酉群的一些知识

见这篇文章。

和复数域上Hermite空间理论类似，只要有二次平展扩张E/F，视Gal（E/F）非平凡元为共轭，就可发展E上Hermite空间以及相应的酉群理论，如果E=FxF则酉群就是GL_n。文章介绍了特征0局部域上酉群分类（假设E/F是域的扩张，那么实数域U(p,q)，p-adic域上每个维数Hermite空间有2个，奇数维酉群只有1个因此quasi-split，偶数维有2个），利用局部整体原理得到全实域上酉群分类（G由G_v决定，G_v a.e quasi-split，局部符号乘积=1则可拼成整体酉群）。

然后介绍了p-adic 群的表示理论（Hecke algebra H（G，K）把单模变成0或单模 ）， 引入hyperspecial maximal compact subgroup的概念，其对应Hecke algebra交换，以及有Satake同构、非分歧表示、Satake parameter等结论。

然后是自守表示的一些基本结果，最后提到了酉群的好处：能从自守表示制造Galois表示。

A natural question is: why unitary groups? The short answer is simply: because they are (with a few sporadic other cases, most notably Sp4) the only algebraic group for which we know, at this point, how to attach Galois representation to most automorphic representations.