7.28

高斯整数环z[i] 中的单位只有正负1和正负i，它形成欧几里得环，他的次数函数的范数，证明它是欧几里得环的一个原因是为了说明它是PID，从而它的元素可以唯一地分解为不可约元素的乘积，
每个欧几里得环都是PID
证明：设I是R中的理想，如果I={0} 则I=(0)是主理想，所以我们可以假定I不等于(0)。由最小整数公理，I中一切非零元素的次数的集合有最小元素，比如n 选取 d属于I 满足d的次数函数等于n 显然（d）属于I 因此只需证明反包含 如果a属于I 则有q，r属于R 使得 a=qd+r 其中 r=0 或者r的次数函数小于d的次数函数，因为d的次数最小 说明r=0所以 a属于（d） 从而I=（d）。。。。。
如果a属于Z[i] 是不可约的，则存在唯一的素数p使得在Z[i] 中a|p。