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算法图解读书笔记
前言
我因为爱好而踏入了编程殿堂。Visual Basic 6 for Dummies教会了我基础知识，接着我不断阅读，学到的知识也越来越多，但对算法却始终没搞明白。至今我还记得购买第一本算法书后的情景：我琢磨着目录，心想终于要把这些主题搞明白了。但那本书深奥难懂，看了几周后我就放弃了。直到遇到一位优秀的算法教授后，我才认识到这些概念是多么地简单而优雅。
几年前，我撰写了第一篇图解式博文。我是视觉型学习者，对图解式写作风格钟爱有加。从那时候起，我撰写了多篇介绍函数式编程、Git、机器学习和并发的图解式博文。顺便说一句，刚开始我的写作水平很一般。诠释技术概念很难，设计出好的示例需要时间，阐释难以理解的概念也需要时间，因此很容易对难讲的内容一带而过。我本以为自己已经做得相当好了，直到有一篇博文大受欢迎，有位同事却跑过来跟我说：“我读了你的博文，但还是没搞懂。”看来在写作方面我要学习的还有很多。
在撰写这些博文期间，Manning出版社找到我，问我想不想编写一本图解式图书。事实证明，Manning出版社的编辑对如何诠释技术概念很在行，他们教会了我如何做。我编写本书的目的就是要把难懂的技术主题说清楚，让这本算法书易于理解。与撰写第一篇博文时相比，我的写作水平有了长足进步，但愿你也认为本书内容丰富、易于理解。
致谢
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感谢Manning出版社给我编写本书的机会，并给予我极大的创作空间。感谢出版人Marjan Bace，感谢Mike Stephens领我入门，感谢Bert Bates教我如何写作，感谢Jennifer Stout的快速回复以及大有帮助的编辑工作。感谢Manning出版社的制作人员，他们是Kevin Sullivan、Mary Piergies、Tiffany Taylor、Leslie Haimes以及其他幕后人员。另外，还要感谢阅读手稿并提出建议的众人，他们是Karen Bensdon、Rob Green、Michael Hamrah、Ozren Harlovic、Colin Hastie、Christopher Haupt、Chuck Henderson、Pawel Kozlowski、Amit Lamba、Jean-Francois Morin、Robert Morrison、Sankar Ramanathan、Sander Rossel、Doug Sparling和Damien White。
感谢一路上向我伸出援手的人：Flaskhit游戏专区的各位教会了我如何编写代码；很多朋友帮助审阅手稿、提出建议并让我尝试不同的诠释方式，其中包括Ben Vinegar、Karl Puzon、Alex Manning、Esther Chan、Anish Bhatt、Michael Glass、Nikrad Mahdi、Charles Lee、Jared Friedman、Hema Manickavasagam、Hari Raja、Murali Gudipati、Srinivas Varadan等；Gerry Brady教会了我算法。还要深深1地感谢算法方面的学者，如CLRS、高德纳和Strang。我真的是站在了巨人的肩上。
1《算法导论》四位作者的姓氏（Thomas H. Cormen、Charles E. Leiserson、Ronald L. Rivest和Clifford Stein）首字母缩写。——译者注
感谢爸爸、妈妈、Priyanka和其他家庭成员，感谢你们一贯的支持。深深感谢妻子Maggie，我们的面前还有很多艰难险阻，有些可不像周五晚上待在家里修改手稿那么简单。
最后，感谢所有试读本书的读者，还有在论坛上提供反馈的读者，你们让本书的质量更上了一层楼。
关于本书
本书易于理解，没有大跨度的思维跳跃，每次引入新概念时，都立即进行诠释，或者指出将在什么地方进行诠释。核心概念都通过练习和反复诠释进行强化，以便你检验假设，跟上步伐。
书中使用示例来帮助理解。我的目标是让你轻松地理解这些概念，而不是让正文充斥各种符号。我还认为，如果能够回忆起熟悉的情形，学习效果将达到最佳，而示例有助于唤醒记忆。因此，如果你要记住数组和链表（第2章）之间的差别，只要想想在电影院找座位就坐的情形。另外，不怕你说我啰嗦，我是视觉型学习者，因此本书包含大量的图示。
本书内容是精挑细选的。没必要在一本书中介绍所有的排序算法，不然还要维基百科和可汗学院做什么。书中介绍的所有算法都非常实用，对我从事的软件工程师的工作大有帮助，还可为阅读更复杂的主题打下坚实的基础。祝你阅读愉快！
路线图
本书前三章将帮助你打好基础。● 第1章：你将学习第一种实用算法——二分查找；还将学习
使用大O表示法分析算法的速度。本书从始至终都将使用大O表
示法来分析算法的速度。● 第2章：你将学习两种基本的数据结构——数组和链表。这
两种数据结构贯穿本书，它们还被用来创建更高级的数据结构，
如第5章介绍的散列表。● 第3章：你将学习递归，一种被众多算法（如第4章介绍的
快速排序）采用的实用技巧。
根据我的经验，大O表示法和递归对初学者来说颇具挑战性，因此介绍这些内容时我放慢了脚步，花费的篇幅也较长。
余下的篇幅将介绍应用广泛的算法。● 问题解决技巧：将在第4、8和9章介绍。遇到问题时，如果
不确定该如何高效地解决，可尝试分而治之（第4章）或动态规
划（第9章）；如果认识到根本就没有高效的解决方案，可转而
使用贪婪算法（第8章）来得到近似答案。● 散列表：将在第5章介绍。散列表是一种很有用的数据结构，
由键值对组成，如人名和电子邮件地址或者用户名和密码。散列
表的用途之大，再怎么强调都不过分。每当我需要解决问题时，
首先想到的两种方法是：可以使用散列表吗？可以使用图来建立
模型吗？● 图算法：将在第6、7章介绍。图是一种模拟网络的方法，
这种网络包括人际关系网、公路网、神经元网络或者任何一组连
接。广度优先搜索（第6章）和狄克斯特拉算法（第7章）计算
网络中两点之间的最短距离，可用来计算两人之间的分隔度或前
往目的地的最短路径。● K最近邻算法（KNN）：将在第10章介绍。这是一种简单的
机器学习算法，可用于创建推荐系统、OCR引擎、预测股价或
其他值（如“我们认为Adit会给这部电影打4星”）的系统，以及
对物件进行分类（如“这个字母是Q”）。● 接下来如何做：第11章概述了适合你进一步学习的10种算
法。
如何阅读本书
本书的内容和排列顺序都经过了细心编排。如果你对某个主题感兴趣，直接跳到那里阅读即可；否则就按顺序逐章阅读吧，因为它们都以之前介绍的内容为基础。
强烈建议你动手执行示例代码，这部分的重要性再怎么强调都不过分。可以原封不动地输入代码，也可从www.manning.com/books/grokking-algorithms或https://github.com/egonschiele/grokking_algorithms下载，再执行它们。这样，你记住的内容将多得多。
另外，建议你完成书中的练习。这些练习都很短，通常只需一两分钟就能完成，但有些可能需要5~10分钟。这些练习有助于检查你的思路，以免偏离正道太远。
读者对象
本书适合任何具备编程基础并想理解算法的人阅读。你可能面临一个编程问题，需要找一种算法来实现解决方案，抑或你想知道哪些算法比较有用。下面列出了可能从本书获得很多帮助的部分读者。● 业余程序员● 编程培训班学员● 需要重温算法的计算机专业毕业生● 对编程感兴趣的物理或数学等专业毕业生第1章算法简介本章内容● 为阅读后续内容打下基础。● 编写第一种查找算法——二分查找。● 学习如何谈论算法的运行时间——大O表示法。● 了解一种常用的算法设计方法——递归。1.1 引言
算法是一组完成任务的指令。任何代码片段都可视为算法，但本书只介绍比较有趣的部分。本书介绍的算法要么速度快，要么能解决有趣的问题，要么兼而有之。下面是书中一些重要内容。● 第1章讨论二分查找，并演示算法如何能够提高代码的速度。
在一个示例中，算法将需要执行的步骤从40亿个减少到了32
个！● GPS设备使用图算法来计算前往目的地的最短路径，这将在
第6、7和8章介绍。● 你可使用动态规划来编写下国际跳棋的AI算法，这将在第9
章讨论。
对于每种算法，本书都将首先进行描述并提供示例，再使用大O表示法讨论其运行时间，最后探索它可以解决的其他问题。1.1.1 性能方面
好消息是，本书介绍的每种算法都很可能有使用你喜欢的语言编写的实现，因此你无需自己动手编写每种算法的代码！但如果你不明白其优缺点，这些实现将毫无用处。在本书中，你将学习比较不同算法的优缺点：该使用合并排序算法还是快速排序算法，或者该使用数组还是链表。仅仅改用不同的数据结构就可能让结果大不相同。1.1.2 问题解决技巧
你将学习至今都没有掌握的问题解决技巧，例如：● 如果你喜欢开发电子游戏，可使用图算法编写跟踪用户的AI
系统；● 你将学习使用K最近邻算法编写推荐系统；● 有些问题在有限的时间内是不可解的！书中讨论NP完全问
题的部分将告诉你，如何识别这样的问题以及如何设计找到近似
答案的算法。
总而言之，读完本书后，你将熟悉一些使用最为广泛的算法。利用这些新学到的知识，你可学习更具体的AI算法、数据库算法等，还可在工作中迎接更严峻的挑战。需要具备的知识要阅读本书，需要具备基本的代数知识。具体地说，给
定函数f(x) = x × 2，f(5)的值是多少呢？如果你的答案为
10，那就够了。另外，如果你熟悉一门编程语言，本章（以及本书）将
更容易理解。本书的示例都是使用Python编写的。如果你不
懂任何编程语言但想学习一门，请选择Python，它非常适合
初学者；如果你熟悉其他语言，如Ruby，对阅读本书也大
有帮助。1.2 二分查找
假设要在电话簿中找一个名字以K打头的人，（现在谁还用电话簿！）可以从头开始翻页，直到进入以K打头的部分。但你很可能不这样做，而是从中间开始，因为你知道以K打头的名字在电话簿中间。
又假设要在字典中找一个以O打头的单词，你也将从中间附近开始。
现在假设你登录Facebook。当你这样做时，Facebook必须核实你是否有其网站的账户，因此必须在其数据库中查找你的用户名。如果你的用户名为karlmageddon，Facebook可从以A打头的部分开始查找，但更合乎逻辑的做法是从中间开始查找。
这是一个查找问题，在前述所有情况下，都可使用同一种算法来解决问题，这种算法就是二分查找。
二分查找是一种算法，其输入是一个有序的元素列表（必须有序的原因稍后解释）。如果要查找的元素包含在列表中，二分查找返回其位置；否则返回null。
下图是一个例子。
下面的示例说明了二分查找的工作原理。我随便想一个1～100的数字。
你的目标是以最少的次数猜到这个数字。你每次猜测后，我会说小了、大了或对了。
假设你从1开始依次往上猜，猜测过程会是这样。
这是简单查找，更准确的说法是傻找。每次猜测都只能排除一个数字。如果我想的数字是99，你得猜99次才能猜到！1.2.1 更佳的查找方式
下面是一种更佳的猜法。从50开始。
小了，但排除了一半的数字！至此，你知道1～50都小了。接下来，你猜75。
大了，那余下的数字又排除了一半！使用二分查找时，你猜测的是中间的数字，从而每次都将余下的数字排除一半。接下来，你猜63（50和75中间的数字）。
这就是二分查找，你学习了第一种算法！每次猜测排除的数字个数如下。
不管我心里想的是哪个数字，你在7次之内都能猜到，因为每次猜测都将排除很多数字！
假设你要在字典中查找一个单词，而该字典包含240 000个单词，你认为每种查找最多需要多少步？
如果要查找的单词位于字典末尾，使用简单查找将需要240 000步。使用二分查找时，每次排除一半单词，直到最后只剩下一个单词。
因此，使用二分查找只需18步——少多了！一般而言，对于包2含n个元素的列表，用二分查找最多需要logn步，而简单查找最多需要n步。对数你可能不记得什么是对数了，但很可能记得什么是幂。10
log100相当于问“将多少个10相乘的结果为100”。答案是10
两个：10 × 10 = 100。因此，log100 = 2。对数运算是幂
运算的逆运算。对数是幂运算的逆运算本书使用大O表示法（稍后介绍）讨论运行时间时，log2
指的都是log。使用简单查找法查找元素时，在最糟情况下
需要查看每个元素。因此，如果列表包含8个数字，你最多
需要检查8个数字。而使用二分查找时，最多需要检查log n
个元素。如果列表包含8个元素，你最多需要检查3个元3
素，因为log 8 = 3（2 = 8）。如果列表包含1024个元素，10
你最多需要检查10个元素，因为log 1024 = 10（2
=1024）。
说明本书经常会谈到log时间，因此你必须明白对数的概
念。如果你不明白，可汗学院（khanacademy.org）有一个
不错的视频，把这个概念讲得很清楚。
说明仅当列表是有序的时候，二分查找才管用。例如，电话
簿中的名字是按字母顺序排列的，因此可以使用二分查找来
查找名字。如果名字不是按顺序排列的，结果将如何呢？
下面来看看如何编写执行二分查找的Python代码。这里的代码示例使用了数组。如果你不熟悉数组，也不用担心，下一章就会介绍。你只需知道，可将一系列元素存储在一系列相邻的桶（bucket），即数组中。这些桶从0开始编号：第一个桶的位置为#0，第二个桶为#1，第三个桶为#2，以此类推。
函数binary_search接受一个有序数组和一个元素。如果指定的元素包含在数组中，这个函数将返回其位置。你将跟踪要在其中查找的数组部分——开始时为整个数组。low = 0high = len(list) - 1
你每次都检查中间的元素。mid = (low + high) / 2 ←---如果(low + high)不是偶数，Python自动将mid向下取整。guess = list[mid]
如果猜的数字小了，就相应地修改low。if guess < item: low = mid + 1
如果猜的数字大了，就修改high。完整的代码如下。def binary_search(list, item): low = 0 （以下2行）low和high用于跟踪要在其中查找的列表部分 high = len(list)—1 while low <= high: ←-------------只要范围没有缩小到只包含一个元素， mid = (low + high) / 2 ←-------------就检查中间的元素 guess = list[mid] if guess == item: ←-------------找到了元素 return mid if guess > item: ←-------------猜的数字大了 high = mid - 1 else: ←---------------------------猜的数字小了 low = mid + 1 return None ←--------------------没有指定的元素my_list = [1, 3, 5, 7, 9] ←------------来测试一下！print binary_search(my_list, 3) # => 1 ←--------------------别忘了索引从0开始，第二个位置的索引为1print binary_search(my_list, -1) # => None ←--------------------在Python中，None表示空，它意味着没有找到指定的元素
练习
1.1 假设有一个包含128个名字的有序列表，你要使用二分查找在其中查找一个名字，请 问最多需要几步才能找到？
1.2 上面列表的长度翻倍后，最多需要几步？1.2.2 运行时间
每次介绍算法时，我都将讨论其运行时间。一般而言，应选择效率最高的算法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。
回到前面的二分查找。使用它可节省多少时间呢？简单查找逐个地检查数字，如果列表包含100个数字，最多需要猜100次。如果列表包含40亿个数字，最多需要猜40亿次。换言之，最多需要猜测的次数与列表长度相同，这被称为线性时间（linear time）。
二分查找则不同。如果列表包含100个元素，最多要猜7次；如果列表包含40亿个数字，最多需猜32次。厉害吧？二分查找的运行时间为对数时间（或log时间）。下表总结了我们发现的情况。1.3 大O表示法
大O表示法是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快。谁在乎呢？实际上，你经常要使用别人编写的算法，在这种情况下，知道这些算法的速度大有裨益。本节将介绍大O表示法是什么，并使用它列出一些最常见的算法运行时间。1.3.1 算法的运行时间以不同的速度增加
Bob要为NASA编写一个查找算法，这个算法在火箭即将登陆月球前开始执行，帮助计算着陆地点。
这个示例表明，两种算法的运行时间呈现不同的增速。Bob需要做出决定，是使用简单查找还是二分查找。使用的算法必须快速而准确。一方面，二分查找的速度更快。Bob必须在10秒钟内找出着陆地点，否则火箭将偏离方向。另一方面，简单查找算法编写起来更容易，因此出现bug的可能性更小。Bob可不希望引导火箭着陆的代码中有bug！为确保万无一失，Bob决定计算两种算法在列表包含100个元素的情况下需要的时间。
假设检查一个元素需要1毫秒。使用简单查找时，Bob必须检查100个元素，因此需要100毫秒才能查找完毕。而使用二分查找时，2只需检查7个元素（log100大约为7），因此需要7毫秒就能查找完毕。然而，实际要查找的列表可能包含10亿个元素，在这种情况下，简单查找需要多长时间呢？二分查找又需要多长时间呢？请务必找出这两个问题的答案，再接着往下读。
Bob使用包含10亿个元素的列表运行二分查找，运行时间为30毫2秒（log1 000 000 000大约为30）。他心里想，二分查找的速度大约为简单查找的15倍，因为列表包含100个元素时，简单查找需要100毫秒，而二分查找需要7毫秒。因此，列表包含10亿个元素时，简单查找需要30 × 15 = 450毫秒，完全符合在10秒内查找完毕的要求。Bob决定使用简单查找。这是正确的选择吗？
不是。实际上，Bob错了，而且错得离谱。列表包含10亿个元素时，简单查找需要10亿毫秒，相当于11天！为什么会这样呢？因为二分查找和简单查找的运行时间的增速不同。
也就是说，随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多，而简单查找需要的额外时间却很多。因此，随着列表的增长，二分查找的速度比简单查找快得多。Bob以为二分查找速度为简单查找的15倍，这不对：列表包含10亿个元素时，为3300万倍。有鉴于此，仅知道算法需要多长时间才能运行完毕还不够，还需知道运行时间如何随列表增长而增加。这正是大O表示法的用武之地。
大O表示法指出了算法有多快。例如，假设列表包含n 个元素。简单查找需要检查每个元素，因此需要执行n 次操作。使用大O表示法，这个运行时间为O(n)。单位秒呢？没有——大O表示法指的并非以秒为单位的速度。大O表示法让你能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。
再来看一个例子。为检查长度为n 的列表，二分查找需要执行log n 次操作。使用大O表示法，这个运行时间怎么表示呢？O(log n)。一般而言，大O表示法像下面这样。
这指出了算法需要执行的操作数。之所以称为大O表示法，是因为操作数前有个大O。这听起来像笑话，但事实如此！
下面来看一些例子，看看你能否确定这些算法的运行时间。1.3.2 理解不同的大O运行时间
下面的示例，你在家里使用纸和笔就能完成。假设你要画一个网格，它包含16个格子。
算法1
一种方法是以每次画一个的方式画16个格子。记住，大O表示法计算的是操作数。在这个示例中，画一个格子是一次操作，需要画16个格子。如果每次画一个格子，需要执行多少次操作呢？
画16个格子需要16步。这种算法的运行时间是多少？
算法2
请尝试这种算法——将纸折起来。
在这个示例中，将纸对折一次就是一次操作。第一次对折相当于画了两个格子！
再折，再折，再折。
折4次后再打开，便得到了漂亮的网格！每折一次，格子数就翻倍，折4次就能得到16个格子！
你每折一次，绘制出的格子数都翻倍，因此4步就能“绘制”出16个格子。这种算法的运行时间是多少呢？请搞清楚这两种算法的运行时间之后，再接着往下读。
答案如下：算法1的运行时间为O(n)，算法2的运行时间为O(log n)。1.3.3 大O表示法指出了最糟情况下的运行时间
假设你使用简单查找在电话簿中找人。你知道，简单查找的运行时间为O(n)，这意味着在最糟情况下，必须查看电话簿中的每个条目。如果要查找的是Adit——电话簿中的第一个人，一次就能找到，无需查看每个条目。考虑到一次就找到了Adit，请问这种算法的运行时间是O(n)还是O(1)呢？
简单查找的运行时间总是为O(n)。查找Adit时，一次就找到了，这是最佳的情形，但大O表示法说的是最糟的情形。因此，你可以说，在最糟情况下，必须查看电话簿中的每个条目，对应的运行时间为O(n)。这是一个保证——你知道简单查找的运行时间不可能超过O(n)。说明除最糟情况下的运行时间外，还应考虑平均情况的运行
时间，这很重要。最糟情况和平均情况将在第4章讨论。1.3.4 一些常见的大O运行时间
下面按从快到慢的顺序列出了你经常会遇到的5种大O运行时间。● O(log n)，也叫对数时间，这样的算法包括二分查找。● O(n)，也叫线性时间，这样的算法包括简单查找。● O(n * log n)，这样的算法包括第4章将介绍的快速排序——
一种速度较快的排序算法。2● O(n)，这样的算法包括第2章将介绍的选择排序——一种速
度较慢的排序算法。● O(n!)，这样的算法包括接下来将介绍的旅行商问题的解决
方案——一种非常慢的算法。
假设你要绘制一个包含16格的网格，且有5种不同的算法可供选择，这些算法的运行时间如上所示。如果你选择第一种算法，绘制该网格所需的操作数将为4（log 16 = 4）。假设你每秒可执行10次操作，那么绘制该网格需要0.4秒。如果要绘制一个包含1024格的网格呢？这需要执行10（log 1024 = 10）次操作，换言之，绘制这样的网格需要1秒。这是使用第一种算法的情况。
第二种算法更慢，其运行时间为O(n)。即要绘制16个格子，需要执行16次操作；要绘制1024个格子，需要执行1024次操作。执行这些操作需要多少秒呢？
下面按从快到慢的顺序列出了使用这些算法绘制网格所需的时间：
还有其他的运行时间，但这5种是最常见的。
这里做了简化，实际上，并不能如此干净利索地将大O运行时间转换为操作数，但就目前而言，这种准确度足够了。等你学习其他一些算法后，第4章将回过头来再次讨论大O表示法。当前，我们获得的主要启示如下。● 算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速。● 谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时
间将以什么样的速度增加。● 算法的运行时间用大O表示法表示。● O(log n)比O(n)快，当需要搜索的元素越多时，前者比后者
快得越多。
练习
使用大O表示法给出下述各种情形的运行时间。
1.3 在电话簿中根据名字查找电话号码。
1.4 在电话簿中根据电话号码找人。（提示：你必须查找整个电话簿。）
1.5 阅读电话簿中每个人的电话号码。
1.6 阅读电话簿中姓名以A打头的人的电话号码。这个问题比较棘手，它涉及第4章的概 念。答案可能让你感到惊讶！1.3.5 旅行商
阅读前一节时，你可能认为根本就没有运行时间为O(n!)的算法。让我来证明你错了！下面就是一个运行时间极长的算法。这个算法要解决的是计算机科学领域非常著名的旅行商问题，其计算时间增加得非常快，而有些非常聪明的人都认为没有改进空间。
有一位旅行商。
他需要前往5个城市。
这位旅行商（姑且称之为Opus吧）要前往这5个城市，同时要确
