古代三大几何难题
一、古代三大几何难题
在欧洲巴尔干半岛的南端,有一个地中海沿岸的文明古国希腊。古希腊人崇尚严谨,在几何学的形成和发展上做出过巨大的贡献。
好辩的古希腊人,鄙夷任何不确定或模棱两可的东西。他们认为,没有任何东西能够像直线和圆那样,明确得使人无可挑剔!况且这两者的获得又最为容易:用一个边缘平直的工具,便能随心所欲地画出一条直线;而用一端固定另一端旋转的工具,便能得到一个圆。所以,古希腊人认为,几何作图规定只许使用圆规和直尺,这是天经地义的!
在古希腊,几何学重在推理。因此,对于作图工具的直尺,自然不允许赋予人为的刻度。在公元前3世纪成书的,集古希腊数学之大成的《几何原本》中,对直尺的作用,规定了以下两条:
(1)经过已知两点作一直线;
(2)无限地延长某一直线。
对于圆规的用法,《几何原本》则限于以一点为圆心过另一点作圆。此外,对于已知直线与直线、直线与圆或圆与圆,当它们相交时,允许求出它们的交点(图2.1.1)。
以上规定,通称尺规作图的公法。凡不符合公法规定的作图,都被认为是不允许的。
在公元前6世纪至公元前4世纪,在几何学故乡的古希腊,人们就曾热衷于以下3个貌似简单的作图问题:给你一把圆规和一根直尺,经过有限的步骤,你能否:
(1)把一个给定的角三等分。(三分角问题)
(2)作一个立方体使它的体积是已知立方体体积的两倍。(倍立方问题)
(3)作一个正方形使它的面积等于已知圆的面积。(圆化方问题)
没想到,就是这3个古老的问题,竟困惑了人类整整20个世纪!
在上述问题中,最容易使人产生错觉的是三分角问题。由于几乎人人都能轻而易举地用尺规平分一个给定角(图2.1.2),因而也就几乎人人都相信自己,同样具备三等分一个角的能力! 况且确实也有一些角,例如直角,我们能够用尺规三等分它。
以上的错觉是如此根深蒂固,以至于在这一问题取得反面解决(1837年)的一个多世纪后的今天,依然有许多不知深浅的年轻人,为此而徒劳地耗费大量的时间和精力。
倍立方问题是3个古老难题中最富神奇色彩的。它始于一个有趣的神话:传说公元前5世纪古希腊的雅典,流行着一场可怕的瘟疫。人们为了消除这场灾难向神祈祷。神说:“要使疫病不流行,除非把神殿前的立方体香案的体积扩大一倍。”开始人们以为这十分容易办到,只需把香案的棱放大一倍就行。不料神灵勃然大怒,疫情越发不可收拾。人们只好再次向神顶礼膜拜,才知道新香案的体积并不等于原香案体积的两倍。这个传说的结局如何?今天已经无人知晓。但这个古老的问题,却从此流传了下来。
据说当年古希腊哲学家柏拉图(Platorn)和他的学生也曾研究过倍立方问题,但束手无策。这个问题的症结在于:新香案的棱长等于原香案棱长的2的开3次方倍,而2的开3次方已与三分角问题同时被证实为不可能用尺规作出!圆化方问题,粗略看去,很难使人感到它深不可测。假定已知圆半径为r,则所求正方形边长如图2.1.3。从表面上看,它似乎相当简单,只是求比例中项的问题其实,它非常难! 关键在于π,人们很迟才知道它是怎样的一个角色!
圆化方问题今天也被证实不可能用尺规作出。但它的最终解决要比其他两个问题晚了近半个世纪,大约在1882年才得见端倪。
二、笛卡儿的功绩
历史鸿篇,艰难地翻动了一页又一页。经过整整20个世纪的努力,人类终于揭开了古代三大几何难题的谜底! 而这一切的实现,首先要归功于笛卡儿坐标系的建立。
在17世纪以前,几何和代数这两个分支基本上是独立的。人们把代数里研究“数”与几何里研究“形”,看作全然不同的两回事,采用的方法也迥然不同。欧几里得的《几何原本》是一部公认的经典著作。书中的第七章至第九章,实际上讲的是数论问题。然而,即使像“素数无限性”这样纯粹数的问题,也是采用纯几何的方式予以表达。这种形与数分立的历史,一直持续到17世纪。
几何与代数之间鸿沟的填平,具有传奇般的色彩。1619年,一位才智超群的青年军官,对如何把代数运用到几何上的问题,发生了浓厚的兴趣。当时部队驻扎在多瑙河旁的小镇,蓝色的天空,绿色的原野,流星在夜空中划过,骏马在大地上奔驰。这一切都引起了这位酷爱数学的青年人的联想:陨落的流星,驰骋的骏马,它们运动的轨迹应该怎样去描述?
一天夜晚,青年军官躺在床上久久不能入睡。突然,天花板上的一只小虫落入他的视野:小虫缓慢而笨拙地走着它那自以为是的弯路。一时间他思绪叠涌:虫与点,形与数,快与慢,动与静,他似乎感到自己已经悟出了其间的奥秘,但又似乎感到茫然。他昏然了,终于深深地进入了梦乡。
常言道:“日有所思,夜有所梦”。有时白天百思不得其解的问题,夜晚的梦却能给人启迪。那天晚上,一个伟大的灵感在睡梦中产生了。这位年轻的军官终于悟出了一种方法。这种方法可以把几何语言“翻译”为代数语言,从而可以把任何几何问题转化为代数问题加以求解。这就是我们今天常说的解析几何方法。创造这一方法的年轻军官,就是后来成名的法国大数学家 R.笛卡儿(R.Descartes)。笛卡儿把几何语言“翻译”成代数语言的方法,今天的中学生已经都很熟悉。那就是:在平面上取两条互相垂直的直线为坐标轴,水平的叫横轴,垂直的叫纵轴。它们的交点 O 叫坐标原点。于是,平面上任一点 P 的位置,都可以用它跟坐标轴的有向距离来决定。P 点到纵轴的有向距离称为P 点的横坐标,常记为x;P 点到横轴的有向距离称为P 点的纵坐标,常记为y(图2.2.1)。基于上述方法,笛卡儿列出了以下几何和代数语言的
正是这张对译表,在几何与代数之间架起了一座桥梁。人们可以把几何问题先“翻译”成代数问题,然后利用代数的运算和技巧加以解决,最后再把代数的结果“翻译”成几何的答案。困惑人类达2000年之久的古代三大作图难题,正是采用了这样的方法,并运用了代数学的最新成果之后,才被最终证实为不可能!
笛卡儿的一生是勤奋、博学的典范。
1596年,笛卡儿出生于法国一个富有的律师之家。早年受过极好的教育,后来参加军队并担任文职工作。1617 年,部队进驻荷兰的布勒达城。有一次,在招贴牌上他看到一个挑战性的数学问题。他成功地解决了这个问题。这件事唤起了笛卡儿对数学的浓厚兴趣,并从此与数学结下了不解之缘!
1619年之后,笛卡儿开始致力于解析几何、哲学和物理学的研究,都取得了引人注目的成果。尤其是他对解析几何的开创性工作,使整个古典的几何领域处于代数学的支配之下,从而大大加速了变量数学的成熟。
1637年,笛卡儿的名著《方法论》出版。这本书记载了笛卡儿主要的学术成果,并使他名垂史册!
1649年10月,笛卡儿应邀为瑞典女王讲授哲学。这位生性怪诞的年轻女王,非要笛卡儿每天清晨5点为她讲课不可。北欧的隆冬,寒风刺骨,酷冷难熬。女王的苛刻要求,超出了这位数学家身体的忍受程度。他不幸染上了肺炎,终于一病不起,1650年2月11日,笛卡儿长眠于斯德哥尔摩。
三、人类智慧的伟大胜利
科学总是重复着这样的规律:一些长期解决不了的问题,一旦出现了新的认识,便很快迎来了勃勃生机。解析几何的出现,为人类判断古代作图的三大难题,提供了新的认识和工具。在这方面最先实现突破的是年轻的德国数学家高斯(Gauss)。
高斯的这一定理告诉我们:人们完全能够用尺规把一个圆周5等分、17等分、257等分,甚至于65537等分;然而,却不可能用尺规把一个圆周7等分、11等分或13等分!
事实上,高斯本人已经找到了把圆周17等分的尺规作图方法。把圆周257等分的作图方法,是1832年由德国数学家 F.J.勒克罗找到的。勒克罗用以记载这一方法的论文,厚达80页! 而把圆周65537等分的尺规作图法,出自另一位德国数学家赫尔姆斯(Hermes)之手。赫尔姆斯提供的作图手稿,有整整一个提箱,现仍保存于德国的哥廷根大学。
在高斯定理中至关重要的费马数,有着一段波澜起伏的历史。
高斯的成就是人类智慧的一个伟大胜利! 它使人们认识到尺规作图不可能性的客观存在,从而在思想方法上为几何作图三大难题的最终解决,扫清了前进的道路。沿着高斯的思路人们发现:只有由已知线段经过有限次的加、减、乘、除和开平方运算所得到的线段,才可能用尺规作出。在此之前,利用解析几何的工具,人们已经确切地知 道,凡是能够用尺规作图作出的线段和点,都可以表示为已知线段经有限次的加、减、乘、除和开平方运算的形式。
1837年,德国数学家万特兹尔(Wantzel)证明了60°角不可能用尺规作图的方法加以三等分,又证明了2的开3次方不可能由1经有限次加、减、乘、除和开平方运算得到。这意味着三分角问题和倍立方问题想通过尺规作图的方法解决是不可能的。
又过了近半个世纪,1882年,德国数学家林德曼(Lindemann)证明了π为超越数。这意味着π的开平方更不可能由单位1经过有限次的四则运算和开平方运算求得。这就证明了圆化方问题也同样不可能用尺规作图的方法加以解决。
林德曼的工作,标志着对古代三大难题的2000年困惑、2000年奋斗,终于落下了最后的帷幕!
（摘自清华大学出版社《数学的奇境》）
