复合函数与角的关系

设函数y=f(u）的定义域为Du，值域为Mu，那么函数y=f(u）就是单位角，其定义域为Du就是单位点角，值域为Mu就是单位体角。 对于复合函数 设复合函数y=f［g(x)］的定义域为Du，值域为Mu，自变量函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，其中x称为自变量，u为中间变量函数，y为因变量（即函数），那么，函数y=f［g(x)］是体点单位角，定义域为Du是点点单位角，值域为Mu是点体单位角，自变量函数u=g(x）是点体单位角的定义域为Dx是点体单位角，值域为Mx是体体单位角，单位体点角与单位点体角是构成单位角不可分割的两部分。 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠Ø时，二者才可以构成一个复合函数。 注：Mx∩Du≠Ø，表示这两个函数之间必有相交到重合的量变过程量隐函数出现，有一个范围的上下限函数（单位角）的定义。 。。。。。。。 深层探索 一个空间层次体就是一个单位极的的复合函数y=f［g(x)］的一个原函数，我们把复合函数y=f［g(x)］的所有原函数y=f［g(x)］+C（C为任意常数）叫做复合函数y=f［g(x)］的不定积分，即宇宙的一个层次空间体在其场中的“漂泊”行径，记作，即∫f(x)dx=y=f［g(x)］+C.其中∫叫做积分号，y=f［g(x)］叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数（空间层次的场），求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。1）象星云在无极（无极的场为0）中的漂泊、2）星座在星云场中的“漂泊”、3）星河系在星座场中的“漂泊”、4）星系在星河系场中的“漂泊”、5）星球在星系场中的“漂泊”、6）卫星系在星球系场中的“漂泊”，等等，依次类推。 注：∫f(x)dx+c1=∫f(x)dx+c2, 不能推出c1=c2 定积分：是空间层次体依据给出的“条件”后的确权途径，象太阳系的边界问题的划分 积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。［2］ 直观地说，对于一个给定的实函数f(x)，在区间［a，b］上的定积分记为： 若f(x)在［a,b］上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线(x，f(x))、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。 积分的种类还有如下几类：［3］ 1、黎曼积分： 概念 对于一在区间［a,b］上之给定非负函数f(x)，我们想要确定f(x)所代表的曲线与Ox坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为 黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时请注意，如f(x)取负值，则相应的面积值S亦取负值。 定义 区间的分割 一个闭区间［a,b］的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列a=x0<x1<x2<...<xn=b。每个闭区间［xi,xi + 1］叫做一个子区间。定义λ 为这些子区间长度的最大值：λ = max(xi + 1 − xi)，其中0≤i≤n-1。 再定义取样分割。一个闭区间［a,b］的一个取样分割是指在进行分割a=x0<x1<x2<...<xn=b后，于每一个子区间中［xi,xi+ 1］取出一点 xi≤ti≤xi+1。λ的定义同上。 精细化分割：设x0,...,xn以及t0,...,tn-1构成了闭区间［a,b］的一个取样分割，y0,...,ym和s0,...,sm-1是另一个分割。如果对于任意0≤i≤n，都存在r(i)使得xi = yr(i)，并存在 使得ti = sj，那么就把分割：y0,...,ym、s0,...,sm-1称作分割x0,...,xn、t0,...,tn-1的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。 于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。 黎曼和 对一个在闭区间［a,b］有定义的实值函数f，f关于取样分割x0,...,xn、t0,...,tn-1的黎曼和定义为以下和式： 和式中的每一项是子区间长度xi + 1 − xi与在ti处的函数值f(ti)的乘积。直观地说，就是以标记点ti到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。 1、达布积分： 达布定理的定义： 设函数f(x)在［a,b］区间上可导,虽然导函数未必连续,但是却具有“介值性”. 简单说：若f'+(a)>0,f'-(b)0,知 lim［f(x)-f(a)］/(x-a)>0,根据极限的保号性,在a的右邻域内f(x)>f(a). 这说明f(a)不是最大值. 同理,f(b)也不是最大值. f 的最大值只能在(a,b)内部某一点 c 处取得,c 必为极大值点,根据费马定理,f'(c)=0. 达布定理证明： 做辅助函数 g(x)=f(x)-rx 在［a,b］连续 由闭区间连续函数存在最大最小值 则存在c∈［a,b］有g(c)是最值 由费马定理 g'(c)=0 即 f'(c)=r。 3、勒贝格积分： 勒贝格积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析中的极限过程，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。 在实分析和在其它许多数学领域中勒贝格积分拥有一席重要的地位。 勒贝格积分是以昂利·勒贝格命名的，他于1904年引入了这个积分定义。 今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是相对于一个测度而定义的函数积分。狭义则是指相对于勒贝格测度在实直线或者更高维数的欧氏空间的一个子集中定义的函数的积分。 概念简述 众所周知，在 R^2里一个区域E的黎曼积分的几何意义是分别用一个(即有限个)曲边多边形A和B去覆盖和填充E，若inf{|A|}=sup{|B|}，则称E可积。而在应用中这在某种情况下面是不足够的。所以勒贝格从“一个”曲边多边形出发，去更改积分的定义，把“一个”改为“可数个”，最终导致数学史上的第三次完备化——L可积函数的极限仍然是L可积的。 积分介绍 积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度（Y值）乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念（黎曼积分）。 定理2 定理2 勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，可以将小区间的高度（Y值）乘以对应的所有小区间的长度的和（测度），然后加起来。又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样的。但对于一些“坏”函数，结果是不一样的。 比如在X轴［0，1］闭区间上定义函数： Y=1，当X是有理数； Y=0，当X是无理数。 求该函数覆盖的面积。 黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。 用勒贝格积分来求和： 1*0+0*1 = 0。 ［0，1］闭区间的长度（测度）是1；有限点集的长度（测度）是0；无限可数点集（如， 证明1 证明1 有理数）的长度（测度）是0。而［0，1］闭区间的长度（测度） = 有理数集的长度 + 无理数集的长度。 所以，［0，1］闭区间的无理数集的长度（测度） 是1。这就解释了上述计算结果。 还有物理学里面常见的狄拉克δ函数，Riemann积分下是不可积的，在L积分意义下它有着最初物理学家所定义的性质。 由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。但必须指出，勒贝格积分无法完全代替黎曼积分，问题出在L可积函数具有绝对可积的性质，导致条件收敛的黎曼广义可积函数不是L可积函数。 4、黎曼－斯蒂尔杰斯积分： 黎曼-斯蒂尔杰斯（简记为R-S）积分和勒贝格-斯蒂尔杰斯（简记为L-S）积分的统称。由荷兰数学家斯蒂尔杰斯提出，故名。函数f（x）关于函数g（x）的（R-S）积分用f（x）d（x）表示，是黎曼（简记为R） 积分的直接推广，当g（x）=x时，就是微积分中的（R）积分，它在物理中的应用尤为重要，因为它能对连续分布的质量和集中分布的质量统一用一个积分公式进行计算，(L-S）积分是关于（L-S）测度的一种积分，（L）积分是它的特殊情形，（L-S）积分在概率论中有着十分重要的应用。

5、数值积分： 数值积分（外文名Numerical Integration）指的是求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯、拉格朗日等人都在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了这个分支的理论基础。