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同济大学数学系《高等数学》（第6版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

精勤学习网考研 2020-09-20 10:42:20

第8章　空间解析几何与向量代数

8.1　复习笔记

在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题。空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。

一、向量及其线性运算

1．向量概念

（1）向量

客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，这一类量叫做向量（或矢量）。在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记。有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面加箭头）来表示向量，例如a、r、v、F或、、、等等。

（2）向量的大小和方向

由于一切向量的共性是都有大小和方向，因此在数学上只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（简称向量），即只考虑向量的大小和方向。

由于只讨论自由向量，所以如果两个向量a和ｂ的大小相等，且方向相同，就认为向量a和ｂ是相等的，记作a＝ｂ。这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。

（3）向量的模

向量的大小叫做向量的模。向量、a、的模依次记作、、。模等于1的向量叫做单位向量。模等于零的向量叫做零向量，记作0或。零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的。

（4）向量的夹角

设有两个非零向量a，b，任取空间一点O，作＝a，＝b，规定不超过的AOB（设＝AOB，0≤≤）称为向量a与b的夹角（图8-1），记作（a，b）或（b，a），即（a，b）＝。如果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0到之间任意取值。

图8-1 非零向量a，b

如果（a，b）＝0或，就称向量a与b平行，记作a//b。如果（a，b）＝，就称向量a与b垂直，记作ab。

注意，由于零向量与另一向量的夹角可以在0到之间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直。

当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上。因此，两向量平行，又称两向量共线。

设有k（k≥3）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称为向量共面。

2．向量的线性运算

（1）向量加减法

①加减法则

a．三角形法则；

b．平行四边形法则。

（2）运算规律

向量的加法符合下列运算规律：

①交换律：a＋b＝b＋a；

②结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

由于向量的加法符合交换律与结合律，故n个向量（n≥3）相加可写成。

设a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量，记作-a。由此，我们规定两个向量b与a的差：。

特别地，当b＝a有。

由三角形两边之和大于第三边，有及，其中等号在a与b同向或反向时成立。

（3）向量与数的乘法

向量a与实数的乘积记作a，规定a是一个向量，它的模，它的方向为：当＞0时与a相同；当＜0时与a相反。当＝0时，＝0，即a为零向量，这时它的方向可以是任意的。

向量与数的乘积符合下列运算规律：

①结合律：（a）＝（a）＝（）a；

②分配律：。

设表示与非零向量a同方向的单位向量，那么。

【定理】设向量a≠O，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，使b＝a。

3．空间直角坐标系

（1）坐标轴

在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i，j，k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴。它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系或[O，i，j，k]坐标系。

（2）坐标面

三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个由y轴及z轴和由z轴及x轴所确定的坐标面，分别叫做yOz面及zOx面。

（3）卦限

三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限。含有x轴、y轴与z轴正半轴的那个卦限叫做第一卦限，其他第二、第三、第四卦限，在xOy面的上方，按逆时针方向确定。第五卦限至第八卦限，在xOy面的下方，第一卦限之下的为第五卦限，按逆时针方向确定，这八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示（图8-2）。

任给向量r，有对应点M，使＝r，以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体RHMK-OPAQ，如图8-3所示，有

图8-2 三个坐标面将空间分为八个卦限

图8-3 以OM为对角线的长方体RHMK-OPAQ

，

设

上式称为向量的坐标分解式，xi，yj，zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量。

【定义】有序数x、y、z称为向量r（在坐标系Oxyz中）的坐标，记作r＝（x，y，z）；有序数x，y，z也称为点M（在坐标系Oxyz中）的坐标，记作M（x，y，z）。

向量r＝称为点M关于原点O的向径。

4．利用坐标作向量的线性运算

设，即。

利用向量加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配律，有

（1）加法

；

（2）减法

；

（3）数乘

。

5．向量的模、方向角、投影

（1）向量的模与两点间的距离公式

设向量r＝（x，y，z），作＝r，则向量模的坐标表示式为：

。

设有点A（）和点B（），则点A与点B间的距离就是向量的模。即得A、B两点间的距离：

。

（2）方向角与方向余弦

非零向量r与三条坐标轴的夹角称为向量r的方向角。从图8-4可见，设＝r＝（x，y，z），由于x是X坐标轴上有向线段的值，MPOP，故，类似可知，。

图8-4 非零向量r的方向角

从而＝，，，称为向量r的余弦。上式表明，以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e，并由此可得

。

（3）向量在轴上的投影

一般的，设点O及单位向量e确定u轴（图8-5）。任给向量r，作，再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点（点叫做点M在u轴上的投影），则向量称为向量r在u轴上的分向量。设＝e，则数称为向量r在u轴上的投影，记作或。

图8-5 向量在轴上的投影

由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质：

①（即），其中为向量a与u轴的夹角；

②（即）；

③（即）。

二、数量积、向量积、混合积

1．两向量的数量积

设一物体在恒力F作用下沿直线从点移动到点，以s表示位移。由物理学知道，力F所作的功为，其中为F与s的夹角。

从这个问题看出，有时要对两个向量a和b作这样的运算：运算的结果是一个数，它等于以及它们的夹角的余弦的乘积，叫做向量a与b的数量积，记作ab，即。

（1）由数量积的定义直接推出

①，这是因为夹角＝0，所以；

②对于两个非零向量a、b，如果ab＝0，那么；反之，如果，那么ab＝0。

（2）数量积的运算规则

①交换律：；

②分配律：；

③结合律：，为数。

2．两向量的向量积

设向量c由两个向量a与b按下列方式定出：

c的模，其中为a、b间的夹角；

c的方向垂直于a与b所决定的平面（即c既垂直于a，又垂直于b），c的指向按右手规则从a转向b来确定（图8-6），那么，向量c叫做向量a与b的向量积，记作a×b，即。

图8-6 a与b的向量积

（1）由向量积的定义直接推出

①；

②对于两个非零向量a、b，如果a×b＝0，那么a∥b；反之，如果a∥b，那么a×b＝0。

（2）向量积的运算规律

①b×a＝-a×b；

②分配律：；

③结合律：，（为数）。

（3）向量积的坐标表示式

设，那么：

。

为了帮助记忆，利用三阶行列式，上式可写成

。

3．向量的混合积

设已知三个向量a、b和ｃ。如果先作两向量a和b的向量积a×b，把所得到的向量与第三个向量ｃ再作数量积（a×b）c，这样得到的数量叫做三向量a、b、ｃ的混合积，记作[abc]。

（1）三向量的混合积的坐标表示式

设，则

。

（2）向量的混合积的几何意义

向量的混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积。如果向量a、b、c组成右手系（即c的指向按右手规则从a转向b来确定），那么混合积的符号是正的；如果a、b、c组成左手系（即c的指向按左手规则从a转向b来确定），那么混合积的符号是负的。

事实上，设＝a，＝b，＝c。按向量积的定义，向量积ab＝f是一个向量，它的模在数值上等于以向量a和b为边所作平行四边形OADB的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当a、b、c组成右手系时，向量f与向量c朝着这平面的同侧（图8-7）；当a、b、c组成左手系时，向量f与向量c朝着这平面的异侧。

图8-7 向量a、b、c的混合积

所以，如设f与c的夹角为，那么当a、b、c组成右手系时，为锐角；当a、b、c组成左手系时，为钝角。由于，所以当a、b、c组成右手系时，[abc]为正；当a、b、c组成左手系时，[abc]为负。

因为以向量a、b、c为棱的平行六面体的底（平行四边形OADB）的面积S在数值上等于，它的高h等于向量c在向量f上的投影的绝对值，即。

所以平行六面体的体积。

三向量a、b、c共面的充分必要条件是它们的混合积[abc]＝0，即

。

三、曲面及其方程

1．曲面方程的概念

在空间解析几何中，任何曲面都可以看做点的几何轨迹。在这样的意义下，如果曲面S与三元方程F（x，y，z）＝0有下述关系：

（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程F（x，y，z）＝0；

（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F（x，y，z）＝0。

那么，方程F（x，y，z）＝0就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F（x，y，z）＝0的图形。

2．旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

设在yOz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为f（y，z）＝0，把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面（图8-8）。它的方程计算如下：

设（O，）为曲线C上的任一点，那么有。

当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴转到另一点M（x，y，z），这时z＝保持不变，且点M到z轴的距离；

将＝z，＝±代入式，就有，这就是所求旋转曲面的方程。

图8-8 以z轴为轴的旋转曲面

3．柱面

一般的，定曲线C沿直线L平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线。

依据上述定义我们知道，方程＝2x表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy面上的抛物线＝2x，该柱面叫做抛物柱面（图8-9）。

又如，方程x－y＝0表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy上的直线x－y＝0，所以它是过z轴的平面（图8-10）。

图8-9 抛物柱面

图8-10 过Z轴的平面

4．二次曲面

与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程F（x，y，z）＝0所表示的曲面称为二次曲面，而把平面称为一次曲面。

下面就九种二次曲面的标准方程来讨论二次曲面的形状。

（1）椭圆锥形；

（2）椭球面；

（3）单叶双曲面；

（4）双叶双曲面

（5）椭圆抛物线；

（6）双曲抛物线。

还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面，其方程格式分别为：，依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。

四、空间曲线及其方程

1．空间曲线的一般方程

空间曲线可以看做两个曲面的交线。设F（x，y，z）＝0和G（x，y，z）＝0是两个曲面的方程，它们的交线为C（图8-11）。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组

。

反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组。因此，曲线C可以用方程组来表示，方程组叫做空间曲线C的一般方程。

图8-11 空间曲线

2．空间曲线的参数方程

空间曲线C的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数：。

当给定t＝时，就得到C上的一个点（），随着t的变动便可得曲线C上的全部点，上述方程组叫做空间曲线的参数方程。

3．空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C的一般方程为

现在来研究由方程消去变量z后所得的方程H（x，y）＝0。

由于方程H（x，y）＝0是由方程组消去z后所得的结果，因此当x、y和z满足方程组时，前两个数x、y必定满足方程H（x，y）＝0，这说明曲线C上的所有点都在由方程H（x，y）＝0所表示的曲面上。

方程H（x，y）＝0，表示一个母线平行于z轴的柱面。由上面的讨论可知，这柱面必定包含曲线C。以曲线C为准线、母线平行于z轴（即垂直于xOy面）的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面，投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线，或简称投影。因此，方程H（x，y）＝0所表示的柱面必定包含投影柱面，而方程所表示的曲线必定包含空间曲线C在xOy面上的投影。

同理，消去方程组中的变量x或变量y，再分别和x＝0或y＝0联立，我们就可得到包含曲线C在yOz面或xOz面上的投影的曲线方程：