谁来参加我的豆瓣数学竞赛？

当然，以下十个问题都涉及到拓扑学和几何学的核心概念：

1. 环面和球面的拓扑性质有何不同？
   • 解释环面（Torus）和球面（Sphere）在同胚性、基本群和Euler示性数等方面的差异。

1. 什么是流形（manifold），给出几个不同类型的流形的例子？
   • 讨论流形的定义，并给出如圆（S^1）、球面（S^2）、环面（T^2）、Klein瓶等例子。

1. 为什么莫比乌斯带（Möbius strip）不是一个可定向的曲面？
   • 解释莫比乌斯带的非定向性及其与其他可定向曲面的区别。

1. 如何定义和区分同胚（homeomorphism）和同伦（homotopy）？
   • 讨论同胚和同伦的定义，并举例说明它们之间的区别和联系。

1. 四维空间中的球面（S^3）和三维空间中的球面（S^2）有什么不同？
   • 讨论高维球面的性质及其与低维球面的区别。

1. 如何利用基本群（fundamental group）来区分不同的拓扑空间？
   • 介绍基本群的概念，并通过具体例子如圆、球面、环面等说明基本群在区分拓扑空间中的应用。

1. 什么是覆盖空间（covering space），如何通过覆盖空间来理解拓扑空间的结构？
   • 解释覆盖空间的定义，并举例说明如圆的覆盖空间、环面的覆盖空间等。

1. 什么是紧化（compactification），如何通过紧化操作改变拓扑空间的性质？
   • 讨论如亚历山大紧化（Alexandroff compactification）和一维射影空间（projective line）等紧化方法及其效果。

1. 二维球面（S^2）上任意两点之间的测地线（geodesic）是什么样的？
   • 解释测地线的定义，并描述二维球面上两点之间测地线的特性。

1. 什么是Euler示性数（Euler characteristic），如何计算简单多面体的Euler示性数？
   • 介绍Euler示性数的概念，并通过多面体如立方体、四面体等的具体计算说明其应用。

这些问题涉及拓扑学和几何学中的基本概念和深层次理解，能够帮助你更好地掌握这些领域的知识。