从惊讶到思考（9）
第四章 几何学悖论
对大多数人来说，甚至对大多数在中学学习数学的学生来说，“几何”一词意味着欧几里得平面几何，它是研究平面图形的性质，在这里，我们将按费利克斯·克来因在一百多年前提出更广义的观点来认识几何，这就是研究几何图形在确定的一组变换群下保持不变的那些性质。
另一方面，拓扑学作为几何学的一个分支，它是研究图形在连续变形下不变的种种性质。这里所出现的“悖论”，如编手镯、把圆环的里面翻到外面来、不动点定理，凡此种种都是关于拓扑性质的。虽然现在中学一般不讲授拓扑学，但是拓扑学中的—些概念很容易为年轻人掌握，学生们将会被这些奇景所吸引和激励。
在介绍完这一章内容之后，可对几何学的不同分支做简短介绍，每一分支都是由允许使用何种变换来定义的，这将使学生熟悉克来因的几何学概念，它是现代数学最基本、最具普遍性的概念之一。自然我们要从欧几里得平面几何和立体几何开始介绍，在这里所允许的变换是平移、反射、旋转和相似变换。然后再一步步向前发展，介绍那些越来越特殊的变换，从而逐步定义仿射几何、射影几何、拓扑学以及点集理论。
把一个不对称的图形变成它在镜中的象的反射变换，在这里之所见特别强调，是因为它提供了许多色彩斑烂的悖论，又在较新的几何研究方法中和现代科学中具有很重要的作用。镜面对称在化学中，特别是在有机化学中扮演很重要的角色，因为在有机化学里，几乎所有的碳分子的形状都对称地分为左右两半。此外它在结晶学、生物学和遗传学以及现代物理学中也具有很大的重要性。
在本章中所谈到的某些奇妙现象，虽然初看起来好象只是一种消遣而已，但是我们将会看到，它们中间的每一个都自然地把人们引向诸如群论、逻辑学、序列理论、无穷级数、极限理论等重要的数学领域。学生们可遵循这里所提出的方法以悖论为通途进入这些数学领域。一般来说，中学生们总是特别关心用圆规和直尺作图，以及一步步地证明几何定理，他们忽视了几何与其它数学分支之间的动人的联系，忽视了几何在天文学、物理学以及其它各门科学中的应用。
1．绕着一个姑娘转圈
甲：啊，梅蒂尔！你在树后藏着吗？
M：当这个男孩绕着树转的时候，梅蒂尔也这样做，她绕着树横走，鼻子总是朝着树，所以那男孩始终看不到她。
M：他们这样绕树转一圈后，都回到了原来位置。这时，男孩绕梅蒂尔转了一圈吗？
V1：当然啰！他既然绕着树转了一圈，就必然绕着姑娘也转了一圈。
乙：瞎说！即使那里没有树，他也一直未能看到梅蒂尔的后背。既然是绕着一个物体转一圈怎么能看不到它的所有各面呢？
这个古老的悖论一般是以猎人和松鼠的形式出现。松鼠蹲在树椿上，猎人绕着树椿转的时候，松鼠也一直在转，所以它总是面向猎人。当猎人绕树转一圈后，他也绕松鼠转了一圈吗？
“绕着转了一圈”这意味着什么？如果我们在这方面没有一致看法，则对上面的问题显然是无法回答的。在我们日常说的话中，许多词没有确切的定义。威廉·詹姆斯的经典哲学著作《实用主义》一书中，有一段对“猎人和松鼠”这一问题的有趣探讨，他把这当作纯粹语义上的争论的一个典型。当双方一旦认识到他们所争论的只是如何定义一个词时，困难就很快消除了。如果人们更清楚地认识到术语的精确定义该是多么重要，那么许许多多尖锐的争论问题几乎就都会变得象这个问题那样平凡易解。
2．月亮的不解之谜
M：这个问题就象月亮本身那样令人迷惑不解，月亮总是以同一面朝向地球。当月球绕着地球转一圈以后．它绕各自己的轴旋转了吗？
甲：作为一个天文学家，我的回答是肯定的。如果你站在火星上，你就会看到每当月球绕地球转一圈，它就绕着自己的轴也转一圈。
乙：它怎么旋转了呢，爸爸？如果它旋转了，我们就会看到它不同的各面，可是我们看到的却总是相同的那一面。
M：月球绕轴旋转了吗？那个男孩绕姑娘转圈了吗？这些到底是真正的科学上的争论，或只不过是在词义上的分歧？
与前一个问题一样，这也只是对词义理解的含混造成的。“绕自己的轴旋转”这句话的确切意义是什么？这个问题必须澄清。对地球上的观察者来说，月球没旋转；对处在地球—月球系统外的观察者来说，它旋转了。
一些很有知识的人都曾极认真地研究过这个简单的问题，说起来这是很难使人相信的。奥古斯都·德莫尔干在他所著的《悖论集》一书的第一卷中，对十九世纪出版的探讨这个问题的小册子作了评述，这些小册子那是反对“月球旋转了”这一观点的。一个伦敦的业余天文学家，叫做亨利·皮瑞加尔的人在这场争论中真可谓之孜孜不倦，他的讣告中有这样一段话，“在整个一生中，他在天文学上的主要目标。是使别人相信月球并没有绕轴旋转。皮瑞加尔撰写小册子、构造模型甚至写诗来证明自己的论点，愿以英雄的豪爽来承担一切努力都毫无所得而引起的一个又一个的失望。”
我们现在说与这个月球之谜紧密相关的另一个奇妙的问题。让我们在黑板上面两个大小相等、相互外切的圆盘，一圆盘沿着另一圆盘的边缘无滑动地滚动，滚动中保持边缘密切相切接触，这样绕着不动的圆盘转动一周以后，它本身旋转了几圈？
大多数学生将会回答：一圈。可以让他们用同样大小的两个硬币做试验，过后他们会惊奇地发现，那个滚动的硬币实际上旋转了两圈！
还有别的答案吗？这正像地球—月球那个问题一样，其答案也依赖于观察者的位置。相对于固定的硬币来说，它转了一圈，而相对于从上向下看的你来说，它旋转了两圈。这也曾是个激烈争论的题目。《科学美国人》杂志于一八六七年首次刊登这个问题，于是持有两种尖锐对立观点的读者的信如洪水般地涌来。
读者很快就认识到了硬币问题与月球问题之间的关系。那些坚持认为硬币只旋转一圈的人也同样认为月球根本没有绕轴旋转，一位读者以激烈的口气写道：“如果你抡着一只猫在你头上转圈，那么它的脑袋、眼睛和脊椎骨都在绕着自己的轴旋转吗……？转到第九圈猫就会死去吗？”
来信急剧增多，以致于在一八六八年四月编辑部便宣布他们不再讨论这个问题，而在一种名为“车轮”的新月刊上专门讨论这个“重大的问题”。这个杂志至少出了一期，专门刊载着读者们精心制作的各种装置的示意图，他们把这些寄给编辑部用来证明自己的论点。
3．镜子的魔力
M：镜子是个更奇妙的东西。现么梯姆斯和丽贝卡正在一个晚会上做客，晚会上每个人都戴个名片。
丽贝卡：多么奇怪的镜子啊，梯姆！你看，它把我的名字弄反了，可是你的名字却一点儿也没变！
M：镜子好象只能使左右颠倒，为什么它不能使上下也颠倒呢？这难道不是很奇怪吗？
M：实际上，只有当一条线垂直于镜面时，镜子才使这条线颠倒过来。正因为这三个小球在一条与镜面成直角的线上，所以它们在镜中象的顺序就倒过来了。
M：如果你站在用镜子做的地板上，你身体的上下轴线垂直于镜面。这时你在镜中的象前面仍是前面，后面仍是后面，但是你却上下颠倒了。
M：如果你侧着身子对镜面站着，你身体的左右轴线垂直于镜面。这时你在镜中的象脑袋还是在上面，前面仍是在前面，但是你却被左右颠倒了。
M：当你面对镜子站着的时候，你在镜中的象的脑袋仍是在上面，你的左面仍是在左面，可是你却被前后颠倒了。你的象中左手的位置和你走到镜面后再转过身来时左手的位置正好相反，因此我们说你被左右颠倒了。
M：在这幅画面中有两个英语字单词，为什么镜子只把其中的一个词颠倒了？实际上并非如此！另一词DIXIDE也同样被颠倒了，只不过它的对称性使它倒过来以后看起来仍和原来一样。
M：你能猜出当两个镜面垂直放置时会发生什么现象吗？这时镜子里的象将与平常镜中的象不同，它是完全没有被镜面颠倒的象！这位姑娘此时所看到的她自己正和别人所看到的她完全一样！
因为梯姆斯（TIMOTHY）这个名字的每个字母都有个竖直的对称轴，所以它在镜中的象与原来一样，但在丽贝卡（REBECCA）这个名字中只有字母A具有竖直对称轴，结果这个名字在镜中的象只有A没变，其它字母都被颠倒了。
为什么镜子会使左右颠倒，而不能使上下颠倒？这和上面所述及的关于月球和硬币的问题相似，也是词义上的问题，为了作出回答，我们必须在“左”、“右”、“颠倒”这几个词的意义上取得一致意见。为了进一步弄清镜子到底做了些什么，请读马丁·格德纳所著《具有两面性的宇宙》的前三章，本书包括大量有关镜面反射对称以及它在科学和日常生活中的作用的大量材料。
与TIMOTHY中字母不一样的是，DIOXIDE中的每个字母都有一条水平的对称轴，所以如把镜面竖直放置在这个词的上边，它在镜中的象好象没有变。在CARBON中，C、B、O也有水平对称轴，所以它们在镜中的象看起来也与原来一样，但是A、R和N都没有这样的对称轴，所以上边变成下边，下边变成上边。
可以让学生找出一些在镜面成象后看来与原来一样的英语单词，这是一个很好的课堂活动。第一步是查看所有的大写字母，并把那些具有水平对称轴的列出来。它们是B、C、D、E、H、I、K、O、X。用这些字母可组成许多四个字母或多字母的词，如CHOICE、COOKBOOK、ECHO、OBOE、ICEBOX、HIDE、DECIDED、CHOKED等等，一共有数百个这样的词。
当学生把两个小镜面垂直放置并向两镜交角方向看去的时候，他就会看到自己的没有被镜面左右颠倒的象（需要稍为调整两个互相贴近的小镜的位置，使得在两镜中只看到单独一个的象为止）。如果学生眨一下左眼，镜中的象不是象想象的那样眨一下右眼，而是另外一边的眼睛眨一下，原来这时镜中象的面部左右两边已互换了位置，这是因为他的面部两边各被每个镜面反射一次、一共反射两次的缘故。
他看到自己这样的象也许会觉得很陌生，这是因为他在平常镜中所看到的自己的面部总是左右颠倒了的。虽然人的面部有个竖直的对称轴，但左右两边很少是完全一样的。当人们看到自己这个本来面目时，左右两边的微小差别就会使他感到这个象与原来的象有所不同，但是他自己也说不出不同在什么地方。他应该知道，正是这个面部才是他（或她）本人为外部世界所辨认的面部！此外，他本人往通常镜中的象对熟知他的人来说也同样会感到有些奇怪。到底哪个是真正的面部？
要想检查一下学生对这种“双镜”成象原理了解得如何，一个好办法是问一下他们，如果两镜面的邻接线是水平的而不是竖直的时候，他们会看到什么。这时所发生的两次反射将使面部上下颠倒！这个被上下颠倒的象是在普通镜面所看到的象吗？不是，它仍旧是没有被镜面左右倒置的象，如果学生眨一下左眼，那么他这个上下颠倒的象仍旧是眨一下右眼。
这些镜面游戏可作为学习变换几何中的对称和反射的极好的导引。所有上面谈到的“悖论”都可以用初等的变换理论来解释（参看哈罗德·R·雅可比所著教科书《数学——人类的魄力》第五章的第1、2、3课）。
4．小立方块和女士
M：在这幅画中你数到了多少个小立方块？有六个？……有七个？
M：这画中画的是个年青姑娘吗？……或许你看到一个老太太？
M：你在这幅画中者到了什么？……一个小立方块放在—个房间的一角？……一个小立方块贴附在一个大块的外面？……或许是一个大立方块在一角上有个立方形的洞？
这一段所列举的画面所造成的眼睛的错觉，都是对看到的同样东西做不同解释的实例。在第一例中，人们会把这一张平面团看作是一组小立方体的透视图，但是这个透视图可用两种不同方法来看，且每种解释方法都是同样有道理，这样，观察者的意念就在这两者之间来回转变。
第二幅画也是这么回事。你在面中不是看到一位年青姑娘，就是看到一位老太太，不可能哪个也没看到。观察者的意念在这两者间来回跳动。
第三幅画有三种解释方法。对大多数人来说最困难的一种是看出一个大立方块上有个立方形洞，因为这是较少见的，但是我们如果不住地盯着看，尽力地把画中的小立方体看成是个洞而不看成一个实体，最终将会领悟这种解释。学习用三种可能的方法来看这个图与解释几何图形的能力有很密切的关系。这种能力十分重要。众所周知，在几何中看图看得不正确是产生误解的一个重要原因。
5．兰迪先生的奇异地毯
M：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长宽都是13分米的地毯，他想把它改成8分米宽21分米长的地毯。
M：兰迪先生拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔。
兰迪：奥马尔，我的朋友！我想让你把这块地毯裁成四块，再把它们缝在一起成为一块8分米×21分米的地毯。
奥马尔：很遗憾，兰迪先生。您是个伟大的魔术家，可是您的算术竟这样差！13乘13是169，8乘21是168。这怎么能办得到呢？
兰迪：我亲爱的奥马尔！伟大的兰迪是从来不会错的。劳您的驾把这块地毯裁成这样的四块。
M：奥马尔象他所说的那样做了。过后兰迪先生把这四块重新摆一下，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8分米×21分米的地毯。
奥马尔：这怎么可能呢？地毯面积由169分米2缩小到168分米2！那一平方分米哪里去了？
M：几个月之后，兰迪先生又拿来一块长宽都是12分米的地毯。
兰迪：奥马尔，老伙计！我的电热器翻倒了，结果把这块美丽的地毯烧坏了。把它剪裁一番再缝上，很容易就可去掉这个窟窿。
M：奥马尔表示怀疑，但他还是按兰迪所教的方法做了。
把裁好的几块缝在一起之后，它仍然是长宽各12分米但那个窟窿却消失了！
奥马尔：兰迪先生，请讲一讲，你是怎么做的？补上这个窟窿的那一平方分米是从哪里来的？
这个古老的故事是这样的令人惊奇和难以解释，值得我们化费一些时间动手按照所说的方法做一做。我们在作图纸上画一个正方形．把它剪成四块，重新安排一下，拼成一个长方形。除非这个图做得很大并且作图和剪裁都搞得十准确，人们是不会发现拼接成的长方形在主对角线附近发生了微小的重叠。正是沿对角线的这点不完美的叠合导致丢失了一个单位的面积。如果学生们不相信这一点的话就让他们计算一下长方形对角线的斜率以及拼接前各片相应边的斜率，再把它们加以比较就会清楚了。
如果先画出上边所说的这个长方形，按图示把它剪成四块，再拼成正方形，这时这个正方形又会怎样呢？这是在课堂上学生们可能希望探讨的问题。
上文涉及到四个长度：5，8，13，和21，我们会认出这是一个著名的数列中的四项。可以让学生找出这个数列各项的构成规律。显然，这就是有名的菲波拿齐数列，它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。
学生们可使用这个数列的其它相邻四项来试验上述过程，无论选取哪四项，他们都会发现所作出的正方形和长方形的面积是不会相等的，但有时长方形比正方形小一个单位面积，有时长方形此正方形大一个单位面积。我们应该进一步确定，什么时候在拼接成的长方形中失去一个单位面积，也就是说在长方形的对角线附近有个呈菱形形状的重叠，什么时候长方形又会多得一个单位的面积，也就是说在拼接成的长方形对角线上出现一个菱形的空隙。
对这个菲波拿齐数列多做几次上述的试验，有人就会凭直观得出菲波拿齐数列的一个重要性质：这个数列任一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减l。用公式表示，则为：
tn^2=(tn-1*tn+1)±1
左边tn^2是正方形的面积，右边(tn-1*tn+1)±1是长方形的面积。当n从小到大依次取正整数时，上式中的正负号交替出现。如果一数在该数列中的位置数，即它的项数是奇数（如上面数列中的2，5，13等），则这个数的平方较前后相邻两偶数项之积多1；反之，偶数项的平方较前后相邻两奇数项之积少1。知道了这一事实，我们就可以预见由正方形剪接而成的长方形是多得了一个单位面积还是丢失了一个单位面积。
上面的这个菲波拿齐数列以1，1两数开始，广义的菲波拿齐数列可以从任意两数开始。用另外的一些菲波拿齐数列做上述试验，学生仍将会发现一些新东西。比如说，用数列2，4，6，10，16，……做试验，就会多得或丢失四个单位面积，数列3，1，7，11，18，……的“得”或“失”是五个单位面积。
设a，b，c是一个广义菲波拿齐数列相邻的三项，以x表“得”或“失”的数字，则下面两式成立：a+b=c, b^2=a*c±x^2
我们可以用任何一个设想的得失数来代式中的x，用任何一个数来代式小的正方形边长b，然后解上面的联立方程就会求得a和c的值，当然这样求得的值不一定是有理数。
学生们一定会喜欢这样一个十分有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？
为了回答这个问题，令第二个方程中x等于零，解这个方程组，用a表示b，则得到唯一的正解是: b=(1+根号5)a/2
上式中的(1+根号5)/2恰是著名的黄金分割比，通常用Ф来表示。它是一个无理数，等于1.618033……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的菲波拿齐数列是
1，Ф，Ф+1，2Ф+1，3Ф+2，……
这对学生来说是做根式演算的一个很好的练习。
只有用上面这个数列相邻两项表示的长度来分割正方形才会得到本段所述的几何悖论的另外一种形式：长方形和正方形的面积相等。如要更多地了解黄金分割比率以及它与上述正方形—长方形几何悖论之间的关系，请参看《科学美国人》杂志数学之谜和数学游戏第二集一书中关于黄金分割比率的那一章。
两个全等正方形怎么会有不同的面积呢？在兰迪的第二个地毯悖论中，所丢失的面积是一个实实在在的窟窿。与前一问题不一样的是，这里的两个图形在各自的那条斜线上都是完美地接合在一起，并无重叠和空隙。学生们能够找出那个不见了的单位正方形到哪里去了吗？
为了帮助学生们找到答案，可建议他们做两个全等的、上面没有孔洞的正方形，做得越大越好。把其中的一个按图中的式样精确地剪成所需要的五块，把它们重新安排一下拼成那个带孔的图形，最后把它放到未经剪切的正方形上边。待两者的上边和两侧边都重合后，他们就会发现那个带孔的图形不是真正的正方形。它实际上是个长方形，比正方形高1/12分米，于是它的底部就多出一个12分米×1/12分米的窄带，其面积恰好与地毯上的孔洞面积一样。
这样解释了那个正方形的一个单位是如何消失的，然后学生们就可以再设法找出正方形高度增加的道理。其秘密在于：在没有孔洞的那个正方形的分割图形中，直角三角形斜边上那个顶点并不是整数网格点[*]。学生们发现了这点之后，他们就可以自己设计出许多各种各样的正方形，使得在拼成长方形后，“多得”或“失去”的多于一个单位的面积。
上述这一奇妙的事实以“卡瑞正方形”的名字为大家所熟知，这是因为它的发明者是一个名叫保罗·卡瑞的业余魔术师。这种悖论还具有好几种其他表现方式，三角形也是其中之一。学生们要想探讨卡瑞正方形或卡瑞三角形，则需阅读马丁·戈德纳所著《数学，魔术和奇迹》一书的第八章和《科学美国人》杂志中的《数学新分支》一书的第十一章。
这个点到该正方形底线的距离并不等于9分米。在这个没孔洞的正方形图形上进行计算，使用相似三角形原理可算得这个距离是，而在拼成的有孔洞的图形中，这条线的长度却被视为9分米！——博主注
6
．失踪的舞蹈家
M：一年之后，兰迪先生又回来了，带来一块东方的挂毯。
兰迪：奥马尔，这挂毯仅有七个跳舞的姑娘，我希望有八个，请作把它裁成这样的三块。
M：奥马尔裁过以后，兰迪先生把上面的两块互换一下位置。奥马尔数一下姑娘的个数：
奥马尔：一、二、三、四、五、六、七——八个！仁慈的阿拉啊，这第八个姑娘是从哪里来的呢？
M：信不信由你，兰迪先生的这一做法与那些行为不端的计算机程序设计师试图从大银行里偷钱所用的方法有些共同之处。
兰迪：伙计，我难道不是个天才吗？我一个月就能白得500美元，何况做起来易如弹指！我只是告诉计算机在计算利息时，把每个户头美分以下的零数全都舍去而不是实行四舍五入！
兰迪：这样，每个户头每月大约损失半美分，这么点儿钱谁也不会理会。但银行里有十万个户头，所以他们每月总共损失500美元。计算机每月都将这笔钱存入我的秘密户头上，而银行的账目依然总是平衡的！
M：兰迪先生所做的这几件奇事都是靠从许多地方各拿取一丁点儿来凑成一个可观的数量。第一块地毯在对角线附近有一小片人们觉察不到的重叠部分；第二块地毯去掉烧坏的窟窿后比原来略微短了一点儿；而这八个舞女也都比原来小了一点儿。
上 述这些颇劳神思的关于图形方面的悖论常常被用作广告的帮衬。十九世纪八十年代美国著名的谜题发明家山姆·劳埃德按这个悖论做成一个环形画面，画面上有个中 国武士，当圆盘转动时，就看不见这个武士了。自那以后，就刊印这种游戏的许许多多的其它形式，有些是环形画面，有些却是平面形画面。
解释这种奇妙现象的最好方法是用直尺在卡片上按下图方式画出十条线：
沿图中虚线把卡片剪开，然后把下半部向左下方滑动：
再数一下卡片中的线，只有九条！如果要问原来的十条线中哪一条消失了则是无意义的。实际上在上述过程中，十条线一共被分成十八份，经重新安排后，组成了九条线。显然，这九条线中的每一条都比原来的线长出了1/9。当把下半部分移回到原位置后，第十条线又出现了，此时所得到的每一条线都较原来短了l/10。
对于有舞蹈家的画面，其道理也完全一样。当画面上出现八个姑娘时，每一个要都比出现七个时要短1/8，当我们再变回去时，不可能找出是哪个姑娘消失了，因为这七个姑娘是由完全不同的姑娘所组成的，而且每个又比先前长1/7。 读者要想读到对此更详尽的叙述或其它与之有关的东西，请参阅《数学，魔术和奇迹》一书的第七章。有一种古老的伪造方法正是以这种原理为基础的。按照上面分 线段的方法可见把九张钞票分成十八份，经重新安排后就做出了十张钞栗。但这样伪造的钞票很容易被侦破，这是因为票面表示币值的两个数字已不相匹配。在美国 的所有钞票上，这两个数字都是位于相对的两端，但其中一个高些，另一个低些。这正是为了挫败这种伪造企图。1968年，伦敦一个男子由于对5英镑面值的钞票使用这种方法进行伪造，结果被判处了八年徒刑。
上 面所叙述的那个欺骗银行的故事是在七十年代初期发生在美国的一桩诈骗案为背景的。这个银行的计算机程序设计师把所有的支付利息数额中美分以下的零头一律舍 去，而不是实行四舍五入。先把多余的钱贮存在计算机的记忆装置里，稍后就把款项存入最后一个户头——这正是程序设计师本人的户头。
7
．可内外翻剥的奇妙轮胎
M：拓扑学被称做橡皮几何，因为它是研究图形被拉伸和扭曲后不变的性质。
M：有一种形如轮胎的迷人的曲面圆环。设想一个用薄橡皮做的轮胎，它上面有一个大孔，你认为能从这个孔把它的里面翻到外面来吗？这的确是可以做到的，但是很困难。
M：在把圆环翻转之前，设想我们按左边画面的办法把一个小橡皮圈粘在它的内表面，又把一大橡皮圈粘在它的外表面。这两个橡皮圈显然没套在一起。
M：这就是圆环被翻转后的样子。这时这两个弹性圈已套在一起了！但是不经过剪开和粘上的过程就把两个圈套在一起是不可能的，所以一定是哪里出了错。但是错在哪里呢？
我 们确实可以通过圆环上的一个孔把它的里面翻到外面来，但这并没有使那两个橡皮圈套在一起，其理由是圆环翻过来以后，两个橡皮圈都已改变了位置，小圈被拉伸 成大圈，而大围被压缩成小圈，所以它们还是像从前那样没有互相套着。产生这种错误结论的关键在于画家特意把圆环翻转后的样子画成我们可能想象的那样，而没 有按实际的情况画出。
用 橡皮做的圆环模型，例如一个车轮的内胎，是很难通过它上面的一个扎把它翻过来的，因为在这过程中橡皮必须经过大幅度的拉伸。如果使用一个布制模型就很容易 做到这一点。把一方块布对叠起来然后把两个相对的边缝在一起，这就成了一个烟筒。在另一个方向上再把这个筒对叠起来，把筒相对的两头沿着它们的边缘缝起 来，就做成一个圆环模型了。如果把它摊平，则呈方形。为翻转方便起见，所开的“孔”是位于外层布上沿水平方向剪开的一个长口。
通过这个开口很容易把这布制圆环翻过来。翻过来以后，它和以前具有同样的形状，但这时那个长口已成为竖直的了，布面的纹理也都转动了90°。 换句话说，原来在某个方向上环绕圆环的一条线，现在已在另一个方向上环绕圆环。为了更清楚地看出纹理的旋转如何导致两个弹性圈位置的互换，你可以把沿着某 个方向环绕圆环的圈用墨水涂上一种颜色，而另一方向上的第二个圈涂上另一种颜色。把圆环翻过来以后，你就会看到两个圆圈互换了位置。
要想象出在翻转过程中间环变形的具体过程是不容易的。我们可以在下列书刊中看到一步步描绘圆环翻转过程的一系列面面：1950年《科学美国人》一月号阿尔伯特·塔克尔和赫伯特·贝莱的文章《拓扑学》；生命科学文库《数学》一书的第179页。
8
．使人为难的编织问题
M：文迪女士要买一个皮手镯。
M：在卢克的商店里她看到两个手镯，每个都由三条带构成，其中一个已经编好了，另一个还没有编。
文迪：编好的那个手镯要多少钱？
卢克：五美元，太大。但您来晚了，它已经卖出了。
文迪：唷！还有手镯可买吗？
卢克：还有这个。
文迪；可是它还没有编呢？
户克：我很乐意为您把它编好，太太。
M：这看来好象是不可能的，但是卢克仅用30秒钟就把它编好了，并且没有切断一条带。你看，他是这样开始编的。
大 多数学生仅仅把这手镯当成拓扑学的又一奇观，但还不止于此。著名的德国数学家艾米尔·阿尔丁创立了一套有关“编织”的理论，其中用到了群论。在这个群里， “元素”是指“编织式样”，而“运算”是指让一个式样紧随另一式样因而产生一个新式样的过程。而“逆元素”则是指式样的镜象。编织问题为群论和变换理论提 供了一个极好的起点。载于《数学教师》杂志1959年5月号上阿尔丁的文章“编织理论”是一个很好的入门教材。
令人惊异的是，在这个有六处交叉的手镯编织过程中，三条带子的端部始终是连结在一起的。这就意味著，编好的手镯与没编的手镯是拓扑等价的。
如果带子再长一些，我们就可以重复使用这个步骤，只要带子足够长，编成的手镯的交叉数可以是6的任意倍数。如果学生们想用这种方法把硬皮革做成一个实用的手镯或编带，则需把皮革浸在热水里使之变得柔软以后再进行编织。
对多于三条带子组成的手镯也可以用这种方法编织。要想进一步了解这方面的知识请读J.A.H. 谢泼德的文章“对两端分别连在一起的若干条带子进行编织”，载于《皇家学会会报，A》第265卷（19623年），229——244页
对大多数人来说，甚至对大多数在中学学习数学的学生来说，“几何”一词意味着欧几里得平面几何，它是研究平面图形的性质，在这里，我们将按费利克斯·克来因在一百多年前提出更广义的观点来认识几何，这就是研究几何图形在确定的一组变换群下保持不变的那些性质。
另一方面，拓扑学作为几何学的一个分支，它是研究图形在连续变形下不变的种种性质。这里所出现的“悖论”，如编手镯、把圆环的里面翻到外面来、不动点定理，凡此种种都是关于拓扑性质的。虽然现在中学一般不讲授拓扑学，但是拓扑学中的—些概念很容易为年轻人掌握，学生们将会被这些奇景所吸引和激励。
在介绍完这一章内容之后，可对几何学的不同分支做简短介绍，每一分支都是由允许使用何种变换来定义的，这将使学生熟悉克来因的几何学概念，它是现代数学最基本、最具普遍性的概念之一。自然我们要从欧几里得平面几何和立体几何开始介绍，在这里所允许的变换是平移、反射、旋转和相似变换。然后再一步步向前发展，介绍那些越来越特殊的变换，从而逐步定义仿射几何、射影几何、拓扑学以及点集理论。
把一个不对称的图形变成它在镜中的象的反射变换，在这里之所见特别强调，是因为它提供了许多色彩斑烂的悖论，又在较新的几何研究方法中和现代科学中具有很重要的作用。镜面对称在化学中，特别是在有机化学中扮演很重要的角色，因为在有机化学里，几乎所有的碳分子的形状都对称地分为左右两半。此外它在结晶学、生物学和遗传学以及现代物理学中也具有很大的重要性。
在本章中所谈到的某些奇妙现象，虽然初看起来好象只是一种消遣而已，但是我们将会看到，它们中间的每一个都自然地把人们引向诸如群论、逻辑学、序列理论、无穷级数、极限理论等重要的数学领域。学生们可遵循这里所提出的方法以悖论为通途进入这些数学领域。一般来说，中学生们总是特别关心用圆规和直尺作图，以及一步步地证明几何定理，他们忽视了几何与其它数学分支之间的动人的联系，忽视了几何在天文学、物理学以及其它各门科学中的应用。
1．绕着一个姑娘转圈
甲：啊，梅蒂尔！你在树后藏着吗？
M：当这个男孩绕着树转的时候，梅蒂尔也这样做，她绕着树横走，鼻子总是朝着树，所以那男孩始终看不到她。
M：他们这样绕树转一圈后，都回到了原来位置。这时，男孩绕梅蒂尔转了一圈吗？
V1：当然啰！他既然绕着树转了一圈，就必然绕着姑娘也转了一圈。
乙：瞎说！即使那里没有树，他也一直未能看到梅蒂尔的后背。既然是绕着一个物体转一圈怎么能看不到它的所有各面呢？
这个古老的悖论一般是以猎人和松鼠的形式出现。松鼠蹲在树椿上，猎人绕着树椿转的时候，松鼠也一直在转，所以它总是面向猎人。当猎人绕树转一圈后，他也绕松鼠转了一圈吗？
“绕着转了一圈”这意味着什么？如果我们在这方面没有一致看法，则对上面的问题显然是无法回答的。在我们日常说的话中，许多词没有确切的定义。威廉·詹姆斯的经典哲学著作《实用主义》一书中，有一段对“猎人和松鼠”这一问题的有趣探讨，他把这当作纯粹语义上的争论的一个典型。当双方一旦认识到他们所争论的只是如何定义一个词时，困难就很快消除了。如果人们更清楚地认识到术语的精确定义该是多么重要，那么许许多多尖锐的争论问题几乎就都会变得象这个问题那样平凡易解。
2．月亮的不解之谜
M：这个问题就象月亮本身那样令人迷惑不解，月亮总是以同一面朝向地球。当月球绕着地球转一圈以后．它绕各自己的轴旋转了吗？
甲：作为一个天文学家，我的回答是肯定的。如果你站在火星上，你就会看到每当月球绕地球转一圈，它就绕着自己的轴也转一圈。
乙：它怎么旋转了呢，爸爸？如果它旋转了，我们就会看到它不同的各面，可是我们看到的却总是相同的那一面。
M：月球绕轴旋转了吗？那个男孩绕姑娘转圈了吗？这些到底是真正的科学上的争论，或只不过是在词义上的分歧？
与前一个问题一样，这也只是对词义理解的含混造成的。“绕自己的轴旋转”这句话的确切意义是什么？这个问题必须澄清。对地球上的观察者来说，月球没旋转；对处在地球—月球系统外的观察者来说，它旋转了。
一些很有知识的人都曾极认真地研究过这个简单的问题，说起来这是很难使人相信的。奥古斯都·德莫尔干在他所著的《悖论集》一书的第一卷中，对十九世纪出版的探讨这个问题的小册子作了评述，这些小册子那是反对“月球旋转了”这一观点的。一个伦敦的业余天文学家，叫做亨利·皮瑞加尔的人在这场争论中真可谓之孜孜不倦，他的讣告中有这样一段话，“在整个一生中，他在天文学上的主要目标。是使别人相信月球并没有绕轴旋转。皮瑞加尔撰写小册子、构造模型甚至写诗来证明自己的论点，愿以英雄的豪爽来承担一切努力都毫无所得而引起的一个又一个的失望。”
我们现在说与这个月球之谜紧密相关的另一个奇妙的问题。让我们在黑板上面两个大小相等、相互外切的圆盘，一圆盘沿着另一圆盘的边缘无滑动地滚动，滚动中保持边缘密切相切接触，这样绕着不动的圆盘转动一周以后，它本身旋转了几圈？
大多数学生将会回答：一圈。可以让他们用同样大小的两个硬币做试验，过后他们会惊奇地发现，那个滚动的硬币实际上旋转了两圈！
还有别的答案吗？这正像地球—月球那个问题一样，其答案也依赖于观察者的位置。相对于固定的硬币来说，它转了一圈，而相对于从上向下看的你来说，它旋转了两圈。这也曾是个激烈争论的题目。《科学美国人》杂志于一八六七年首次刊登这个问题，于是持有两种尖锐对立观点的读者的信如洪水般地涌来。
读者很快就认识到了硬币问题与月球问题之间的关系。那些坚持认为硬币只旋转一圈的人也同样认为月球根本没有绕轴旋转，一位读者以激烈的口气写道：“如果你抡着一只猫在你头上转圈，那么它的脑袋、眼睛和脊椎骨都在绕着自己的轴旋转吗……？转到第九圈猫就会死去吗？”
来信急剧增多，以致于在一八六八年四月编辑部便宣布他们不再讨论这个问题，而在一种名为“车轮”的新月刊上专门讨论这个“重大的问题”。这个杂志至少出了一期，专门刊载着读者们精心制作的各种装置的示意图，他们把这些寄给编辑部用来证明自己的论点。
3．镜子的魔力
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M：镜子是个更奇妙的东西。现么梯姆斯和丽贝卡正在一个晚会上做客，晚会上每个人都戴个名片。
丽贝卡：多么奇怪的镜子啊，梯姆！你看，它把我的名字弄反了，可是你的名字却一点儿也没变！
M：镜子好象只能使左右颠倒，为什么它不能使上下也颠倒呢？这难道不是很奇怪吗？
M：实际上，只有当一条线垂直于镜面时，镜子才使这条线颠倒过来。正因为这三个小球在一条与镜面成直角的线上，所以它们在镜中象的顺序就倒过来了。
M：如果你站在用镜子做的地板上，你身体的上下轴线垂直于镜面。这时你在镜中的象前面仍是前面，后面仍是后面，但是你却上下颠倒了。
M：如果你侧着身子对镜面站着，你身体的左右轴线垂直于镜面。这时你在镜中的象脑袋还是在上面，前面仍是在前面，但是你却被左右颠倒了。
M：当你面对镜子站着的时候，你在镜中的象的脑袋仍是在上面，你的左面仍是在左面，可是你却被前后颠倒了。你的象中左手的位置和你走到镜面后再转过身来时左手的位置正好相反，因此我们说你被左右颠倒了。
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M：在这幅画面中有两个英语字单词，为什么镜子只把其中的一个词颠倒了？实际上并非如此！另一词DIXIDE也同样被颠倒了，只不过它的对称性使它倒过来以后看起来仍和原来一样。
M：你能猜出当两个镜面垂直放置时会发生什么现象吗？这时镜子里的象将与平常镜中的象不同，它是完全没有被镜面颠倒的象！这位姑娘此时所看到的她自己正和别人所看到的她完全一样！
因为梯姆斯（TIMOTHY）这个名字的每个字母都有个竖直的对称轴，所以它在镜中的象与原来一样，但在丽贝卡（REBECCA）这个名字中只有字母A具有竖直对称轴，结果这个名字在镜中的象只有A没变，其它字母都被颠倒了。
为什么镜子会使左右颠倒，而不能使上下颠倒？这和上面所述及的关于月球和硬币的问题相似，也是词义上的问题，为了作出回答，我们必须在“左”、“右”、“颠倒”这几个词的意义上取得一致意见。为了进一步弄清镜子到底做了些什么，请读马丁·格德纳所著《具有两面性的宇宙》的前三章，本书包括大量有关镜面反射对称以及它在科学和日常生活中的作用的大量材料。
与TIMOTHY中字母不一样的是，DIOXIDE中的每个字母都有一条水平的对称轴，所以如把镜面竖直放置在这个词的上边，它在镜中的象好象没有变。在CARBON中，C、B、O也有水平对称轴，所以它们在镜中的象看起来也与原来一样，但是A、R和N都没有这样的对称轴，所以上边变成下边，下边变成上边。
可以让学生找出一些在镜面成象后看来与原来一样的英语单词，这是一个很好的课堂活动。第一步是查看所有的大写字母，并把那些具有水平对称轴的列出来。它们是B、C、D、E、H、I、K、O、X。用这些字母可组成许多四个字母或多字母的词，如CHOICE、COOKBOOK、ECHO、OBOE、ICEBOX、HIDE、DECIDED、CHOKED等等，一共有数百个这样的词。
当学生把两个小镜面垂直放置并向两镜交角方向看去的时候，他就会看到自己的没有被镜面左右颠倒的象（需要稍为调整两个互相贴近的小镜的位置，使得在两镜中只看到单独一个的象为止）。如果学生眨一下左眼，镜中的象不是象想象的那样眨一下右眼，而是另外一边的眼睛眨一下，原来这时镜中象的面部左右两边已互换了位置，这是因为他的面部两边各被每个镜面反射一次、一共反射两次的缘故。
他看到自己这样的象也许会觉得很陌生，这是因为他在平常镜中所看到的自己的面部总是左右颠倒了的。虽然人的面部有个竖直的对称轴，但左右两边很少是完全一样的。当人们看到自己这个本来面目时，左右两边的微小差别就会使他感到这个象与原来的象有所不同，但是他自己也说不出不同在什么地方。他应该知道，正是这个面部才是他（或她）本人为外部世界所辨认的面部！此外，他本人往通常镜中的象对熟知他的人来说也同样会感到有些奇怪。到底哪个是真正的面部？
要想检查一下学生对这种“双镜”成象原理了解得如何，一个好办法是问一下他们，如果两镜面的邻接线是水平的而不是竖直的时候，他们会看到什么。这时所发生的两次反射将使面部上下颠倒！这个被上下颠倒的象是在普通镜面所看到的象吗？不是，它仍旧是没有被镜面左右倒置的象，如果学生眨一下左眼，那么他这个上下颠倒的象仍旧是眨一下右眼。
这些镜面游戏可作为学习变换几何中的对称和反射的极好的导引。所有上面谈到的“悖论”都可以用初等的变换理论来解释（参看哈罗德·R·雅可比所著教科书《数学——人类的魄力》第五章的第1、2、3课）。
4．小立方块和女士
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M：在这幅画中你数到了多少个小立方块？有六个？……有七个？
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M：这画中画的是个年青姑娘吗？……或许你看到一个老太太？
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M：你在这幅画中者到了什么？……一个小立方块放在—个房间的一角？……一个小立方块贴附在一个大块的外面？……或许是一个大立方块在一角上有个立方形的洞？
这一段所列举的画面所造成的眼睛的错觉，都是对看到的同样东西做不同解释的实例。在第一例中，人们会把这一张平面团看作是一组小立方体的透视图，但是这个透视图可用两种不同方法来看，且每种解释方法都是同样有道理，这样，观察者的意念就在这两者之间来回转变。
第二幅画也是这么回事。你在面中不是看到一位年青姑娘，就是看到一位老太太，不可能哪个也没看到。观察者的意念在这两者间来回跳动。
第三幅画有三种解释方法。对大多数人来说最困难的一种是看出一个大立方块上有个立方形洞，因为这是较少见的，但是我们如果不住地盯着看，尽力地把画中的小立方体看成是个洞而不看成一个实体，最终将会领悟这种解释。学习用三种可能的方法来看这个图与解释几何图形的能力有很密切的关系。这种能力十分重要。众所周知，在几何中看图看得不正确是产生误解的一个重要原因。
5．兰迪先生的奇异地毯
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M：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长宽都是13分米的地毯，他想把它改成8分米宽21分米长的地毯。
M：兰迪先生拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔。
兰迪：奥马尔，我的朋友！我想让你把这块地毯裁成四块，再把它们缝在一起成为一块8分米×21分米的地毯。
奥马尔：很遗憾，兰迪先生。您是个伟大的魔术家，可是您的算术竟这样差！13乘13是169，8乘21是168。这怎么能办得到呢？
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兰迪：我亲爱的奥马尔！伟大的兰迪是从来不会错的。劳您的驾把这块地毯裁成这样的四块。
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M：奥马尔象他所说的那样做了。过后兰迪先生把这四块重新摆一下，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8分米×21分米的地毯。
奥马尔：这怎么可能呢？地毯面积由169分米2缩小到168分米2！那一平方分米哪里去了？
M：几个月之后，兰迪先生又拿来一块长宽都是12分米的地毯。
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兰迪：奥马尔，老伙计！我的电热器翻倒了，结果把这块美丽的地毯烧坏了。把它剪裁一番再缝上，很容易就可去掉这个窟窿。
M：奥马尔表示怀疑，但他还是按兰迪所教的方法做了。
把裁好的几块缝在一起之后，它仍然是长宽各12分米但那个窟窿却消失了！
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奥马尔：兰迪先生，请讲一讲，你是怎么做的？补上这个窟窿的那一平方分米是从哪里来的？
这个古老的故事是这样的令人惊奇和难以解释，值得我们化费一些时间动手按照所说的方法做一做。我们在作图纸上画一个正方形．把它剪成四块，重新安排一下，拼成一个长方形。除非这个图做得很大并且作图和剪裁都搞得十准确，人们是不会发现拼接成的长方形在主对角线附近发生了微小的重叠。正是沿对角线的这点不完美的叠合导致丢失了一个单位的面积。如果学生们不相信这一点的话就让他们计算一下长方形对角线的斜率以及拼接前各片相应边的斜率，再把它们加以比较就会清楚了。
如果先画出上边所说的这个长方形，按图示把它剪成四块，再拼成正方形，这时这个正方形又会怎样呢？这是在课堂上学生们可能希望探讨的问题。
上文涉及到四个长度：5，8，13，和21，我们会认出这是一个著名的数列中的四项。可以让学生找出这个数列各项的构成规律。显然，这就是有名的菲波拿齐数列，它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。
学生们可使用这个数列的其它相邻四项来试验上述过程，无论选取哪四项，他们都会发现所作出的正方形和长方形的面积是不会相等的，但有时长方形比正方形小一个单位面积，有时长方形此正方形大一个单位面积。我们应该进一步确定，什么时候在拼接成的长方形中失去一个单位面积，也就是说在长方形的对角线附近有个呈菱形形状的重叠，什么时候长方形又会多得一个单位的面积，也就是说在拼接成的长方形对角线上出现一个菱形的空隙。
对这个菲波拿齐数列多做几次上述的试验，有人就会凭直观得出菲波拿齐数列的一个重要性质：这个数列任一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减l。用公式表示，则为：
tn^2=(tn-1*tn+1)±1
左边tn^2是正方形的面积，右边(tn-1*tn+1)±1是长方形的面积。当n从小到大依次取正整数时，上式中的正负号交替出现。如果一数在该数列中的位置数，即它的项数是奇数（如上面数列中的2，5，13等），则这个数的平方较前后相邻两偶数项之积多1；反之，偶数项的平方较前后相邻两奇数项之积少1。知道了这一事实，我们就可以预见由正方形剪接而成的长方形是多得了一个单位面积还是丢失了一个单位面积。
上面的这个菲波拿齐数列以1，1两数开始，广义的菲波拿齐数列可以从任意两数开始。用另外的一些菲波拿齐数列做上述试验，学生仍将会发现一些新东西。比如说，用数列2，4，6，10，16，……做试验，就会多得或丢失四个单位面积，数列3，1，7，11，18，……的“得”或“失”是五个单位面积。
设a，b，c是一个广义菲波拿齐数列相邻的三项，以x表“得”或“失”的数字，则下面两式成立：a+b=c, b^2=a*c±x^2
我们可以用任何一个设想的得失数来代式中的x，用任何一个数来代式小的正方形边长b，然后解上面的联立方程就会求得a和c的值，当然这样求得的值不一定是有理数。
学生们一定会喜欢这样一个十分有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？
为了回答这个问题，令第二个方程中x等于零，解这个方程组，用a表示b，则得到唯一的正解是: b=(1+根号5)a/2
上式中的(1+根号5)/2恰是著名的黄金分割比，通常用Ф来表示。它是一个无理数，等于1.618033……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的菲波拿齐数列是
1，Ф，Ф+1，2Ф+1，3Ф+2，……
这对学生来说是做根式演算的一个很好的练习。
只有用上面这个数列相邻两项表示的长度来分割正方形才会得到本段所述的几何悖论的另外一种形式：长方形和正方形的面积相等。如要更多地了解黄金分割比率以及它与上述正方形—长方形几何悖论之间的关系，请参看《科学美国人》杂志数学之谜和数学游戏第二集一书中关于黄金分割比率的那一章。
两个全等正方形怎么会有不同的面积呢？在兰迪的第二个地毯悖论中，所丢失的面积是一个实实在在的窟窿。与前一问题不一样的是，这里的两个图形在各自的那条斜线上都是完美地接合在一起，并无重叠和空隙。学生们能够找出那个不见了的单位正方形到哪里去了吗？
为了帮助学生们找到答案，可建议他们做两个全等的、上面没有孔洞的正方形，做得越大越好。把其中的一个按图中的式样精确地剪成所需要的五块，把它们重新安排一下拼成那个带孔的图形，最后把它放到未经剪切的正方形上边。待两者的上边和两侧边都重合后，他们就会发现那个带孔的图形不是真正的正方形。它实际上是个长方形，比正方形高1/12分米，于是它的底部就多出一个12分米×1/12分米的窄带，其面积恰好与地毯上的孔洞面积一样。
这样解释了那个正方形的一个单位是如何消失的，然后学生们就可以再设法找出正方形高度增加的道理。其秘密在于：在没有孔洞的那个正方形的分割图形中，直角三角形斜边上那个顶点并不是整数网格点[*]。学生们发现了这点之后，他们就可以自己设计出许多各种各样的正方形，使得在拼成长方形后，“多得”或“失去”的多于一个单位的面积。
上述这一奇妙的事实以“卡瑞正方形”的名字为大家所熟知，这是因为它的发明者是一个名叫保罗·卡瑞的业余魔术师。这种悖论还具有好几种其他表现方式，三角形也是其中之一。学生们要想探讨卡瑞正方形或卡瑞三角形，则需阅读马丁·戈德纳所著《数学，魔术和奇迹》一书的第八章和《科学美国人》杂志中的《数学新分支》一书的第十一章。
这个点到该正方形底线的距离并不等于9分米。在这个没孔洞的正方形图形上进行计算，使用相似三角形原理可算得这个距离是，而在拼成的有孔洞的图形中，这条线的长度却被视为9分米！——博主注
6
．失踪的舞蹈家
M：一年之后，兰迪先生又回来了，带来一块东方的挂毯。
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兰迪：奥马尔，这挂毯仅有七个跳舞的姑娘，我希望有八个，请作把它裁成这样的三块。
M：奥马尔裁过以后，兰迪先生把上面的两块互换一下位置。奥马尔数一下姑娘的个数：
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奥马尔：一、二、三、四、五、六、七——八个！仁慈的阿拉啊，这第八个姑娘是从哪里来的呢？
M：信不信由你，兰迪先生的这一做法与那些行为不端的计算机程序设计师试图从大银行里偷钱所用的方法有些共同之处。
兰迪：伙计，我难道不是个天才吗？我一个月就能白得500美元，何况做起来易如弹指！我只是告诉计算机在计算利息时，把每个户头美分以下的零数全都舍去而不是实行四舍五入！
兰迪：这样，每个户头每月大约损失半美分，这么点儿钱谁也不会理会。但银行里有十万个户头，所以他们每月总共损失500美元。计算机每月都将这笔钱存入我的秘密户头上，而银行的账目依然总是平衡的！
M：兰迪先生所做的这几件奇事都是靠从许多地方各拿取一丁点儿来凑成一个可观的数量。第一块地毯在对角线附近有一小片人们觉察不到的重叠部分；第二块地毯去掉烧坏的窟窿后比原来略微短了一点儿；而这八个舞女也都比原来小了一点儿。
上 述这些颇劳神思的关于图形方面的悖论常常被用作广告的帮衬。十九世纪八十年代美国著名的谜题发明家山姆·劳埃德按这个悖论做成一个环形画面，画面上有个中 国武士，当圆盘转动时，就看不见这个武士了。自那以后，就刊印这种游戏的许许多多的其它形式，有些是环形画面，有些却是平面形画面。
解释这种奇妙现象的最好方法是用直尺在卡片上按下图方式画出十条线：
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沿图中虚线把卡片剪开，然后把下半部向左下方滑动：
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再数一下卡片中的线，只有九条！如果要问原来的十条线中哪一条消失了则是无意义的。实际上在上述过程中，十条线一共被分成十八份，经重新安排后，组成了九条线。显然，这九条线中的每一条都比原来的线长出了1/9。当把下半部分移回到原位置后，第十条线又出现了，此时所得到的每一条线都较原来短了l/10。
对于有舞蹈家的画面，其道理也完全一样。当画面上出现八个姑娘时，每一个要都比出现七个时要短1/8，当我们再变回去时，不可能找出是哪个姑娘消失了，因为这七个姑娘是由完全不同的姑娘所组成的，而且每个又比先前长1/7。 读者要想读到对此更详尽的叙述或其它与之有关的东西，请参阅《数学，魔术和奇迹》一书的第七章。有一种古老的伪造方法正是以这种原理为基础的。按照上面分 线段的方法可见把九张钞票分成十八份，经重新安排后就做出了十张钞栗。但这样伪造的钞票很容易被侦破，这是因为票面表示币值的两个数字已不相匹配。在美国 的所有钞票上，这两个数字都是位于相对的两端，但其中一个高些，另一个低些。这正是为了挫败这种伪造企图。1968年，伦敦一个男子由于对5英镑面值的钞票使用这种方法进行伪造，结果被判处了八年徒刑。
上 面所叙述的那个欺骗银行的故事是在七十年代初期发生在美国的一桩诈骗案为背景的。这个银行的计算机程序设计师把所有的支付利息数额中美分以下的零头一律舍 去，而不是实行四舍五入。先把多余的钱贮存在计算机的记忆装置里，稍后就把款项存入最后一个户头——这正是程序设计师本人的户头。
7
．可内外翻剥的奇妙轮胎
M：拓扑学被称做橡皮几何，因为它是研究图形被拉伸和扭曲后不变的性质。
M：有一种形如轮胎的迷人的曲面圆环。设想一个用薄橡皮做的轮胎，它上面有一个大孔，你认为能从这个孔把它的里面翻到外面来吗？这的确是可以做到的，但是很困难。
M：在把圆环翻转之前，设想我们按左边画面的办法把一个小橡皮圈粘在它的内表面，又把一大橡皮圈粘在它的外表面。这两个橡皮圈显然没套在一起。
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M：这就是圆环被翻转后的样子。这时这两个弹性圈已套在一起了！但是不经过剪开和粘上的过程就把两个圈套在一起是不可能的，所以一定是哪里出了错。但是错在哪里呢？
我 们确实可以通过圆环上的一个孔把它的里面翻到外面来，但这并没有使那两个橡皮圈套在一起，其理由是圆环翻过来以后，两个橡皮圈都已改变了位置，小圈被拉伸 成大圈，而大围被压缩成小圈，所以它们还是像从前那样没有互相套着。产生这种错误结论的关键在于画家特意把圆环翻转后的样子画成我们可能想象的那样，而没 有按实际的情况画出。
用 橡皮做的圆环模型，例如一个车轮的内胎，是很难通过它上面的一个扎把它翻过来的，因为在这过程中橡皮必须经过大幅度的拉伸。如果使用一个布制模型就很容易 做到这一点。把一方块布对叠起来然后把两个相对的边缝在一起，这就成了一个烟筒。在另一个方向上再把这个筒对叠起来，把筒相对的两头沿着它们的边缘缝起 来，就做成一个圆环模型了。如果把它摊平，则呈方形。为翻转方便起见，所开的“孔”是位于外层布上沿水平方向剪开的一个长口。
通过这个开口很容易把这布制圆环翻过来。翻过来以后，它和以前具有同样的形状，但这时那个长口已成为竖直的了，布面的纹理也都转动了90°。 换句话说，原来在某个方向上环绕圆环的一条线，现在已在另一个方向上环绕圆环。为了更清楚地看出纹理的旋转如何导致两个弹性圈位置的互换，你可以把沿着某 个方向环绕圆环的圈用墨水涂上一种颜色，而另一方向上的第二个圈涂上另一种颜色。把圆环翻过来以后，你就会看到两个圆圈互换了位置。
要想象出在翻转过程中间环变形的具体过程是不容易的。我们可以在下列书刊中看到一步步描绘圆环翻转过程的一系列面面：1950年《科学美国人》一月号阿尔伯特·塔克尔和赫伯特·贝莱的文章《拓扑学》；生命科学文库《数学》一书的第179页。
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．使人为难的编织问题
M：文迪女士要买一个皮手镯。
M：在卢克的商店里她看到两个手镯，每个都由三条带构成，其中一个已经编好了，另一个还没有编。
文迪：编好的那个手镯要多少钱？
卢克：五美元，太大。但您来晚了，它已经卖出了。
文迪：唷！还有手镯可买吗？
卢克：还有这个。
文迪；可是它还没有编呢？
户克：我很乐意为您把它编好，太太。
M：这看来好象是不可能的，但是卢克仅用30秒钟就把它编好了，并且没有切断一条带。你看，他是这样开始编的。
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大 多数学生仅仅把这手镯当成拓扑学的又一奇观，但还不止于此。著名的德国数学家艾米尔·阿尔丁创立了一套有关“编织”的理论，其中用到了群论。在这个群里， “元素”是指“编织式样”，而“运算”是指让一个式样紧随另一式样因而产生一个新式样的过程。而“逆元素”则是指式样的镜象。编织问题为群论和变换理论提 供了一个极好的起点。载于《数学教师》杂志1959年5月号上阿尔丁的文章“编织理论”是一个很好的入门教材。
令人惊异的是，在这个有六处交叉的手镯编织过程中，三条带子的端部始终是连结在一起的。这就意味著，编好的手镯与没编的手镯是拓扑等价的。
如果带子再长一些，我们就可以重复使用这个步骤，只要带子足够长，编成的手镯的交叉数可以是6的任意倍数。如果学生们想用这种方法把硬皮革做成一个实用的手镯或编带，则需把皮革浸在热水里使之变得柔软以后再进行编织。
对多于三条带子组成的手镯也可以用这种方法编织。要想进一步了解这方面的知识请读J.A.H. 谢泼德的文章“对两端分别连在一起的若干条带子进行编织”，载于《皇家学会会报，A》第265卷（19623年），229——244页
