机器学习处理时空问题

作者：Enrico Rinaldi 来源：中国数字科技馆

物理学家正在利用神经网络的优势来开发与量子力学一致的时空几何的描述。 （图片来源：美国物理学会/Alan Stonebraker）

在去年一件令人惊叹的发现中，事件视界望远镜（Event Horizon Telescope）首次向世界展示了黑洞阴影的样子。但是黑洞内部究竟在发生着什么呢？广义相对论告诉我们，黑洞是时空的奇点，这是与量子力学的模糊性不符的数学特征。如果科学家想了解黑洞内部发生了什么，他们将不得不统一这两种理论。目前量子引力理论中最流行的是弦论，而其中需要解决的主要的难题在于处理计算过于复杂的量子力学波函数。加利福尼亚斯坦福大学的Xizhi Han和Sean Hartnoll的新工作表明，神经网络（与用于生成人脸逼真的图像的神经网络非常相似）可以使此计算更容易进行。他们的研究结果为利用计算方法探索引力的量子性质开辟了一条新途径，使理论科学家可以对引力进行“实验”。

将广义相对论和量子力学统一起来是爱因斯坦的一大梦想。在弦理论家看来，实现这种统一最有前途的途径是推测某些弦引力理论与某些量子（规范）理论中相互作用的自由度（例如粒子）之间存在“对偶性”。对偶性能关联两个看似描述完全不同物理系统的理论，就像字典将两种语言的单词和其解释联系在一起一样。物理学家发现这种联系极为有用，因为在一种系统中非常难以解决的问题，在另一种系统中可能有更简单的解法。尽管规范—引力对偶性只是一个推测，但已经有特殊的例子证明了，利用对偶性可以通过“简单”或“困难”的两种方式计算相同的特性。

规范—引力对偶性将如何帮助我们更了解量子尺度的时空呢？答案是，对偶性使我们能够根据量子对象的集体行为来描述黑洞的几何形状（其时空形状）。然后，我们可以尝试理解黑洞的时空几何形状是如何从微观的自由度显现的。该计划中的难题在于，使用对偶性中的量子部分来解释问题所涉及的计算令人望而却步。因此，弦理论家正在整合其他学科（例如计算机科学和统计学）的新计算工具。

这种方法是Han和Hartnoll新工作中的精髓，他们使用神经网络精确地描述了一个量子对象系统，虽然该系统经过简化，但仍然捕获了时空几何中的基本特性。更具体地说，他们找到了这个多体系统的基态波函数，并根据第一性原理从中确定系统的所有特性。由于波动函数是如此复杂，要计算这样的波动函数必然困难重重。此外，计算它的最佳方法通常需要知道波函数的数学形式，这对于计算与规范引力对偶有关的系统而言，其波函数更是未知的。

斯坦福大学这组的方法基于2016年的一篇开创性论文，该论文展现了运用人工神经网络发现多体波函数的潜力。正常而言，神经网络接受输入，并对其进行一系列数学运算，然后返回一个数字。对于许多常见的应用程序，神经网络使用数据进行“训练”以识别输入（例如面部）。然而，在寻找量子系统的波动函数时，小组使用网络的内在（函数）来生成试验波动函数并计算系统的能量，并依靠单独的迭代方案选择产生较低能量值的“较好”波动函数。

Han和Hartnoll采用这种方法，修改了现代神经网络来描述量子系统的波函数，并称之为mini-BMN模型。该模型使用三个矩阵来展现系统的基本自由度及其相互作用。该模型是一个精简版本，实际上与黑洞附近的时空弦理论对偶的模型需要9个矩阵来描述。研究人员已经能够使用诸如随机蒙特卡洛模拟之类的方法来估计与mini-BMN相关的可观测物。但是这些方法的计算量很大，并且无法直接获得波动函数或场论性质（尽管存在可能的解决方法）。使用神经网络，Han和Hartnoll能够有效地提取具有足够信息的近似波函数，以描述先前未探索的量子状态下的引力。

首先，研究人员将量子波函数定义为mini-BMN理论矩阵上的参数化概率分布。然后，他们使用迭代过程来寻找使系统能量最小的参数。这种“训练过程”就像将一桶沙子摇晃直到表面平整：每次摇晃，沙粒都会重新排列成新的形状，从而消除了一些表面隆起的部分，并使沙子更加平整。类似地，优化程序在一系列分布中选择产生“最佳”基态波函数的参数。由于他们基于深层生成流建立了神经网络，因此研究人员可以有效地采样许多不同的复杂波函数，并找到最精确的基态波函数。

为了对他们的波动函数进行检验，Han和Hartnoll使用它来计算半经典状态中的某些可观测值，这样半经典中的结果就可以和与现有的计算结果进行比较。例如，他们复原了弦论中预测的新兴几何特性，例如模糊球体状态的存在。他们还可以描述这些状态下的量子纠缠，这是量子引力中的关键一环。

如前所述，mini-BMN理论仅在规范引力对偶性中描述了实际量子系统的精简版本。但是Han和Hartnoll引入了一个强大的计算工具来提取几何性质，这确实令人鼓舞。该工具可以为未来的神经网络算法的设计提供基准，而这种算法在量子引力研究中的应用极具潜力。计算机科学中的算法以惊人的速度提升。如果同样的进展延续到物理科学，科学革命并将进行。当然，机器学习不是魔术，它仅适用于某些种类的输入，因此这仅适用于某些问题。但这是一个重要的工具，其可让科学家满足对未知事物的好奇心。从夸克、胶子到质子再到时空的出现，量子场论中一些关键而又亟待解决的问题都可以从机器学习工具中受益。

这项研究被发表在《物理评论X》（Physical Review X）上。