老师不让孩子背公式，孩子能学好不？
7月1日起，贞元教育各学科的期末教研将全面对外开放。7月1日，贞元教育初中数学卓越课程负责人赵俊杰老师，分享了八年级数学的课程总结，新教育贞元卓越课程系统的总设计师王志江校长进行了点评。
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贞元教育《贞元教研开放日〡不容错过的期末“大餐”》
赵俊杰老师的分享
一、面对疫情的课程挑战
疫情对我的课程实施带来三个新挑战：
1.课时减少
2.学生的学习环境、学习状态难调控（疫情隔离、鞭长莫及）
3.课堂节奏、互动反馈难把握
怎么办？
首先是更周密地计划、安排。从教研组研讨网课方案，到自己根据课程内容做更加详细的安排，确保网络授课的教学质量。
其次是聚焦问题解决。网课刚开始时，部分孩子课堂互动少，课后作业、订正不及时。于是我们通过网络班会的讨论，重建规则，班级整体状态得到改善，私下的沟通交流也一直是没有间断，甚至比在校期间的单独交流还要多。
第三是家校密切配合。为确保孩子们的学习效果，单元测试时我会邀请有条件的家长关注孩子的答题状态，通过“网课助力群”请一部分家长协助孩子更好地落实。
第四是发挥网络技术的优势。从QQ群授课到CCtalk授课，从QQ群作业到QQ小程序“老师助手”，从电话答疑到录屏讲解，孩子们作为小讲师录制讲题视频，在线问卷调查进行学习评价等等，各种新鲜的技术手段都被我们用来学数学了，这种体验也很好玩。
二、对课程的新的领会
外在环境的不确定从来不能改变内在的成长主题！对我来说，成长的主题不外乎两个：课程领会和教育理解。
对课程新的领会是：把握住一个“结构”，持续地用此结构解决问题，直至它成为孩子的思维工具。
王校长的《论语》课程给了我新的启发。
《论仁》部分，王校通过课堂对话带出了“仁”的结构，随后的《论孝》《论礼》《论政》，这个“仁”的结构不断重新被用来理解“孝”“礼”和“政”。一个看似清楚明了的结构，要真正成为孩子的思维工具，不是一次就能了结的。
而我们的几何课程希望孩子建构的欧式几何思想，也正是这样一个“结构”。
- 课程分享一
在《特殊平行四边形》这一章，我们就不断用同样的结构去研究不同的图形。在孩子们脑图中，可以看到这个“结构”。
研究一个图形的起点是什么？
是定义。在定义的基础上去研究它的性质、判定。而这一切又源于哪里？源于操作化的经验——几何变换。
孩子们早就认识菱形，但以前的认识是偏“静态”的——四条边相等。现在有一个平行四边形ABCD（如上图），怎样可以变成一个菱形呢？
很多孩子的第一反应是通过拉伸，使AD，BC伸长（或者使AB，CD缩短），当四条边都相等的时候，它就变成菱形了。
好像没问题吧！但是，真的需要同时拉伸“两条”边吗？有的孩子会意识到，实际上只要拉伸“一条”边即可，因为“平行四边形两组对边分别相等”，拉伸一条边，它的对边必然同步变换。通过几何画板的演示，我们也可以直观地看到这个过程。
那么，如何给菱形下定义？“四条边相等的平行四边形叫作菱形”显然就不够合理，它有冗余条件，“一组邻边相等的平行四边形叫作菱形”就简洁多了！
这就是由“几何变换”到清晰严谨的“定义”的过程。
研究菱形的性质也是从几何变换入手的。
孩子们当然早就知道菱形具有“四条边都相等”“对角相等”“对角线互相垂直”等性质，但是，如何从几何变换的角度解释呢？
平行四边形是中心对称图形，当然菱形也是，这毫无疑问。但是菱形更特殊，它还是轴对称图形！而菱形的一切特殊性质都直接与它的“轴对称性”有关！
两条对角线所在的直线就是菱形的对称轴，也就是说，沿AC折叠，B与D重合，所以AB与AD重合，CB与CD重合，可以得到两组两边相等；同时∠BAC与∠DAC重合，∠BCA与∠DCA重合，对角线AC平分一组内角的性质就有了。沿另一条对称轴折叠，也是同样的。而两条对称轴之间的垂直关系，也可以通过“折叠-重合”的操作加以说明。菱形的性质不仅仅是通过眼睛看出来的，更重要的是通过几何变换操作得来的，这是最直观的经验。在此基础上，以定义为起点去推理证明，得到可靠的真命题，或者举反例说明猜想为假命题。
如果直接用上述思路去研究菱形的判定，可以吗？当然也是可以的！
不过我们先研究了菱形的性质，再去研究判定。
证明了两个猜想为真以后，“前途”似乎变得“迷茫”起来。
我们已经证明了“四条边相等的四边形是菱形”，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。
“除了这两个猜想之外，你还有哪些猜想？请证明你的猜想。”
这个问题让很多孩子望而却步。
但是有个机灵的孩子就想到“四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形呢？”于是提出了猜想“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，并且证明为真！
短暂的兴奋之后，对话又陷入了“迷茫”，接下去还能猜想什么呢？
我们回到探索地图寻找方向：
大家发现，前两组性质与判定有互逆的关系，而第三条性质还没有与之互逆的判定，那我们是不是可以顺着这个方向去猜想呢？
两个不同的猜想被提了出来：一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；两条对角线分别平分两组对角的平行四边形是菱形。
经过一番论证，大家发现两个猜想都有冗余条件，平行四边形只要满足“一条对角线平分一个内角”，它就一定是菱形啦！
结束了吗？
你还可以继续猜！几条对角线平分几个内角的“四边形”是菱形呢？这个问题就可以延伸到课下自由探索了。
这是菱形的“探索地图”，矩形、正方形的探索是不是可以循着同样的思路去展开了？
是的，每个新图形的研究都是用这样一个“探索地图”（结构）去解决问题的过程，最终孩子头脑中建构的是欧式几何图形研究的思想方法，而不仅仅是几条定理。这样的学习是不是让孩子很有力量感？领会了其中的奥秘，孩子就会感受到，我头脑中的观念是有力量的，我可以用它去解决无穷无尽的新问题！
- 课程分享二
我们的代数课程也一直在改革，突破仅仅通过记方法、背公式去解题的思路，实现内在逻辑的打通。这一点在《一元二次方程》这一章让我体会颇深。
孩子们在脑图制作时呈现出两种典型的思路：
思路一（左图）：把“一元二次方程根与系数的关系”独立作为二级分支，与“解一元二次方程”并列。
思路二（右图）：把“一元二次方程根与系数的关系”作为“综合（应用）”下面的三级分支。
备课的时候，我回看自己制作的两版脑图，吃惊地发现，孩子们的思路也恰恰是我的两版脑图的思路。
但是，此时此刻，和孩子们一起穿越了这一章探索之后，我发现这两种思路都不合适，我的观念又被刷新了！“一元二次方程根与系数的关系”应该是“解一元二次方程”的一个重要分支。
为什么这么说？
我们的整个课程设计都不是在孤立地教给孩子一元二次方程的解法，而是始终引导孩子建立不同解法之间的联系。
本章大浪漫阶段的时候，孩子们已经初步感受到解一元二次方程的方法和思路：如果一元二次方程是“两个因式相乘等于0”的形式，我们就可以运用实数的性质“0乘任何数都得0”，将原方程转化为两个一元一次方程，实现“降次”，这就是因式分解法的本质；同样，也可以通过直接开平方来实现“降次”，这就是配方法的本质。
随后，我们在精确阶段先聚焦了因式分解法，首先是提取公因式法进行因式分解。当孩子们被要求用因式分解法解时，大部分孩子有点懵，两边开方不就行了吗？怎么因式分解呢？
但是也有人发现了，移项后，可以用平方差公式进行因式分解，转化为！
哇！所有直接开方求解的方程，也都可以用平方差公式因式分解啊！这样，配方法和因式分解法就联系起来啦！
把不能直接开方求解的方程两边“配”成平方形式，再两边开方求解，这就是配方法。二次项系数是1的方程轻松解决了，二次项系数不是1的怎么办？这也难不倒孩子们，把二次项系数化为1不就OK了！大家惊奇地发现，配方法可以解任何一元二次方程！当然，配方后等号右边如果是个负数，就说明该方程没有实数根。
配方法的神奇就在于它更具有一般性，而让我们感到更加简洁的因式分解法反而显得有点“高冷”，因为有些方程我们找不到因式分解的办法。那就先把它放下，继续顺着配方法的思路往前走走看吧！
当我们用配方法对一元二次方程（ ）求解的时候，我们就得到了一个可以用来求解一元二次方程的“通用公式”，一元二次方程求根公式就被我们推导出来了！同步，我们还发现了根的判别式，不解方程也可以判断根的情况。再进一步，我们把求根公式得到的两个根相加、相乘，又惊奇地得到了如此简洁的结果：。就这样，一元二次方程根与系数的关系就被我们发明创造出来了！当孩子们把一个“庞大”的式子一步步化简，得到这个清爽的结果时，他们惊叹到：“哇！太爽了！”
请注意，历史性的重要时刻就要来了！
对于那些我们不会因式分解的方程，我可以用公式法求解。逆过来呢？只要它有解，就说明什么？说明方程左边的二次三项式完全可以因式分解！分解成什么呢？如果方程的两个根分别是，那么原方程就一定可以化为！
没错，就是这样！
再利用因式分解与整式乘法的互逆关系，二次项系数是1的十字相乘法就呼之欲出了！
二次项系数不是1的呢？也好办，我们知道它也一定可以因式分解，只不过两个因式中的一次项系数不是1了，同样利用因式分解与整式乘法的互逆关系，技巧性极强的十字相乘法就这样被创造出来了！
至此，一元二次方程的解法探索才基本收官。
脑图分享课上，我们一起回顾整个探索历程，孩子们清晰地意识到，“根与系数的关系”就是我们在探索方程解法的过程中发现的一个规律，并且这个规律又帮我们探索出十字相乘法。那么，它当然应该属于“解一元二次方程”这个二级分支啦！
每一章课程的穿越，观念得到刷新的不仅是孩子们，就连我自己的数学观念也同步在生长！这种感觉实在太美妙！
同样给我强烈生长感的还有“数形结合”观念，它协助我们在《一元二次方程》一章的综合阶段可以整体感受“三个二次”的魅力！
三、对教育新的理解
对教育新的理解是：不用外在客观标准去生硬地衡量、要求孩子，要研究如何“转化”。
我为每个孩子在数学学习上的点滴进步而欣喜，为他们创造出的作品而自豪！
但是这就够了吗？
我希望自己可以协助每个孩子找到自己生命的意义和方向！
我希望我们的孩子道德人格是挺立的！
然而这一切不可能以外在强加的方式实现。
我去“行”，却也未必“成”，我将如何处之？
王志江校长的点评
今天赵老师的分享有三个突出的特征：
第一：聚焦于问题解决。在与孩子互动过程中，遭遇问题，解决问题，这一点，我们可以很清晰的感受到。网课不同阶段出现不同的问题，虽然也会有焦虑，但是总会去寻求各种方式、途径去解决问题。
第二：聚焦于自己的专业发展。赵老师对初中课程领会得越来越好，在过程中肯定会有各种各样的困惑，毕竟我们的改革力度非常大。比如几何，我们要教给孩子的不是简单的公理、定理、解题技巧，仅仅停留于此，不是最高境界。欧式几何究竟是一门怎样的学问？能不能让孩子拥有欧式几何的核心素养？也就是把欧式几何公理化系统作为一个核心的思维工具，这才是最重要的。
研究全等三角形的时候，我们已经把整个欧式几何的公理化系统走过一遍，研究平行四边形的时候，整个欧式几何公理化系统又走过一遍，公理化系统就是一个逻辑链条，逻辑链条起点在哪里？起点就是定义、公理，起点也不是死记硬背，而是基于操作化的经验。先要有起点，然后从起点出发，借助几何变换，能得到什么样的猜想？接着再去证明或者证伪这个猜想。先去探讨性质还是判定，其实本质上都是一致的。无非就是，从条件到结论，这个出发点不同。
在这个过程中建构生成的是一个非常有用的欧式几何观念系统、思维工具，将来到高中研究欧式立体几何，在思维的本质上没有任何差异，只不过把欧式几何公理化系统从平面拓展到立体几何。甚至到将来的拓扑几何、非欧几何，从公理化系统这个角度来讲仍然是一致的。我们要教给孩子的，一定是让孩子终身受益的东西。
实际上代数更简单，如果把前面实数域的推广看作一个自然而然的过程，初中的核心就是三个一次、三个二次，三个一次观念建构好了，直接影响三个二次，三个二次观念建构好了，实际上整个高中数学全明白了。不是初中，是整个高中，因为他习得了学习高中数学应该拥有的思维方式。就像小学生自然数的建立、比大小、四则运算建构好了，小数的、分数的就可以用研究的方式地学习了。所以观念建构要赋予孩子内在的思维上的能量，让他的思维有力量！
大家可以感受到赵老师的领会，在专业发展上持续在进步。但是专业发展也没有止境。我们的本体性知识不是写在教材里面的客观知识系统，而是本体性知识的发生学，也就是从发生学的角度去分析它。
当然，要想协助孩子去很好地建构，老师就得搞清楚儿童认知发生发展的过程，也就是认知心理学。同时，赵老师的生命与儒家有某种天然的契合。我们做基础教育，孩子们的生命正好在蓬蓬勃勃地生长过程中，你不能说这么“生长”那么“生长”都没关系。我们也会去领会“道”“佛”，但是对于年轻的生命而言，他是充满勃勃生机的，所以儒家也应该是我们的基本取向。这也正是赵老师的第三个特点——专注。自身方向很明确，做事比较专注。跟孩子互动的过程中，金刚怒目，还是和风细雨，是一个分寸感的问题。哪怕是“小舟从此逝”也是儒家的“小舟从此逝”，内在精神上，自己的生命王国里面往后退一步，但哪怕退也是进，以退为进。这就是儒家的基本方向，我们做教育也是如此，只不过在具体情境中，你是猛地往前精进一步，还是退一步守望，是个分寸感的把握，没有标准答案，值得细细领会。感谢赵老师今天的分享。
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