托普卡普卷轴中的伊斯兰几何设计2：模块化设计系统
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前文回顾：
托普卡普卷轴是研究伊斯兰几何装饰的重要文献来源。本文给出了一些典型设计的数学分析，集中在一个模块结构，设计是由六个拼块组装而成。本文展示了这种多功能系统的应用，包括非标准设计元素的引入，基于彭罗斯菱形的非周期图案，以及几种同时在两个尺度上具有互补图案的两级设计。
1.介绍
本文继续分析托普卡普卷轴中的二维几何设计[13]。在第一部分[5]中，我讨论了通过反射复制模板的一般方法及其对图案的结构和对称性的影响，并分析了一些不寻常的星形图案的构造。
在这里，我专注于一个几何设计的模块化系统，其中的图案是由一组小而通用的拼块组装而成的，这些拼块上装饰着标准化的图案。Hankin [6]、Makovicky [12]、Bonner [1]以及Lu和Steinhardt [11]都提到过使用这些拼块中的一部分或全部来制作传统的伊斯兰图案。在这篇文章中，我将重点放在托普卡普卷轴的面板上，它提供了证实这种方法的证据。这些设计由其他来源的例子补充，以说明引入非标准特征的方法的修改。特别是，我展示了由重复单元边界上的拼块的不规则裁剪引起的变化，或者通过一小块拼块内的图案替换引起的变化。
托普卡普卷轴的七个设计同时在两个尺度上呈现互补的图案。其中一个已经在第一部分中讨论过了，其他六个都是基于模块化系统的。这两层设计中的四层是基于拼块的细分，这种方法将相似性转换作为另一种形式的局部对称引入到伊斯兰图案中。比较了Bonner [1]和Lu和Steinhardt [11]对伊斯法罕Darb-iImam双层图案的分析——后者被认为与卷轴中的例子更一致。
本文中对托普卡普卷轴编号面板的引用使用[13]中的编号。
2.一组装饰拼块
图1显示了一组六块拼块:
。角度为72度和108度的菱形
。正五边形(角度为108度)
。角度为72°和144°的凸六边形——线轴
。角度为108和144的凸六边形——桶
。角度为72和216的非凸六边形——蝴蝶结
。正十边形(角度为144度)。
图1 一些角是36的倍数的等边拼块。
表1 托普卡普卷轴的面板，其中拼块是可见的或可用于解释构造。
所有的拼块都是等边的，它们的内角都是36的倍数，它们都具有非平凡对称性。每个拼块都装饰有一个图案，通过在每个边缘的中点放置两条线，与边缘成54°角，并将它们延伸到拼块内部，直到它们与从其他边缘生长的类似线相交。桶六边形和十边形有两种装饰形式。一个十边形图案是正星形多边形{ 10/3 }；它的组成部分与领结上的风筝一致。另一个十边形图案更加复杂，对称性从10次旋转降低到5次旋转。图案可以保持简单的线形，勾勒出的区域可以着色，或者线条可以加宽并交织成丝带。这三种风格的例子都出现在图中。
这些拼块可以组装成许多传统的伊斯兰图案。线轴六边形上的图案类似于缠绕纱线的锭子或线轴。这种独特的主题很容易在设计中找到，它的存在很好地表明了设计可以以这种方式构建。图2显示了几个带有小重复单元的例子，基于托普卡普卷轴中的面板。在每种情况下，卷轴中的面板对应于以灰色显示的区域，并且是反映在矩形的边上以生成图案的模板。拼块的边缘包括在图中，以显示设计的基本结构，但在成品中，这些结构线将被删除，只留下图案。这隐藏了基本框架，有助于保护艺术家的方法。
图2 小重复单元设计。(a) 62号面板，(b) 50号面板，(c) 53号面板。
Bourgoin收藏[2]的图版173、175、176和178显示了具有小重复单元的设计，这些小重复单元可以由拼块产生(下面的拼块未显示)；板173显示了图2(a)中设计的较大部分。
Hankin [6]的图37使用了与图2(a)相同的拼块排列，并具有两种形式的十边形图案，而不仅仅是{10/3}星形。他的图的左半部分显示了设计和拼块，右半部分只显示了设计。Hankin的工作也提供了一个描述:“一个广泛使用的基于十边形结合纺锤形图形的图案类别的例子”[6，第20页]。
Hankin的小册子[6]包含其他例子，表明他知道整个模块化系统。他的作品45-50展示了印度莫卧儿城Fatehpur Sikri圆顶建筑的四种图案，他在每种图案上都画出了拼块的边界。他的一个图，如图3所示，包括了所有的六块拼块。这是一个在圆顶周围重复的模板，左边的顶点形成顶点。尽管模板的顶角是36角(所以10个复制品会围绕平面上的一点)，但Hankin解释说只有8个复制品被用来装饰一个圆顶。角度不足迫使该结构成为圆锥形，这更容易转移到圆顶的曲面上。
图3 来自Hankin [6]。
托普卡普卷轴提供了历史上使用拼块制作图案的证据。在面板28、50、52、53和62中，设计用黑色实线绘制，拼块用红色虚线勾勒。面板29、31、32、34和49中的设计也可以使用拼块来创建，但是拼块没有在这些图中示出(这些是同时在两个比例上显示图案的复杂设计，将在后面讨论)。表1总结了每个面板中存在的图块。在画面53中，桶形拼块被连接两个顶点的等分线分成两个梯形。在卷轴的所有例子中，图案总是显示十边形1和桶2。
在许多可以被视为使用拼块构造的设计中，图案的线条与拼块边缘形成的角度是54。然而，正如伊斯兰设计的许多方面一样，也有变化。卷轴的面板58示出了用红色虚线勾勒的拼块，但是叠加了具有72入射角的设计。图4显示了来自开罗的另外两个例子。(b)和(d)部分显示了(a)和(c)照片中图案的结构。两种情况下拼块的排列是一样的:(d)是(b)的一半，由90旋转。它们的入射角分别为72和36。(a)部分是阿兹哈尔清真寺的装饰。细支柱形成通常作为最终设计留下的部分，但是这里它们由较粗支柱的网络支撑，较粗支柱大部分沿着拼块的边缘。这种形式的屏幕提供了间接证据来支持“多边形接触”的建造方法[1，8]——有时这种关系比这种情况更明显(参见Wade收藏中的照片IND 0820[15]作为一个很好的例子)。(c)部分是来自Barquq陵墓的一个雕刻的石墓。这种设计是欺骗性的：尽管它与可以用图1的标准拼块产生的设计共享许多区域形状，但是它不能使用54入射角由它们制成。
图4 开罗设计，(a)和(c)中的照片是大卫·韦德的收藏中的EGY 0923和EGY 1322的照片。
Bonner [1]称基于36、54和72入射角的结构分别为钝角、中间角和锐角。这并不提供设计的分类，因为入射角取决于拼块的选择，一个设计可能属于多个类别。图5显示了一个例子，左边是54(中间)结构，右边是相同设计的36(钝角)结构；中间部分显示了底层镶嵌的双重性。卡普兰[8]对镶嵌的这种双重性进行了更广泛的探索。
图5 共同设计的双层结构
3.具有非标准特征的设计
图2中设计的重复单元包含很少的拼块。伊斯兰艺术家也创作出具有更大重复单元的设计，以及结构更少的艺术品，其中完全看不到平移对称性，尽管通常很清楚这些作品如何能够继续产生周期性的图案。即使在这种明显不规则的拼块排列中，眼睛也能在图案的经济性中找到统一性——相同的几个形状出现在不同的环境中。这与使用“多边形接触”方法产生的复杂星形图案形成对比。在这种情况下，在设计中混合不同种类的星星通常是通过在定义星星的正多边形之间构建不规则五边形和六边形的单元矩阵来实现的；完成的星形图案包含许多不同形状的区域，如果在尺寸和形状上明显缺乏一致性，就会显得杂乱。
图6示出了通过在其侧面反射面板52的矩形模板而产生的设计。展示的作品包含模板的六个副本——三个横放，两个竖放。除五边形之外的所有拼块都出现在设计中。在此示例中，模板的边界被拼块的侧面或拼块的镜像线覆盖，这两者都确保了连接处拼块的连续性。在其他来源的设计中，拼块并不以这种方式适合重复单元，而是悬于边缘之上。对于这种生成设计的方法来说，这不是问题:悬垂的拼块被简单地切割以适合，反射照顾到了图案的连续性。
图6 托普卡普卷轴第52页的设计。
图7显示了这种技术的一种变体。这是对开罗国家图书馆中一本有插图的可兰经设计的分析。灰色区域表示通过平移复制的六边形重复单元。六边形内拼块的排列是图8(e)所示普通结构的裁剪形式，蝴蝶结和线轴围绕十边形交替排列。线轴上的图案在靠近模板边界处被修改。这在最终设计中产生了不寻常的形状区域，这有助于掩饰其构造方法。
图7 从《可兰经》构建一个设计。
图8 插入其他星形和玫瑰形中心的替换。
在有大重复单元的设计中，有10倍对称的拼块块有时被一个包含三层玫瑰围绕{10/4}星的主题所取代。图8显示了这种替换的三个例子:上面两个来自Bourgoin[2]的189和190板(图9和10)，下面一个来自土耳其科尼亚的卡拉塔伊Madrasa的设计[4，图10]。图11显示了玫瑰[9]的结构。切线圆控制几何形状。蔷薇十字的两条线在每一个切线处成36度角。大圆内的线形成一个规则的{10/4}星;恒星外面是三层细胞——六边形花瓣、箭头和风筝。这种形式的替代在设计中引入了一种新的元素，这种元素不能仅由拼块产生，但在风格上是兼容的。它增加了多样性，强调了设计的自然焦点。
图9 Bourgoin[2]中189板块的构建
图10 Bourgoin[2]的190板块的建造
图11 10/4星上的一朵玫瑰
为了在图10中找到一个重复单元，通过{10/4}星的中心画水平线和垂直线。玫瑰被放置在这个矩形的角上，但是原始拼块片的对称性(图8c)不包括垂直的镜像线。这导致沿着重复单元的顶部和底部边缘的拼块的异常裁剪，其效果在图底部的两朵玫瑰之间清晰可见。
由拼块构成的设计自然包含局部5重和10重对称的中心。通过反射复制矩形模板将总是产生具有平移对称性的设计。对于拼块的当代应用，我们可以采用最著名的局部五重对称中心图案，并使用彭罗斯菱形来组织一个没有平移对称的设计。图12(a)和(b)显示了排列在两个菱形上的拼块，十边形位于每个角的中心，蝶形沿每个边对齐。由于这种设计中的拼块非常小，因此应用棋盘区域阴影来产生装饰。胖菱形中的短轴不是镜像线并不重要——这个特征与彭罗斯镶嵌中强制非周期的匹配规则是一致的。图12(c)显示了最终图案的一部分。
Rigby和Wichmann[14]用一种不同的方法制作了五重伊斯兰设计。他们没有使用装饰过的拼块，而是将最终设计中可见的形状拼接在一起。他们用这些形状覆盖了彭罗斯风筝和飞镖，制作出了一种非周期性的设计。Castera[3]和卡普兰[7,x3.10]也通过装饰彭罗斯菱形产生了非周期性图案，但在这两种情况下，传统的星星图案重叠并被修改，以便它们可以融合在一起。
图12 基于彭罗斯菱形的当代非周期星形图案。
4.有两种比例图案的设计
多尺度设计的相互作用是一些大型伊斯兰设计的特征。这些多尺度的设计通常出现在建筑物上，当观众靠近时，他们会经历一系列的模式。从远处看，具有高对比度的大比例形式占主导地位，但在近处，这些形式变得太大而无法感知，较小的形式取而代之。实现这种过渡的早期方法非常简单，通常只是用花卉或植物卷轴逐渐填充背景中的空隙，使设计没有空白空间。通过密度、雕刻深度、颜色和纹理的变化来表现尺寸和细节层次的差异。后来的设计更加雄心勃勃，在不止一个尺度上使用相同的风格。
图1中的拼块被用来分析伊朗伊斯法罕的Darb-iImam(伊玛目圣殿)中一个著名的两层设计(见Wade收藏中的IRA 0907图[15])。Bonner [1]使用了四种拼块:五边形、桶形、十边形，加上一个“薄”菱形，其角度为36和144。为了构建小比例设计，他首先铺设拼块，使其边缘或镜像线覆盖大比例设计中的线条，然后填充剩余区域以完成密铺。小比例的设计是利用36入射角由拼块构成的(菱形没有图案)。Lu和Steinhardt[11]的分析使用了三种拼块:蝶形、线轴和十边形。他们从大规模设计下面的蝴蝶结和十边形拼块开始，然后将每个大拼块细分为小拼块。大比例和小比例设计都是使用54入射角从它们各自的拼块构建的。
事实上，小比例密铺的两种选择是对偶的，如图13所示。大规模设计如图5所示，因此它也与两个双重镶嵌有关。Bonner选择了五边形、六边形和十边形作为大尺度设计的结构。这使得他可以宣称大小比例的设计都是用一套普通的拼块做成的钝角构造。然而，这种选择是任意的，因为他的方法没有在大小拼块之间建立任何自然的几何联系。他的方法还需要引入薄的菱形拼块，这在托普卡卷轴中没有出现。相比之下，卢和斯坦哈特的构造是基于一个广泛使用的拼块三位一体，他们的程序通过细分揭示了大小拼块之间的关系。我们将在下面看到，卷轴中的一些两层设计也可以用拼块的细分来解释。
图13 Bonner [1]与Lu和Steinhardt [11]对两级设计的分析比较。
托普卡普卷轴包含两种两级设计的例子，它们的区别在于小比例设计是构成前景还是背景装饰。Bonner [1]分别称这些为B型和A型。(他还发现了一种C型，这种C型依靠颜色来区分大小比例的图案，但是这种图案出现在西班牙和摩洛哥，并没有出现在卷轴上。)
图14示出了卷轴的面板49的细节结构。(注意，在[1，图10]中重新绘制的面板49的副本不同于沿着框架的原始副本。)大比例设计是用宽线条绘制的一颗{10/4}星周围的玫瑰的一部分。在图的左边，道路是用图1中的拼块铺成的。道路的边缘由拼块的镜像线组成，所有的拐角都位于十边形的中心。在拼块上使用交错的图案来创造小比例的设计会产生一种不协调的丝带图像，有许多松散的末端。一个更有效的模式是通过应用棋盘阴影产生的，如右图所示。在第一部分[5]中讨论的面板38是另一个两级模式，前景是小比例模式(类型B)。
图14 托普卡普卷轴的面板49的细节结构。
托普卡普卷轴的五个面板是两级设计的模板，其中小比例图案填充大比例图案中的背景区域(类型A)。在面板28中，三幅图叠加在同一个图形上:一个小比例的设计用黑色实线绘制，其相应的密铺用红点勾勒(如前面所述的面板)；红色实线中添加了一个大比例设计。在每个面板29、31、32和34中，没有示出拼块，但是红色的大比例设计覆盖在黑色的小比例设计上。
面板28和29的结构如图15和16所示。在每种情况下，小比例设计用交错的图案描绘，大比例设计用粗灰线显示；粗黑线定义了与大比例设计相关的密铺。在两个图中绘制的模板具有双重旋转对称，但是卷轴中的面板不是这种情况，其看起来是不完整的:包含来自面板28的右手端的大约20%和来自面板29的左手端的大约30%的卷轴部分缺失。也许原始卷轴的一部分被损坏并被移走了。在图17和18中，模板通过侧面的反射而被复制，以产生成品设计的足够大的区域，用于欣赏大比例的设计。这些例子说明了表达大比例图案的两种不同方式:图17中的区域阴影和图18中的简单线条。这两种方法都被用于伊朗伊斯法罕建筑物上的双尺度图案——参见上文引用的Darb-i Imam图像和[15]中的IRA 1116 (Madrasa Madar-i Shah)。在这两种情况下，小比例的设计已经用区域的棋盘阴影进行了渲染。
图15 托普卡普卷轴第28幅图的分析
图16 对托普卡普卷轴第29幅图的分析
图17 基于托普卡普卷轴面板28的双层设计
图18 基于托普卡普卷轴面板29的双层设计
在图15中，粗黑线标出了一个中心菱形，以左上角和右下角为中心的十边形的四分之一，以及矩形顶部和底部边缘的半菱形。这些拼块与图1中绘制的菱形和十边形拼块的大比例图案有关。因此，相同的构造方法是小规模和大规模设计的基础。还要注意的是，在这个例子中，叠加小比例和大比例镶嵌创建了大拼块的细分，其中大拼块的每个边由两个小拼块的边和一个小十边形的对角线组成。Bonner [1]引用面板28作为两级设计的模块化构造的证据，但随后声称大规模设计具有钝角构造。在图15中，大比例设计有一个54入射角(中间)；在这种情况下，没有由拼块组成的双重网格，即使使用Bonner的十个拼块的扩展集。卢和Steinhardt [11]正确地确定了大规模设计的结构，并首先认识到细分属性。
事实上，面板28、31、32和34都是以这种方式创建的，并且分析[4]揭示了在所有四个面板的构造中将大拼块一致地细分为小拼块。图19显示了菱形、桶形、筒形和十边形的细分以及五边形的部分细分。当大小拼块都是这种比例时，不可能找到五边形和蝶形拼块的完整细分。这些细分在[4]中有更详细的讨论。
图19 从托普卡普卷轴中的双层图案衍生出的细分，比例因子为3 +√5 = 5:236
图20显示了具有两个互补模式的原始设计。这里，两种图案之间的比例差异小于托普卡普卷轴中的比例差异，因此在小比例设计中使用交错是可行的。这个设计是通过在大规模设计中的每个交叉点上放置一个线轴来创建的，然后用蝴蝶结和十边形完成小规模拼块的剩余部分。底部中央显示了大比例图案中10点星的自然填充。在图片的其余部分，使用图8(e)和(f)的替换，这些拼块片已经被替换为Konya {10/4}图案。
图20 有两种互补图案的原创设计
5.结束语
我们已经看到，托普卡普卷轴展示了用图1中的拼块创造传统伊斯兰几何图案的各种方法。从土耳其到埃及，再向东穿过伊朗到中亚，各种媒介中都可以找到实物例子。该系统的模块化性质允许自由形式的组合物自发生长，导致有点混乱的设计，如图3中的圆顶模板。拼块通常排列成覆盖一个矩形，然后作为模板重复。模板可能非常大——图10的重复单元包含大约40个图块。当拼块用于覆盖除矩形以外的形状时，图案的复杂性可能会显著增加。例子包括用宽线条绘制的大设计(图14)，大设计中的背景区域，甚至是大版本的拼块本身(图19)。覆盖彭罗斯菱形图案赋予了现代感(图12)。如此多才多艺的设计系统的创造肯定是伊斯兰几何艺术的最高成就之一。
参考文献
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[15] D. Wade, Pattern in Islamic Art: The Wade PhotoArchive. Available at http://www.patterninislamicart. com/
[16] B. Wichmann and J. Rigby, A Penrosetype Islamic interlacing pattern, Vis. Math. 9 (2007). Available at http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/wichmann/penrose.html
[17] Peter R. Cromwell, Islamic geometric designs from the Topkap Scroll II: a modular design system
青山不改，绿水长流，在下告退。
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