数学基础：逻辑主义
1931年一场数学会议上由当时的三大数学基础学派的年轻一代代表人物，代表逻辑主义的鲁道夫·卡尔纳普（ Rudolf Carnap ）、代表直觉主义的阿伦特·海廷（ Arend Heyting ）和代表形式主义的冯·诺依曼（ von Neumann ）宣读了三篇纲领性文献，分别介绍直到那时为止，三大主义内部一致认同的观点主张，以及已经取得的成果。这是一个颇具戏剧性的历史时刻，因为正是在同一场会议上，三位数学家宣读完本学派的总结性报告之后，年仅25岁的青年数学家库尔特·哥德尔就宣读了自己的《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》一文，提出了著名的哥德尔不完备定理，宣告了三大主义原有纲领的不同程度的失败，并使得数学基础和数理逻辑研究进入到新的阶段。
在不完备定理之后，三大主义又有了不同的发展。直觉主义旗手布劳威尔减少了形式化方法的使用，走上了更为哲学化的研究进路；形式主义旗手希尔伯特基本放弃元数学领域的研究，转向数学的其他领域；逻辑主义旗手罗素则放弃了数学领域，将精力投身于哲学研究和社会活动中去。在这之后，希尔伯特的学生哥德尔本人发展了一套柏拉图主义的实在数学哲学；罗素的弟子蒯因结合逻辑经验主义，提出了一套整体论实用主义的数学观。除此之外，赫尔曼·外尔（ Hermann Weyl ）根据避免非直谓原则，策梅洛和弗兰克尔根据形式化的公理集合论也都提出了自己的数学思想。可以说，在1931年会议之后，三大主义逐渐地的作为一个历史名词而淡出实际数学哲学的舞台。
逻辑主义总论
逻辑主义是数学基础运动的先驱者，其早期代表人物弗雷格完成了命题逻辑和一阶逻辑的形式化，而另一位代表人物罗素则与怀特海合作完成了数学各个经典分支的形式化还原。逻辑主义的主要论点是，数学可以规约为逻辑。这包括两方面内容：1、数学对象可以还原为逻辑对象。2、数学定理可以由逻辑公理演绎出来。对于这一目标，逻辑主义者认为罗素和怀特海合著的《数学原理》（简称PM）基本上实现了目标（尽管许多细节有待商榷）。
构造数学对象
关于数学对象的构造，核心是自然数对象的构造。事实上，数学体系的绝大部分内容都可以还原为自然数结构：希尔伯特完成了从几何理论到代数理论的规约，柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金等人则逐步实现了从分析到算术的理论规约。
罗素和怀特海吸收和沿用了弗雷格的处理方法，将自然数看做是以谓词为对象的二阶谓词。在罗素和怀特海看来，“逻辑”包括了命题逻辑、一阶逻辑和二阶逻辑的符号和理论，核心为对象、谓词以及对象满足谓词。有了这些理论，就可以刻画一个一元谓词只有两个对象：
∃ x ∃ y（P（x）∧ P（y）∧（ ¬（x=y）） ∧ ∀ z（P（z） → （z=x ∨ z=y）） ）
而自然数n便是以对应的只有n个对象的一元谓词为对象的二阶谓词，如自然数2可定义为：
N2（P）=df（ ∃ x ∃ y（P（x）∧ P（y）∧（ ¬（x=y）） ∧ ∀ z（P（z） → （z=x ∨ z=y）） ））
但是不加节制地使用二阶逻辑可能会导致悖论，如定义二阶谓词F（P）=df（¬（ P（P））），即F为以所有不满足自己的二阶谓词的谓词，那么命题F（F）就会导致著名的罗素悖论。面对这一悖论。罗素本人提出了一套类型论理论以避免悖论的发生，而面临同样问题的弗雷格则拒绝罗素对逻辑体系所做的限制，认为如果罗素悖论存在，说明逻辑本身就存在某些固有的缺陷。弗雷格在得知罗素悖论的存在后放弃了数学基础研究，转向语言哲学。
如果我们接受类型论，那么PM对自然数的逻辑构造基本上是成功的。逻辑主义实现了其对数学对象构造的目标。在逻辑主义看来数学存在“唯一的”结构，即数学的逻辑规约式，因为逻辑是唯一的，所以数学是唯一的，因为逻辑是严谨的，所以数学是严谨的，正因如此，罗素才断言：数学定理就是重言式。
推导数学定理
关于数学定理的演绎，PM中提出了若干条公理，以及推理规则。其中逻辑公理和规则也是希尔伯特和阿克曼的形式主义系统采用的公理，是被普遍接受的，但PM中的一些公理的使用则引来争议。
首先是无限公理和选择公理，前者承诺（可数）无限个体集的存在，后者承诺对任意不交的非空集族存在选择集。这两条公理看起来并不“显然”，即使它们是对的，似乎也不能说他们属于逻辑，更像是附加的非逻辑公理。罗素的回应是，逻辑并不涉及实在，因此逻辑不可能有实质内容；逻辑只涉及如果……那么……这样的表述。而这两条公理都涉及“存在xx集合”的表述，因此不属于初始的逻辑公理，PM中的所有定理都应视为“如果无限公理/选择公理成立，那么……”的假言式。
另一个有问题的是约化公理，这一公理是PM中使用了分支类型论后，罗素和怀特海为了简化系统所引进的公理。约化公理引起的问题极大，罗素本人在维特根斯坦的影响下，最终放弃了这一公理，但他坚持为了避免非直谓定义，分支类型论是必要的。但是数学家拉姆齐（ Frank Ramsey ）则认为，对于避免悖论，简单类型论就足够了，因此分支类型论是不必要的。
类型论
罗素对于类型论的强调，其动机是希望能够避免如罗素悖论这样危害整个逻辑体系的严重悖论。在罗素看来，悖论产生的原因有两个，一是某种恶性自指，如罗素悖论中的“不属于自身的集合”。二是非直谓定义的存在，所谓非直谓，指的是在定义某个个体时，需要涉及到包含该个体的整体，如康托尔悖论中的“所有集合的集合”，必须在“所有集合”的基础上才能定义，但“所有集合”又包含了自身，因此非直谓定义可能会导致某种隐蔽的循环定义，法国数学家庞加莱最早指出了非直谓概念的危险性。
出于“还原至逻辑”的考虑，罗素追随弗雷格，在其类型论中尽量避免使用集合论的术语，而使用“谓词”“概念”甚至“不完全表达式”这样的表述（罗素称之为“无类理论”），但只要将罗素的对象视为元素，一元谓词视为集合，n元谓词视为n元笛卡尔积，对象“满足”谓词视为集合的属于关系，那么罗素的类型论事实上是一个包含可数无穷“简单个体”（承认无限公理）的一阶集合论理论。
类型论分为简单类型论和分支类型论。简单类型论中，所有的集合是被分层的。简单个体定义为类型0，仅包含简单个体的集合定义为类型1，仅包含类型1集合的集合定义为类型2，依次类推，类型n+1的集合是仅包含类型n集合的集合（罗素仅对于有限数定义了类型，实际上类型数可以扩展到超穷序数上）。通过这样的集合分层，一个集合论命题∀ x（ φ （x））里的量词 ∀实际上不能解释为“对任意集合”。对任意一个集合变元x的量化必须指定集合的阶数，否则是无意义的。
通过简单类型论，事实上避免了一个集合属于自身这样的恶性自指问题，但并未解决非直谓定义的问题。原因在于，一个谓词对应的集合是类型n的，但定义这个谓词的表达式却可能使用到更高类型的集合，比如表达式∀ y（ ψ （x，y）），ψ 是一个二元谓词，但因为其第二位的变元被∀量化，因此整个公式定义了一个一元谓词。如果∀y指定的是类型n集合，而整个表达式对应的集合的类型（即x的类型）仅仅是类型m，并且m<n，那么整个表达式还是存在着用更高类型的集合定义低类型集合的可能。
因此，分支类型论对于谓词也做了分层，定义一个n元谓词P（x1，x2…xn）的类型数是Max{类型x1，类型x2…类型xn}，规定每一个类型n的谓词必须由小于其类型数的谓词通过替换、带入和布尔运算构造出来。设一个集合的类型数为n，其对应的谓词的类型数为m，定义为该集合的阶数等于m-n，那么所有集合按照自己本身的类型数和与谓词有关的阶数被分层。我们有有类型0的0阶集合、类型0的1阶集合......类型1的0阶集合、类型1的1阶集合……类型2的0阶集合，类型2的1阶集合……以此类推。
分支类型论解决了非直谓问题，但无疑这个集合类型系统过于复杂，因此罗素和怀特海引入约化公理，认为所有类型n的m阶集合事实上都可以在类型n的0阶集合上定义。这并没有特别的道理（而且事实上增加约化公理的分支类型论等价于简单类型论），因此受到了极大的质疑，此外，分支类型论使得我们甚至无法使用“对所有实数”这样的概念，因为不同的实数可能是在不同的阶上构造出来的，这极大地限制了数学的表达能力。
非直谓定义
拉姆齐认为，非直谓定义并非是一个非解决不可的问题，因此分支类型论实际上是不必要的。拉姆齐将悖论分为两类，一类，如罗素悖论，仅仅涉及逻辑概念和集合论概念，因此属于“集合论悖论”；另一类，如说谎者悖论，理查德悖论（“最小的不能被100个字母描述的自然数”），涉及了纯粹的语法（100个字母）以及句子的语义（描述的自然数），因而属于“语义学悖论”。集合论悖论是数学所必须解决的问题，否则数学的根基是不稳的，而简单类型论足以解决这类问题；语义学悖论则是语言的不精确导致的，其解决不是数学需要关心的事情。
拉姆齐指出，非直谓定义并非总是洪水猛兽，比如生活中“这个城市里最高的人”就是一个非直谓定义，但其中并不蕴含任何悖论。事实上，许多重要的数学内容都是非直谓的，如良序集的定义，以及数学归纳法的使用。数学归纳法的二阶形式是（S（x）后继函数）：
∀P（（P（0）∧∀x（P（x）→P（S（x））））→∀yP（y））
如果我们定义满足数学归纳法的一阶谓词P是遗传的，记为Her（P），那么我们可以定义一个一阶谓词，描述归纳集：
Ind（x） ⇔ ∀P（Her（P）→∀x（P（x）→Ind（x）））
非形式地说，归纳集正是所有的满足数学归纳法性质中最“小”的那一个，通常，归纳集被看做是自然数集N的标准模型。可以看出，归纳集Ind定义中的∀P也包含了自己，因此也是一个非直谓定义。如果我们接受数学归纳法，那么非直谓定义就是必须接受的。
拉姆齐解释说，如果一个概念，或一个关系是存在的，那么我们能做的仅仅是给它命名，而非通过定义创造它。我们的命名法只要没有矛盾，那么就是允许的。然而这种解释为卡尔纳普所反对，他认为拉姆齐的观点隐含着一种数学实在主义的倾向，即认为数学对象是客观存在的。卡尔纳普认为，说一个对象满足一个非直谓谓词，如一个数a满足Ind，仅仅意味着，如果随便选取一个谓词P，那么P（a）是命题Ind（a）和Her（P）的逻辑后承。
总结
逻辑主义从其哲学根源，反对康德对于数学是先天综合知识的论断，认为数学是纯粹分析的，因而对世界本身没有任何言说，数学是普遍真理，正是因为它是纯粹重言式，没有描述任何事实的东西（类似的观点表述可见维特根斯坦的《逻辑哲学论》）而数学之所以有用，正因为逻辑是有用的，因为逻辑是世界的结构。
在本体论上，逻辑主义认为数学对象没有本体存在（弗雷格的看法稍有不同，他虽然认为数学对象是可还原至逻辑，但他的逻辑理论预设了“概念”“思想”“涵义”这样的抽象实体的实存），数学仅仅是推理的框架和形式，同时逻辑主义认为数学的结构是唯一的，因为逻辑是唯一的。对数学的认识并不来源于经验，也不是心理对象，数学知识的获得并不神秘，因为数学就是逻辑，而逻辑是自明的。
