高观点下的小学数学
在我两年前准备入手鸡娃的工作前，有幸经人推荐，阅读了AMC旗下最经典的AOPS系列教材第一本，Rusczyk他们写的黑皮书首书Prealgebra。本来我就想着竞赛题大集成嘛，也就练个脑快，但看到里面Rusczyk不管不顾照样把commutative和associative这两个规则，认认真真堂堂正正写下来，加上它还讲了加法和乘法下各自不同的单位元和由此可以引入的逆元，我还是肃然起敬的：我能看到他们在纸张背后没有写出来的雄心：每一个参加数学竞赛的孩子，都应该从小就埋下抽象代数的种子，哪怕此时他们对群环域模一无所知，也必须让懂数学的人为他们埋下。
所以当风云老师这本《中小学数学要义》出版时，我是抱着同样期待的，我期待这位数学家写出来的教材，不仅和外面那些铺天盖地的辅材大不一样，还要高出国内数学教科书。教科书为了照顾大多数孩子，讲的是又慢又慢又慢，这让我迫切想看到有人能有一个类似来自Rusczyk那样高度的眼光，去俯瞰中小学教育，而不是去把考试会遇到的重点难点和疑点罗列。这书应该是穿透性的，从现代数学的高度直接穿透下来，让很多有数学热情的孩子，能够用尽量短的时间，滚完所有中小学数学教育，然后开始做自己喜欢做的事情。
我用了一个星期时间读完，认为上述目的，这本要义是达到的。
它一开始就借用数轴的力量，早早将负数引入。当然这个特色因为Rusczyk那里也有，我也不是特别惊喜，然后后面呢，它再用数轴引入双实数坐标系，复数坐标系，以及对虚数单位i用旋转进行视觉直观解释，这些呢，我在国外数学教育视频上也看到过，甚至连Mathantics这样照顾普娃的数学教程中也有。不过，在中文世界，用数轴来精确而恰当的穿起整本书的做法，恕我孤陋寡闻，我觉得这可能是第一本。
而这书让我最满意的部分，不是上面这个数轴，而是力透纸背的抽象代数。其实整本书没有一个字提到任何抽象代数的内容，连这四个字都没有出现过。但我能看出，作者是多么想不吓退家长的同时去告诉他们的孩子更多更好的数学知识。
比如第47页，作者在有理数算术系统的基础上，又回过头给出了整数算术系统的五大基本性质，其中第一条说的是，这整数系统里面有两个基本运算，加法和乘法，并且任何两个整数相加或相乘还是整数。
我不抄下去了，因为读到这儿，一定有家长会心想这不废话吗，我这还要教孩子吗？嗯，作者要是换个写法，比如写成一个Ring of integers 里包含两种不同的运算，分别记号为+和x，并且不管怎么运算都保持封闭，我想家长就不会把这本书买回去了呀：因为家长自己都看不懂，就会想孩子怎么可能懂呢？其实，孩子会懂的，这世界上毕竟愚蠢的家长多，愚蠢的孩子少，只要不写那些抽象代数的专业术语，用大白话写，孩子能敏锐注意并吸收其中的知识，他们跟成年人不一样。成年人有太多的生活经验，因为习以为常，所以满不在乎，但孩子天真、热情、没有成见。一般来说，家长不太会去想，那这样的算术系统里为什么不能带除法呢？但看这本书的孩子会告诉你，因为一旦用除法，比如让2除以4，就出来分数1/2了，而1/2就不在整数这个范围里面了，出圈啦，所以要不出圈，我们得把这个算术系统弄弄大，弄大到有理数算术系统里去，让每个数都有一个伙伴，它们相乘等于1，比如2和1/2相乘就等于1，1/2不属于整数但属于有理数，在有理数范围，每个不是0的数都可以找到这样的一个伙伴，只要别再跟我来什么开方平方，老老实实就来一点分数什么的，那么这样就可以构造一个带除法的有理数算术系统了，我们抽象代数里把这个算术系统叫有理数域Q。
到了第108页，作者在引入分式的基础上，进一步将多项式的分解和分式作了比较，他告诉孩子们，“多项式和分式不仅仅是关于未知量x的表达式，它们本身也有算术本质，可以看成广义的数。”我看到这里几乎是要跳起来的，因为就是这么一句稀松平常的话，我看到背后站着的是Polynomial ring，多项式环，我好不容易才慢慢自学成才搞定的概念，这书里就这么和盘托出，毫无保留得呈现在了孩子面前，恍若传说中四十大盗的宝藏，现在除了阿里巴巴每个孩子都可以人手一堆，手慢也有。
而在第215页，本书也到达了它的一个高潮，开始讲解复数算术系统，当然也是非常贴心，并没告诉你这就是复数域C。那什么时候从有理数域变成了复数域了呢，当中好像我还提及过什么环？嗯，对了，如果你足够细心，在前面第113页你会看到部分答案，那里进行了首次有理数域的扩张，在那里，作者把根号2弄进了有理数算术系统。然后到第216页他还布置了一道习题，问你要是让虚数i参与到有理数加减乘除的运算中，这是什么算术系统呢？我验算了一下，的确构成了一个新系统，但又不放心，因为整本书所有提问都是开放的，没有答案的。
真棒，我上网查到了：这就是传说中著名的The field of Gaussian rationals（高斯有理数域），从这里出发，我相信热爱数学的孩子们迟早会接触到Prime element，Ideal class group，最终领悟到费马最后定理的美妙，而中途放弃深造的孩子，也会一路上看到更多更美的风景。这些我认为都不是靠单纯参加数学竞赛能够得到的，更不是靠在课堂里认真听老师讲就能学到的。当然，对家长们我还是报以期望的：为了孩子，多少宝妈刀山敢上，多少宝爸火海敢闯，区区戴德金库默尔安德鲁怀斯，你们就不要跑远了~
当然本书限于篇幅，有很多精彩的地方并没有尽情展开。比如第51页，它提及了12/47的余数有46个，咦，47-46=1，这是巧合吗？余数数量正好等于这个数字减一的情况有多少呢？有什么规律吗？书里没讲，我也是疯狂查了互联网，才发现后面拖着Fermat-Euler theorem等知识一大堆。而第79页上，论及圆周率计算的时候，我查了一下资料，发现书里给出的是当年莱布尼茨在1673年提出的数列，它利用的是反正切函数的展开，但需要628项才能精确到圆周率小数点后两位，而1676年牛顿用了个反正弦函数，只要3项就能精确到3.14，当然，还有拉马努金大神的公式......
此外，可能是照顾到中小学这个限定词，论及向量空间这部分时，书里只提到了向量的点积，没有进一步扩展到三维向量空间去进一步讨论Cross product，然后也没有提及向量之间的Projection。当然，这些缺憾我觉得不重要，重要的是作者已经很明确得告诉孩子们：向量和复数有什么异同，以及它们的内在联系。比如着重把复共轭与向量内积、带向面积的关系说透了，这方面AOPS系列直到后面的Precalculus，我记得好像都没写的这么清楚明白。
当然，这书也没忘记给点微积分的前导内容。可能是因为很多家长都认为孩子学了微积分就算学到很高深的数学知识吧，因为微积分都在大学里才开始讲授，提前学微积分是多么了不起啊。
才不是。我认为这都是大人的幻觉，因为他们自己学微积分就很晚才学，或者根本就没学过。其实我觉得根本没必要被微积分吓唬住：小孩子在海边玩沙子，聚沙成塔，这就是微积分；把手心里的雨水慢慢盛积起来，这也是微积分，只是它们都还没成为数学，还只是经验。但有经验就足够了啊。在这本书的第248页，作者用了古代数学家就用过的穷竭法，让孩子在数学上直接体验了一把积分的乐趣。至于微积分的严格证明，这种事情等以后到实分析再说吧，让我们先培养孩子的数学想象力，牛顿和莱布尼茨可不是因为证明完成了才宣布发明了微积分。
另外，我还很希望《中小学数学要义》再版时，在本书的末尾能有专门一章，将整本书提及的所有算术系统，全部用module的语言再浓缩一下，毕竟书里好几次都提到了算术系统之外，还至少两次提到了线性空间，并且书里最后一页上的习题都涉及到用等价关系分类了，一切都是那么水到渠成，自然而然，那干嘛不再用模的概念来梳理一下呢，凭作者的功力，肯定是有本事把它写的从头到尾不出现一个模字，从而哄过家长，帮到小孩。
最后，请让我用在本书里划下的金句之一，作为这篇颂文的结尾：加法乘法分配律的实质就是平移变换和伸缩变换的不可交换性。
简单，但不能太简单。
