数学中的不可能
不可能可以是直观的，也可能是极其困难的。数学中的不可能特殊在数学学科本身的特点上。数学通过选择概念定义以及不证自明的公理，利用演绎法，推导出整个体系。数学中的不可能一旦被严格证明，那么它的结论是确定无疑的，没有丝毫“可能”的空间，是“强不可能”。
数学中要证明不可能，它的本质是演绎的，而非直觉的，经验的，归纳的，类比的。不可能的最终判定要依赖理性之光，而非直观感受，它绝不依据心理感受，不被人类的复杂情感支配。
证明或是理解一个命题是不可能的有时候是很困难的，不直观的，反直觉的。以下是一些数学中“著名不可能”的举例。意在描绘数学中不可能的冰山一角。
哥德尔不完备性定理及希尔伯特计划
哥德尔第一不完备性定理
任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
即对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么这个系统不可能同时满足完备性和一致性。
哥德尔第二不完备性定理
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
即对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么我们不能在这个系统的内部来证明它的一致性。
哥德尔的天才工作成果终结了希尔伯特的宏大计划。其对数学的冲击是深刻且深远的。数学家企图构造完美数学体系的雄心被粉碎。这给数学家们心头压上了一块大石：谁也不知道自己辛辛苦苦做了十几年的题目，会不会突然有一天被证明是在现有数学体系中不可判定的。
哥德尔不完备性定理可以说是数学里最重要的定理之一，这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化。哥德尔不完备性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。它的影响远远超出了数学的范围，不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语言学和计算机科学。哥德尔不完备性定理暗示了人类理性不是无所不能的。可以尽情叹息，但哥德尔的工作成果确定无疑地展示了“不可能”，如同上帝订立的规则，数学中满足“包含皮亚诺算术系统”的形式系统必定要遵守哥德尔不完备性定理。
希尔伯特23个问题
1900年，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了著名的希尔伯特的23个问题。其中一些问题已被解决，结论是否定的。
第3问题：两四面体有相同体积之证明法
1900年希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
第10问题：能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解
1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。
第13问题：以二元函数解任意七次方程
1957年柯尔莫哥洛夫和阿诺德证明其不可能性。
第14问题：证明一些函数完全系统之有限性
1962年日本人永田雅宜提出反例。
希尔伯特的23个问题都是一些比较难的问题，在没有证明之前，甚至不知道它的结论是肯定的还是否定的。最终证明的“不可能”某种程度上是对数学家野心的打击，即你的想法愿望梦想是不可能的，你的直觉也许是错误的。但被判定为不可能的问题并非没有意义，实际上，常常反而意义重大。它首先给出了一个结论，即“不可能”。它的结论也避免了试图从“可能”的角度来实现它，如果最终是不可能的，这样的努力终是无谓。
古希腊三大几何问题
这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解。
1.立方倍积：即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。
2.化圆为方：即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。
3.三等分角：即分一个给定的任意角为三个相等的部分。
因为命题陈述界面友好，通俗易懂，古希腊三大几何问题同哥德巴赫猜想一样成为了中国数学民科的主流研究对象。
以上三个问题在2400年前的古希腊已被提出。直至1837年，法国数学家万芝尔首先证明“三等分角”和“立方倍积”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，用尺规作图的方式解决化圆为方的问题也被证明是不可能实现的。
这三个几何问题是挑战人类直觉的，因为它看起来很简单，但它的最终证明却不是几何的。从几何方向尽力尝试，都不可能只用尺规做出来。它的最终否定是通过代数工具证明的。数学中还有很多初看容易，实际很难的问题。例如现在很活跃的数学分支数论里就有不少命题陈述简单，但解决它的工具常常是另外的数学分支。反直觉，反经验的命题常常在初看时觉得是肯定的，但最终却被证明是不可能的。
费马大定理
当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
数学界先后耗费三百多年，最终完整证明了费马大定理。十几代人类最杰出的头脑为此耗费心血。丢番图、毕达哥拉斯、费马、热尔曼、柯西、欧拉、希尔伯特、哥德尔、图灵、伽罗瓦、谷山丰、志村五郎、沃尔夫斯凯尔、怀尔斯…… 这些数学史上最伟大的名字，在整个“费马定理大戏”上轮番登场。费马大定理的证明是人类理性的胜利，人类心智的荣耀。
证明不可能有时候是极其困难的。有些命题的否定只需要一个反例即可。但形如费马大定理这样的大picture的工作则需要否定掉所有的可能性，才能得出“不可能”的结论。这里的不可能也许是直观的，符合直觉的，但其证明极其困难。
数学中不可能对我而言的意义在于消除幻觉，粉碎野心和想象。即使情感上不肯接受，但只要接受演绎的原则，如果前提正确，推导过程正确，那么即使它的结论多么令人不舒服反直觉，也要作为确定的知识接受。也许令人沮丧，但它确定无疑，是强的“不可能”。是靠得住的“不可能”，我可以去相信它确实是不可能的，没有可能，丝毫不会有“可能”的空间。这才是“不可能”。
最后以代数几何教皇格罗滕迪克的自传《收获与播种》中的一段话来结尾：
“每一门科学，当我们不是将它作为能力和统治力的工具，而是作为我们人类世代以来努力 追求的对知识的冒险历程，不是别的，就是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期，或 多或少，巨大而又丰富：在不同的时代和世纪中，对于依次出现的不同的主题，它展现给我们微妙而精细的对应，仿佛来自虚空。”
附：希尔伯特计划
这个计划的主要目标，是为全部的数学提供一个安全的理论基础。具体地，这个基础应该包括：
所有数学的形式化。意思是，所有数学应该用一种统一的严格形式化的语言，并且按照一套严格的规则来使用。
完备性
我们必须证明以下命题：在形式化之后，数学里所有的真命题都可以被证明（根据上述规则）。
相容性
我们必须证明：运用这一套形式化和它的规则，不可能推导出矛盾。
保守性
我们需要证明：如果某个关于“实际物”的结论用到了“假想物”（如不可数集合）来证明，那么不用“假想物”的话我们依然可以证明同样的结论。
确定性
应该有一个算法，来确定每一个形式化的命题是真命题还是假命题。
数学中要证明不可能，它的本质是演绎的，而非直觉的，经验的，归纳的，类比的。不可能的最终判定要依赖理性之光，而非直观感受，它绝不依据心理感受，不被人类的复杂情感支配。
证明或是理解一个命题是不可能的有时候是很困难的，不直观的，反直觉的。以下是一些数学中“著名不可能”的举例。意在描绘数学中不可能的冰山一角。
哥德尔不完备性定理及希尔伯特计划
哥德尔第一不完备性定理
任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
即对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么这个系统不可能同时满足完备性和一致性。
哥德尔第二不完备性定理
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
即对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么我们不能在这个系统的内部来证明它的一致性。
哥德尔的天才工作成果终结了希尔伯特的宏大计划。其对数学的冲击是深刻且深远的。数学家企图构造完美数学体系的雄心被粉碎。这给数学家们心头压上了一块大石：谁也不知道自己辛辛苦苦做了十几年的题目，会不会突然有一天被证明是在现有数学体系中不可判定的。
哥德尔不完备性定理可以说是数学里最重要的定理之一，这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化。哥德尔不完备性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。它的影响远远超出了数学的范围，不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语言学和计算机科学。哥德尔不完备性定理暗示了人类理性不是无所不能的。可以尽情叹息，但哥德尔的工作成果确定无疑地展示了“不可能”，如同上帝订立的规则，数学中满足“包含皮亚诺算术系统”的形式系统必定要遵守哥德尔不完备性定理。
希尔伯特23个问题
1900年，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了著名的希尔伯特的23个问题。其中一些问题已被解决，结论是否定的。
第3问题：两四面体有相同体积之证明法
1900年希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
第10问题：能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解
1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。
第13问题：以二元函数解任意七次方程
1957年柯尔莫哥洛夫和阿诺德证明其不可能性。
第14问题：证明一些函数完全系统之有限性
1962年日本人永田雅宜提出反例。
希尔伯特的23个问题都是一些比较难的问题，在没有证明之前，甚至不知道它的结论是肯定的还是否定的。最终证明的“不可能”某种程度上是对数学家野心的打击，即你的想法愿望梦想是不可能的，你的直觉也许是错误的。但被判定为不可能的问题并非没有意义，实际上，常常反而意义重大。它首先给出了一个结论，即“不可能”。它的结论也避免了试图从“可能”的角度来实现它，如果最终是不可能的，这样的努力终是无谓。
古希腊三大几何问题
这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解。
1.立方倍积：即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。
2.化圆为方：即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。
3.三等分角：即分一个给定的任意角为三个相等的部分。
因为命题陈述界面友好，通俗易懂，古希腊三大几何问题同哥德巴赫猜想一样成为了中国数学民科的主流研究对象。
以上三个问题在2400年前的古希腊已被提出。直至1837年，法国数学家万芝尔首先证明“三等分角”和“立方倍积”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，用尺规作图的方式解决化圆为方的问题也被证明是不可能实现的。
这三个几何问题是挑战人类直觉的，因为它看起来很简单，但它的最终证明却不是几何的。从几何方向尽力尝试，都不可能只用尺规做出来。它的最终否定是通过代数工具证明的。数学中还有很多初看容易，实际很难的问题。例如现在很活跃的数学分支数论里就有不少命题陈述简单，但解决它的工具常常是另外的数学分支。反直觉，反经验的命题常常在初看时觉得是肯定的，但最终却被证明是不可能的。
费马大定理
当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
数学界先后耗费三百多年，最终完整证明了费马大定理。十几代人类最杰出的头脑为此耗费心血。丢番图、毕达哥拉斯、费马、热尔曼、柯西、欧拉、希尔伯特、哥德尔、图灵、伽罗瓦、谷山丰、志村五郎、沃尔夫斯凯尔、怀尔斯…… 这些数学史上最伟大的名字，在整个“费马定理大戏”上轮番登场。费马大定理的证明是人类理性的胜利，人类心智的荣耀。
证明不可能有时候是极其困难的。有些命题的否定只需要一个反例即可。但形如费马大定理这样的大picture的工作则需要否定掉所有的可能性，才能得出“不可能”的结论。这里的不可能也许是直观的，符合直觉的，但其证明极其困难。
数学中不可能对我而言的意义在于消除幻觉，粉碎野心和想象。即使情感上不肯接受，但只要接受演绎的原则，如果前提正确，推导过程正确，那么即使它的结论多么令人不舒服反直觉，也要作为确定的知识接受。也许令人沮丧，但它确定无疑，是强的“不可能”。是靠得住的“不可能”，我可以去相信它确实是不可能的，没有可能，丝毫不会有“可能”的空间。这才是“不可能”。
最后以代数几何教皇格罗滕迪克的自传《收获与播种》中的一段话来结尾：
“每一门科学，当我们不是将它作为能力和统治力的工具，而是作为我们人类世代以来努力 追求的对知识的冒险历程，不是别的，就是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期，或 多或少，巨大而又丰富：在不同的时代和世纪中，对于依次出现的不同的主题，它展现给我们微妙而精细的对应，仿佛来自虚空。”
附：希尔伯特计划
这个计划的主要目标，是为全部的数学提供一个安全的理论基础。具体地，这个基础应该包括：
所有数学的形式化。意思是，所有数学应该用一种统一的严格形式化的语言，并且按照一套严格的规则来使用。
完备性
我们必须证明以下命题：在形式化之后，数学里所有的真命题都可以被证明（根据上述规则）。
相容性
我们必须证明：运用这一套形式化和它的规则，不可能推导出矛盾。
保守性
我们需要证明：如果某个关于“实际物”的结论用到了“假想物”（如不可数集合）来证明，那么不用“假想物”的话我们依然可以证明同样的结论。
确定性
应该有一个算法，来确定每一个形式化的命题是真命题还是假命题。
