凯尔特结的几何学及其lunda设计
女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
乔治·贝恩(1951年)、他的儿子伊恩·贝恩(1986年)、艾丹·米汉(1991年)和彼得·克伦威尔(1993年)分析了美丽的凯尔特结作品的构造方法，这些作品装饰了《凯尔经》和《林迪斯芳福音书》的书页，装饰了不列颠群岛(公元8世纪和9世纪)的皮克提金属制品和石头十字架。用约翰·福维尔(1990，第6页)的话来说，这些结作品与凯尔特螺旋和回纹图案一起可以被解释为凯尔特民族数学。哈拉尔德·格罗普(1996)提出日历推算是凯尔特数学的一部分。在这篇论文中，我将展示凯尔特结的例子，并展示它们如何产生吸引人的黑白设计，我称之为Lunda设计，然后分析Lunda设计的整体和局部对称性，并给出这些设计的教育应用建议。
图1a展示了凯尔特人的基础结(Meehan，1991，第8页)。它可以通过以下方式生成。考虑图1b中的2 x 2点网格。想象一条从A发出的光线，与正方形的两侧成45‘的夹角，反射在正方形的两侧以及B点和C点之间的反射镜上(图1c)。几次反射后，光线返回到A(图1D)。图1E以及光线的闭合多边形路径的平滑版本(如果存在)。此版本将称为镜像曲线(参见。Gerdes，1990等；斯拉维克，1995)。凯尔特基础结图1a在拓扑上等同于图1f中的镜像曲线：最下方的Z字形曲线已平滑为弧形。许多凯尔特结也可以以类似的方式生成。图2给出了第二个示例：考虑一个5x4点网格(图2a)。在一些(水平或垂直)相邻网格点之间的中心，水平或垂直放置双面镜(图2b)。图2c显示最了随后的镜像曲线，相当于图2d中的凯尔特结，即LaGore Crannog结(Meehan，1991，第113页)。
图1
图2
在两个例子中，两个水平或垂直相邻网格点之间的距离被选择为等于2个单位，并且边界网格点和矩形边界之间的距离等于1个单位。因此，每条镜像曲线精确地穿过每个单位正方形一次，在每个单位正方形中可以分解相应的矩形网格。这使我们能够给曲线交替通过的连续单位正方形涂上黑色和白色。从一个白色的单位正方形开始，我们在凯尔特基础和Lagore Crannog结的情况下(见图3和4)获得了图3c和4b中呈现的黑白设计。这种黑白设计我称之为Lunda设计。我是在分析一类图案的背景下发现它们的，这类图案传统上是由绍奎人的故事讲述者在沙地上画出来的，以说明他们的故事、寓言和谚语(参见Gerdes，1990，1995，1997a)。绍奎人主要生活在安哥拉东北部，一个叫做Lunda的地区。因此得名Lunda设计。lunda设计具有有趣的局部和全局对称性。
图3
图4
图5给出了由镜像曲线生成的Lunda设计的更深入的例子，这些镜像曲线在拓扑上等同于Meehan(1991，第123、122、142页)和Wilson(1983，P1)复制的凯尔特结。28)。学生可能会被要求在文献中寻找凯尔特结的复制品，如果可能的话，构建相应的镜面曲线和Lunda图案。所有这些Lunda设计有哪些共同之处？相邻网格点之间会发生什么？边界和其附近的网格点之间会发生什么？一旦猜想被发现，它们可能会受到检验。例如，它们是否在图6和图7所示的Lunda设计的情况下得到验证，这些设计由在拓扑上等同于Meehan(1991，第130页)和Davis(1991，第21页)复制的凯尔特结的镜像曲线生成。
图5
图6
图7
可以证明（Gerdes，1996），Lunda设计有以下两个局部（双色）对称特性。
(i) 沿着边界，每个网格点总是有一个黑色单元格和一个白色单元格（见图8a中的例子）。
(ii) 在两个任意的（垂直或水平）相邻网格点之间的4个单位方格中，两个是黑色的，两个是白色的（见图8b的例子）。
图8
由此可见，Lunda设计具有全局对称性，其特点是：
(iii)在每一行（和每一列）中，黑色单位方块的数量与白色单位方块的数量相同：
相反，对于满足特征(I)和(ii)的每个黑白设计，可以产生产生它的镜像曲线(作为证明，参见Gerdes，1996)，这些特征可以用于定义Lunda设计。
在迄今为止介绍的每个凯尔特结的例子中，镜像曲线都通过了矩形网格的所有单位方格。换句话说，这些结只由一条线组成。我们把这样的结称为单线性。然而，也有多线性的凯尔特结，由一条以上的线组成。图9a展示了Meehan（1991年，第146页）所复制的2线性结的拓扑等值。如果我们现在把从网格左下角"开始"的曲线所经过的单位方格交替涂上黑色和白色，那么只有部分（在这种情况下，一半）单位方格会被涂上颜色（见图9b）。由于存在两种给第二条封闭曲线经过的单元格着色的可能性（见图9c和9d），因此出现了两种相关的黑白设计（见图9e和9f）。很容易验证这两个设计都是Lunda设计。更一般地说，可以证明一个n线结，在拓扑学上等同于一个n线镜像曲线设计，产生2^(n-1)个Lunda设计。图9e和9f中的两个相关的Lunda设计都有一个双色对称轴：在其水平轴上的反射将黑色和白色互换。
图9
本文构建的所有Lunda设计都具有双色对称性。图5a和5b中的Lunda图案具有水平的双色轴，而其生成的镜像曲线却不对称。图3、4、5c、5d和6中的Lunda设计具有水平和垂直双色对称性。图7中的Lunda设计具有双色旋转对称性：围绕其中心转半圈，黑色和白色就互换。这个有吸引力的Lunda设计显示了其他各种有趣的局部对称性，读者可以验证。
图10展示了单线性凯尔特结的拓扑等价物。这个镜像曲线所产生的Lunda设计就是图9e中的那个。这构成了一个具体的例子，说明不同的结可以产生相同的Lunda设计。Lunda设计的数量如何取决于参考网格的尺寸，这个一般的问题仍然是开放的。对于特定类别的Lunda设计，已经找到了一些答案（参见Gerdes, 1996）。
图10
另一个值得进一步研究的课题是Lunda设计的序列。图11展示了一个镜像曲线序列的第一个元素。第五个元素在拓扑学上相当于一个单线性凯尔特结（见 图12），由Jones（1856，T.LXIV，No.10）复制。这一连串的镜像曲线产生了一连串的Lunda图案，其中的第一个元素在图13中表示。如果不首先构建镜像曲线，然后生成相应的Lunda图，是否有可能预测这个序列将如何继续？
图11
图12
图13
找到这个问题的答案的一个方法是如下。让我们把属于该序列的每个Lunda图划分为宽度为两个单位方格的垂直切片。有八种不同的切片类型，如图14所示：A和A'，B和B'，C和C'，以及D和D'是彼此的负形。当我们将C围绕其中心旋转180'角时，我们得到B。使用这个符号，我们有t1=A。t2=ABC，t3=BDDCA'，等等。(见图15)。我们能在这个字母模式中发现一些结构吗？
图14
图15
在每个对角线方向，似乎都有长度为4的循环：（AABB），（BDDB），...，（ACA'C'），（BCB'C'），等等。(见图16a)。
图16
根据这些实验数据进行推演，我们推测出一种由重复的“之字形菱形”构成的字母模式(见图16b)。“之字形菱形”有着有趣的对称性。它由两部分组成(参见图17)：第二部分的每个字母元素都是第一部分相应字母元素的负数。此外，每一半围绕其中心旋转半圈以下是不变的(参见图18)。图19显示了黑白的“之字形菱形”。我们可以将图18和19中的黑白设计称为多项式Lunda设计(参见。Gerdes，1996,1997)。图20b展示了另一个多项式的Lunda设计，由一个凯尔特结(图20a)生成，由Jones(1856年，P1)复制而成。Lxiv)。有关其他推演，如圆形、六角形和多面体Lunda设计和(多色)Lunda-k设计，以及Lunda条形和平面图案，请参见Gerdes(1996,1997,1999,1999a)。图21显示了构建Lunda-分形的前三个阶段，由凯尔特基础结生成(参见图1a和3c)。
图17
图18
图19
图20
图21
参考文献
1 Bain, G. 1951 Celtic Art: the Methods of Construction, Constable, London.
2 Cromwell, P. 1993 'Celtic Knotwork: Mathematical Art', The Mathematical Intelligencer,
15(1), pp. 36-47.
3 Davis, C. 1991 Celtic Designs and Motifs, Dover, New York.
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P. 1990 'On Ethnomathematical Research and Symmetry', Symmetry: Culture and Science, 1(2), pp. 154-170.
5 Gerdes, P. 1995 Une Tradition Giometrique en AfJique-Les Dessins sur le Sable, L'Harmattan, Paris/Montreal, 3 vols.
6 Gerdes, P. 1996 Lunda Geometry: Designs, Polyominoes, Patterns, Symmetries, Universidade Pedag6gica, Maputo.
7 Gerdes, P. 1997 'On Mirror curves and Lunda-designs', Computers and Graphics, Oxford, 21(3), pp. 371-378.
8 Gerdes, P. 1997 Ethnomathematik Dargestellt am Beispiel der Sona Geometrie, Spektrum Verlag,
Berlin/Heidelberg/Oxford.
9 Gerdes, P. 1999 'On Lunda-designs and some of their Symmetries'. In: Symmetry: Art and Science (in press).
10 Gerdes, P. 1999 'Generation of Lunda-designs'. In: Gerdes, P. Geometrical and Educational Explorations Inspired by African Cultural Activities ch. 19, MAA, Washington (in press).
11 Gropp, H. 1996 'Some Remarks on Celtic Mathematics', Proceedings of the ICME-8
Satellite Meeting of the International Study Group on the Relations Between History and Pedagogy of Mathematics (HPM), APM, Braga, Vol. 2, pp. 162-169.
12 Jones, O. [1856] 1986 The Grammar of Ornament, Omega Books,Hertfordshire.
13 Meehan, A. 1991 Celtic Design: Knotwork, The Secret Method of the Scribes, Thames
and Hudson, London.
14 Slavik, J. 1995 'Mirror Generated Curves', Symmetry: Culture and Science, 6(2), pp. 275-278.
15 Wilson, E. 1983 Early Medieval Designs, British Museum, London.
16 Paulus Gerdes, On the Geometry of Celtic knots and their lunda-designs
青山不改，绿水长流，在下告退。
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