联。另外，我们还可以令 dx=1-0.999...，然后借助于 ...999.0 这样的数，简化微积分的运算。

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护国神兽蔡想想 2009-08-26 01:51:38

我不想说服楼主，所以只能围观

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eulen (好吧我承認哥是個重口味怪蜀黍) 2009-08-26 09:02:14

传说中的民科？围观。。。

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D.gray man 2009-08-27 20:17:15

卧槽了我居然看不懂。。。

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誓为理者 2015-09-30 10:35:42

没错，...999.0 在眼下的数学中是发散级数，但它仍然存有意义，即无穷大。我与当下数学主流观念没错，...999.0 在眼下的数学中是发散级数，但它仍然存有意义，即无穷大。我与当下数学主流观念最大一个不同，是将形式上的对称置于更高地位。就上文来说，我们承认 0.9、0.99、...、0.999.... 有意义，则必须承认 9.0、99.0、...、...999.0 有意义。因为它们在形式上是对称的。类似地，如果我们通过令 x=0.999... 10x=9.999... 10x-x=9.999...-0.999=9 得到 x=1 即 0.999...=1 (a) 成立，则我们必须承认令 x=...999.0 x/10=...999.9 x-x/10=...999.0-...999.9=-0.9 得到 x=-1 即 ...999.0=-1 (b) 成立。因为 (a) 和 (b) 在形式是对称的。非常可惜，眼下的数学承认了 (a)，但不承认 (b)，实际上破坏了对称优先原则。我们知道，对称在物理学中占有较高地位，但在数学中地位却很低。我愿意在数学中将对称原则置于更高位置。在这个问题上我不想说服任何人，也不打算被任何人说服。 ... 痛

1-0.9=1/10^1 1-0.99=1/10^2 1-0.999=1/10^3 1-0.999...=1/1000…… 为什么要扯上...999.0 楼主在误导人

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誓为理者 2015-09-30 10:39:15

没错，...999.0 在眼下的数学中是发散级数，但它仍然存有意义，即无穷大。我与当下数学主流观念没错，...999.0 在眼下的数学中是发散级数，但它仍然存有意义，即无穷大。我与当下数学主流观念最大一个不同，是将形式上的对称置于更高地位。就上文来说，我们承认 0.9、0.99、...、0.999.... 有意义，则必须承认 9.0、99.0、...、...999.0 有意义。因为它们在形式上是对称的。类似地，如果我们通过令 x=0.999... 10x=9.999... 10x-x=9.999...-0.999=9 得到 x=1 即 0.999...=1 (a) 成立，则我们必须承认令 x=...999.0 x/10=...999.9 x-x/10=...999.0-...999.9=-0.9 得到 x=-1 即 ...999.0=-1 (b) 成立。因为 (a) 和 (b) 在形式是对称的。非常可惜，眼下的数学承认了 (a)，但不承认 (b)，实际上破坏了对称优先原则。我们知道，对称在物理学中占有较高地位，但在数学中地位却很低。我愿意在数学中将对称原则置于更高位置。在这个问题上我不想说服任何人，也不打算被任何人说服。 ... 痛

x-x/10=...999.0-...999.9=-0.9 ？？？ x是正数 x-x/10=9/10*x肯定也是正数怎么可能是负数 ...999.0=-1？？

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誓为理者 2015-09-30 10:42:34

我想走得更远一些。如果 -1 确实可以等同于 ...999.0，那么，虚数 i 就会等同于 ...999.0^0.5 我想走得更远一些。如果 -1 确实可以等同于 ...999.0，那么，虚数 i 就会等同于 ...999.0^0.5 从而与无穷相关联。另外，我们还可以令 dx=1-0.999...，然后借助于 ...999.0 这样的数，简化微积分的运算。 ... 痛

...999.0根本不可能等于-1 刚才是你算错了。你算数能力没问题吧。

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未注销 (www.baidu.com) 2015-09-30 11:12:37

(1-0.99...)和...99不就是X正半轴的两个尽头么。 (1-0.99...)就是在X正半轴负向趋近于0，因为是收敛的，所以认为当0.99...无限增大的是时候，(1-0.99...)无限接近于0。 ...99就是X正正半轴正向无限增长，因为是发散的，所以无法找到一个确切的数字来表述。简单来看，就是挖掉端点的射线在正反两个方向上的极限咯，看似两头都是无法取到确定点的，但是因为一头是收敛一头是发散，就强行要把两边对称起来，却忘了本来射线就不是对称的。

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未注销 (www.baidu.com) 2015-09-30 11:16:10

而所谓的 0.9<——>9.0 0.99<——>99.0 0.999<——>999.0 这样的一一映射的关系是平凡的，毕竟(0,1)的区间都可以映射到整个平面。

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轻点额头 2015-10-07 13:36:48

楼主的第一篇论述有问题： ...999.0实际上是在取极限，这个你不能否认。所以1/(…999.0+1)是一个取极限的过程，这个结果也就是你的a等于0没有问题。而你说1/0无意义在这个地方没有体现，因为是取极限的过程。所以实际上是1/x，而x是以1-0.99999…的速率趋于0。一致性是没有破坏的。楼主还是先好好看看数学分析吧。

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