月球与行星 | （12）拉普拉斯太阳星云

1. 拉普拉斯的轶闻趣事

拉普莱斯的全名是皮埃尔—西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）是法国的著名数学家、天文学家和物理学家，被称为法国的牛顿。拉普拉斯的父亲是农民，在当时当一个神父是一个农民能能看到的最好的出路了，因此他父亲送她到卡昂大学学神学，但是拉普拉斯本身对数学感兴趣，因此很快他被当地的一个数学教授发现，数学教授推荐他到了巴黎。当时巴黎的数学家达朗贝尔（Jean le Rond d’Alembert）十分赏识他，因此拉普拉斯很快展露头角。

拉普拉斯用五卷本巨著《天体力学》总结了牛顿以来天体力学的成就，并提出了一系列独创的数学工具。这么一个显耀的科学之星，自然逃不过有野心的政治家的喜爱。拿破仑人民拉普莱斯为内政部长，这可是一个实权要害部门，但是拉普拉斯本来就无心于政治，因此没干到两个月就被解职了。虽然法国政坛风波不断，但是拉普拉斯一直享有崇高的地位。你说拉普拉斯无意于政治吧，可能也不是，拿破仑的侄子复辟之后，波旁王朝曾经封他为侯爵，拉普拉斯十分看重，在出版的著作中就署名“拉普拉斯侯爵”。这么看来，拉普拉斯之所以没在内政部长的位置上干长久，可能是因为政治才能不足。

拉普拉斯在数学的成就主要体现在概率论，他从赌博问题出发将概率论提升为一门严谨的数学学科，还对贝叶斯定律进行了系统化发展，使得贝叶斯定律成为了统计学的重要工具。

2. 拉普拉斯用牛顿力学和数学分析星云

拉普莱斯从能量的角度分析了星云的塌缩过程。和康德一样，拉普拉斯认为太阳系起源于一团炽热的、旋转的气体星云。星云在自身引力下开始收缩。假设星云的总能量E等于引力势能U和动能T的总和，即E=T+U，引力势能U，动能T。

对于一个稳定的自引力系统而言，动能T和引力势能U满足：2T+U=0。如果2T+U＜0，就是星云的引力势能占主导，星云倾向于收缩；如果T+U＞0，就是星云的动能占主导，星云倾向于膨胀。

现在，拉普拉斯已经从数学上比较完备地证明了星云的塌缩。拉普拉斯作为伟大的数学家，不会就此打住的，他更进一步尝试通过数学推到来解释星云收缩过程中星云盘物质的形成和行星的凝聚。遗憾的是，他的原始推到没有保留下来。但我们可以根据拉普拉斯的思路，也就是在牛顿力学的思路下，来尝试还原一下如果你是拉普拉斯，你会怎么推导出星云中的环以及行星凝聚过程中的一个重要参数。

3. 从我们选定的公理分析拉普拉斯的讨论

我们在上次课中给出了一些公理和原始概念。现在我们就要用这些公理和原始概念，来推导一下星云盘物质的质量。

首先是角动量守恒。星云的初始角动量L=Iω，而I=（2/5）MR2。星云在收缩过程汇总维持角动量L守恒，也就是说随着R的减小，角速度ω是逐渐增大的。因此，转动的离心力F=mω2r。其次，我们来看一下引力。引力就是万有引力。万有引力和离心力达到平衡，从这里我们就可以解出星云发生坍塌的临界半径和对应的角速度。

在知道临界半径以后，我们想要知道的是随着星云的收缩，星云盘的质量是多少？随着星云继续收缩，离心力就会超过引力，这会造成有一部分物质在离心离的作用下被甩出去，被甩出去的物质就形成我们的星云盘，而在引力作用下凝聚在一起的就是我们的太阳。现在我们知道，在原行星盘中看到的环可能不是这样形成的，但是我们先跟着拉普拉斯的思路来推到。

这里要用到质量守恒，也就是中心天体太阳的质量加上星云盘的质量等于星云的初始总质量，与此同时角动量依然守恒，我们就把星云的初始角动量分配给中心天体太阳和星云盘。当离心力与引力相等的时候，星云盘的展布半径由引力与离心力相等的方程确定，然后我们就可以通过积分来计算出盘的物质质量来，当然我们还得假设物质是均匀分布，或者呈现某种有规律的分布，例如指数衰减。如果假设密度是均匀分布的，那这个就太简单了，先计算盘的体积，再乘以密度就可以。环的体积就是一个大圆柱体减去一个小的圆柱体，淡然了如果盘的厚度远远小于盘的半径，你还可以做一个薄盘近似。

现在我们知道了星云盘的质量和半径，就可以继续推导盘中的粒子的碰撞速率。我们非常关心这个参数，因为如果盘中粒子的碰撞速率比较高，行星形成的速率就快一些；如果一两百万年也不会有两个小颗粒碰撞，那么还怎么在这个盘里形成行星？

我们可以通过星云盘的总质量和总体积给出星云盘的密度，也就是ρ=M环/V环。假设盘中的粒子的质量是m粒子，那么盘中的粒子数目就是：n=ρ/m粒子。

如果我们假设盘中粒子的运动是开普勒轨道运动，很容易就可以知道粒子的运动速度v等于根号下GM中心天体/r环。这个速度实际上也是粒子间的相对运动速度。如果我们进一步假设粒子是个正球形，半径是a，那么这个球的几何截面就是σ=πa2。

那么星云盘中粒子碰撞的频率就是粒子的数目乘以粒子的截面再乘以粒子之间的相对速度。行星的吸积时间与粒子的碰撞频率成反比，因此碰撞频率越高，行星形成得就越快。入宫碰撞频率足够高，那么有可能在星云冷却之前，就形成固态行星。

讲到这里，我不知道诸位有什么感觉或感想。可以说，经过康德和拉普拉斯的努力其实关于行星系统的形成理论已经很完善了，也就是说并不需要我们做出什么特殊的努力，我们所需要做的就是把拼图拼完整。换句话说，即便很多行星科学领域里的人说这个领域还有很多问题没有解决之类的，有很多甚至很大很大的问题，但实际上这里面已经没有什么大问题需要解决了 剩下的无非都是对边边角角的缝缝补补而已。如果说有一些问题尚未解决，这些问题也只是一些次级的问题，并不涉及有关行星形成的普遍理论。