一道初中几何题
一组对角相等且这组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
某同学采用如下反证法，被教研组的老教师判为错误，仅有一年轻的新教师认为这个解法正确，她和其他老教师产生分歧并争吵，没能被说服，苦思一个下午也未发现这个证明有破绽。以上是我在地铁2号线上旁听到的。
那么，应该如何评判呢？
证明：设四边形ABCD中，相等的这组对角的顶点为A、C，对角线交于O。
假设四边形ABCD不是平行四边形，即AO不等于OC。
在直线AC上移动点A至A'，使A'O=OC。此时A'BCD对角线互相平分，为平行四边形，但其对角A'和C却不相等，矛盾。故假设不成立，四边形ABCD是平行四边形。
（感谢Elliot帮助还原证明过程）
附一个普通证明，要用到不平凡的正弦定理：
如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AC、BD交于M，且BM＝DM
作△ABD和△BCD的外接圆⊙O1和⊙O2，设半径分别为R1和R2
根据正弦定理知，BD/sin∠BAD＝2R1，BD/sin∠BCD＝2R2
所以R1＝R2
所以⊙O1和⊙O2是等圆
所以由⊙O1和⊙O2组成的图形是中心对称图形
所以M是这个的图形的对称中心
所以AM＝CM
所以四边形ABCD是平行四边形
某同学采用如下反证法，被教研组的老教师判为错误，仅有一年轻的新教师认为这个解法正确，她和其他老教师产生分歧并争吵，没能被说服，苦思一个下午也未发现这个证明有破绽。以上是我在地铁2号线上旁听到的。
那么，应该如何评判呢？
证明：设四边形ABCD中，相等的这组对角的顶点为A、C，对角线交于O。
假设四边形ABCD不是平行四边形，即AO不等于OC。
在直线AC上移动点A至A'，使A'O=OC。此时A'BCD对角线互相平分，为平行四边形，但其对角A'和C却不相等，矛盾。故假设不成立，四边形ABCD是平行四边形。
（感谢Elliot帮助还原证明过程）
附一个普通证明，要用到不平凡的正弦定理：
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如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AC、BD交于M，且BM＝DM
作△ABD和△BCD的外接圆⊙O1和⊙O2，设半径分别为R1和R2
根据正弦定理知，BD/sin∠BAD＝2R1，BD/sin∠BCD＝2R2
所以R1＝R2
所以⊙O1和⊙O2是等圆
所以由⊙O1和⊙O2组成的图形是中心对称图形
所以M是这个的图形的对称中心
所以AM＝CM
所以四边形ABCD是平行四边形
