人物 | 数学大师阿蒂亚为我们留下了什么？
阿蒂亚1929年4月22日生于英国伦敦。
阿蒂亚天赋极高且勤奋好学，他父母说他生来就是块搞数学的料。由于父亲在苏丹工作，阿蒂亚的中小学课程主要是在埃及上的。第二次世界大战后，他回到英国继续读中学，然后又服了两年兵役，1948年夏考入剑桥大学三一学院数学系，1952年大学毕业获学士学位，后又继续深造，于1955年获得博士学位并留校任教。1955-1956年，他去美国普林斯顿高等研究院工作了一年多，这里是爱因斯坦（ A . Einstein )、外尔（ H . Weyl )、冯·诺毎曼（ J . von Neumann ）工作过的地方，是世界数学的中心。他在这里一下子看到了数学的前沿，并结识了数学世界的未来之星塞尔、辛格、希策布鲁赫( F . Hirzebruch )、博特等人，其中有些人后来成为他学术上的亲密合作者。1958-1961年，阿蒂亚任剑桥大学讲师，1961年到牛津大学任高级讲师，1963-1969年任萨维里几何学讲座教授，这是一个显赫的职位，英国大数学家哈代（ H . Hardy ）就曾任这个职位。1969-1972年，阿蒂亚任美国普林斯顿高等研究院数学教授，1973年回英国任牛津大学数学教授。他先后当选英国皇家学会会员和法国、瑞典、美国等国科学院的外籍院士。
阿蒂亚的博士导师是著名数学家霍奇（ W . Hodge )。霍奇的研究兴趣和特点在于探索数学上不同分支间的关系。1952年，霍奇出版了一本被誉为“20世纪科学史上重要里程碑之一”的专著《调和积分论》，就是综合代数学、拓扑学和分析学于一体写成的。阿蒂亚的学位论文中关于“层”论的重要工作，也是在继承导师学术思想的基础上独立做出的。可以说，是导师的影响加阿蒂亚的天赋，才使得阿蒂亚形成了“把数学看成一个整体，认为“数学是整个科学文化一部分”的观念，并一生致力于数学所有领域间柑互作用及联系的研究。据阿蒂亚说，他投身这一研究方向也受到他所宗的著名数学家外尔的影响。
阿蒂亚的研究领域涉及代数几何、拓扑学、代数学、分析及数学物理 （点击前方蓝字跳转对应书单），因此被誉为是沟通数学各领域的能手。他思如泉涌，有哲人的宏论，发表了许多有影响的论文，1985年牛津大学出版社出版了他的五大卷全集。
但这些还未能反映出他工作的全貌，由于他不知疲倦的研究，每年都有新的论文发表。由于本书篇幅所限，这里只简介他的三大成就。
一、阿蒂亚-辛格指标定理
阿蒂亚-辛格指标定理：“设 P ( f )=0是一个微分方程组，则 P 的解析指标等于 P 的拓扑指标。”
“数学的现代应用常常开始于现实世界某个部分的‘数学模型’，而很多数学模型都是通过一个‘微分方程组’来描述的。为运用这个模型，人们就要寻求这个微分方程的解。然而这些解通常很难找到。阿蒂亚和辛格的全新见解是问‘存在多少个解？’，则会变得容易许多。这里的要点在于，我们并不必要通过找到所有的解才能得知到底存在有多少个解。正相反，事实上知道了解的个数将会使得寻找这些解变得容易。阿蒂亚-辛格指标定理给出了这个问题的一个好的解答，它的解答是通过相应模型所在区域的‘形状’来表述的。”
“关于函数、求导数、积分的研究称为数学分析。而关于模型发生区域形状的信息的研究称为拓扑学。上面指标定理中的‘解析指标’和‘拓扑指标’的名词就是分别产生于这些数学分支的称谓。”
1960年，著名数学家盖尔范德（I. M . Gelfand）猜测解析指标应该有一个纯拓扑的描述，但他自己未能给出这一描述。阿蒂亚和辛格合作运用拓扑K理论，发现和证明了这种描述的正确形式，即上述的阿蒂亚-辛格指标定理。这个定理于1963年宣布，于1968年正式发表，是一个纯数学的结果。它告诉我们分析中一个基本问题，即一个微分方程组有多少个解，在拓扑学中有一个具体的答案。这个卓见不但提供了一个判断该微分方程组的解存在与否的捷径，更重要的是它贯通了拓扑学、几何学、分析学之间的联系。这个定理统一了如代数几何中的黎曼-罗赫公式和拓扑学中的希策布鲁赫的符号差定理及微分几何中的高斯-博内-陈省身定理。阿蒂亚-辛格指标定理发现以来的40年中，有了无数的应用。起先是在数学中，改变了数学的风景。而后，从20世纪70年代后期开始，应用到理论物理中，例如：规范场理论、瞬子、单极子、弦理论、反常子理论等等，从而使这个定理在数学与理论物理之间架起了一座桥梁。
关于这个定理，阿蒂亚在2005年荣获阿贝尔奖时，曾对采访者说“我更喜欢称它为一个理论，而不是一个定理。实际上，我们已经为它工作了25年，而且如果我要包括所有相关的课题，我可能把我生命中的30年用到这个领域上，因此，它是我曾做过的最好的东西是相当显然的。”
二、拓扑 K 理论
最能体现阿蒂亚研究风格和特点的重要成果，是他和希策布鲁赫合作推广 K 理论而创立的“拓扑 K 理论”。在上述关于阿蒂亚-辛格指标定理中，我们谈到了阿蒂亚和辛格运用拓扑 K 理论发表并证明了该定理，那么什么是拓扑 K 理论？所谓拓扑 K 理论，简单说就是一种广义上同调论，因而可以看作以多面体的棱、面、顶点为背景的代数拓扑中，建立在诸如单形、复形、链群、边缘群等系列概念上的所谓“同调论”的“关系”。比如，设 K 是多面体上一个复形，C q(K , G）为K 的以 G为值群的q维上链群，Z q( K , G ）为C q(K , G ）中 q 维上闭链（子）群，B q ( K , G ）为C q( K , G ），则商群
即为 K 的 q 维上同调群。Z q( K , G ）关于模B q ( K , G ）的等价类叫做上同调类。如果两个上闭链群属于同一上同调类，则称它们是相互上同调的。那么，研究上同调关系及其规律的理论便叫做上同调论。
1956年，格罗滕迪克首先把上同调论推广到代数几何学中向量丛的寺价类“ K 函子”的研究上，从而开始了 K 理论研究。然后便是阿蒂亚与布束布鲁赫于1959年将 K 函子推广到拓扑空间而形成的“拓扑 K 理论”。如果将 K 函子推广到建立在环或范畴上、取值于阿贝尔群的系列函子研究中，即形成“代数 K 理论”。K 理论的用途很广，比如1962年亚当斯用 K 理论回答了诸如“ M 维球面上有多个线性独立向量场”的深刻问题，阿蒂亚也曾用 K 理论来研究流形的“浸入理论”等。
拓扑 K 理论是拓扑学中的有力工具，例如，借助它可以解决百年未解决的球面上向量场的问题。
三、规范场理论及数学物理
20世纪70年代后，阿蒂亚的兴趣转向物理学的规范场论，着力研究瞬子和磁单极子的数学性质，并在这个领域作出了杰出贡献。这个领域近20多年来一直是热门，而且对微分拓扑学与几何学产生了重大影响。例如，阿蒂亚的学生、英国数学家唐纳森获1986年度菲尔兹奖就与阿蒂亚的这项成果有关。另外，规范场理论引发出了三维流形许多不变量。
阿蒂亚十分重视应用数学研究，尤其是数学在物理学中的应用。他坚信“在某种意义上，是物理学为数学提供了最为深刻的应用，物理学中产生的数学问题的解答方法，过去一直是数学活力的来源，现在仍然如此”。他主张“应该有更多的数学家参与进来，并且设法学一些物理学，他们应该把新的数学方法引人物理学中去”。阿蒂亚把物理学中的“瞬子”问题与代数几何挂上钩，所得到的关于规范场理论的重要工作，就充分体现了他的这一思想。因此，阿蒂亚被誉为数学和物理界的“媒人”。同时他也十分重视计算机科学的发展给人类社会、人类智慧、教育学、经济学乃至数学带来的影响与挑战。
20世纪70年代以来，阿蒂亚利用他的影响越来越多地关注数学的应用、教育和社会传播等工作。显然这也与他致力于数学的整体性、统一性，致力于数学与其他学科间内在联系的研究等一贯主张分不开。
阿蒂亚对数学发表过不少精辟见解。他说：“数学更像是个发育中的机体，它同过去以及其他学科的联系是历史悠久的。”他指出：“我相当随意地把18世纪和19世纪放在一起，把它们当作我们称为古典数学的时代，这个时代是与欧拉和高斯这样的人联系在一起的，所有伟大的古典数学结果也都是在这个时代发现和发展的……20世纪大致可以一分为二地分成两部分。我认为，20世纪前半叶是被我称为‘专门化的时代’，这是一个希尔伯特（David Hilbert )的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终……布尔巴基（Nicolas Bourbaki）的名字是与这种趋势联系在一起的。在这种趋势下，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系统或者其他系统能获得什么。20世纪后半叶更多地被我称为‘统一的时代’，在这个时代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另一个领域，并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性。”他还指出：“数学最使我着迷之处是不同的分支之间有着许许多多的相互影响，有着预想不到的联系和惊人的奇迹。” “数学的统一性与简单性都是极为重要的。因为数学的目的就是用简单而基本的词汇去尽可能多地解释世界………如果我们积累的经验要一代一代传下去的话，我们就必须不断地努力把它们加以简化和统一。”他“把数学看成一个整体”。他说：“我很反对那种认为数学是一些孤立学科的并集的观点，以及你可以写下公理1,2,3等等，一个人闭门造车就可以发明一门新数学分支的观点。”关于什么是核心数学，阿蒂亚认为：“在某种意义上，数学的核心一直没有变，它是研究现实物质世界中产生的问题，以及与数、基本的计算及解方程有关的由数学本身产生的问题。这一直是数学的主体，任何能推动这些问题的发展都是数学的重要部分。”
关于大学教育，阿蒂亚曾说过：“大学（教师）必须保持两种活动的平衡，他们应该知道学生学些什么是有用的，要记住学生将来做什么。到数学学习中的记忆时，他认为，“在数学里，你几乎不需要记忆，你不必记忆事实，你所需要做的只是去理解整个东西是如何装配起来的。换句话说，他强调数学不是靠记忆而是靠理解。关干理解，阿蒂亚还有更多的论述。他管说过：“如果我对某个科目有兴趣，我就设法理解它，我只是不断地想着它，并试着一点点地往深挖。” “我对于证明的重要性并不大注意，我认为更重要的是理解。证明的重要性在于它是对于你的理解的一个检验。”因此他认为，“当你传授数学时，你应该设法传授理解……但是，传授理解是不容易的……”当然，从根本上说要想做到理解确实很不容易，不过这不能作为我们放松理解的托词。阿蒂亚甚至说，“即使所有工作都可以靠按按钮来完成，我们也必须教会儿童应该按哪个按钮……这意味着，必须更多地强调对所涉及过程的理解，而较少强调具体常规的计算。”这正应了阿蒂亚的一句格言：“没有金钱还无碍大局，缺乏头脑就万事皆空。”关于创新，阿蒂亚说道：“人们从不怀疑，创新在数学进步中是不可或缺的，它在各种判断准则中往往处于前列……”
阿蒂亚善于与他人合作。辛格、希策布鲁赫、塞尔、博特等人都与他合作较多或合作取得过重大成果。阿蒂亚常常通过自己的思索、好奇、兴趣以及相互交谈、学习、讨论等方式去发现新东西，一经发现就穷追不舍。同时，他也喜欢把一个领域发现的问题与过去曾经考虑过的其他问题放在一起来讨论。他曾说过：“我发现与别人交流思想是非常激励人的……我与别人交谈，把各种思想搅拌在一起：新的东西一出现，就紧追不舍。”
阿蒂亚曾诚挚地对著名华裔数学家、菲尔兹奖得主丘成桐教授说：“中国既望跻身经济大国之列，就必须雄心万丈，志不在小。日本维新之初，一意仿效西洋，但旋即改变方向，致力发展基础研究。美国虽是当今经济最强体，但它依然大力注资于科研，我想中国要与日本、美国分庭抗礼，就必须在各方面与它们并驾齐驱。”
他曾应邀到我国进行过多次访问，其中在2009年10月应陈省身教授的邀请参加了在南开大学举办的“纪念周伟良、陈国才学术会议”，并在会上作了题为“二十世纪的数学”的报告，他高屋建瓴地概述20世纪这100年数学发展的情况，受到热烈欢迎和好评。2017年4月1日，由上海数学会、上海数学中心、复旦大学高等学术研究院和复旦大学数学科学学院联合举办的“数学大师公众报告会”上，他应邀作了一个题目为“ The odd Number 2( and its sister 3)”的报告，受到热烈欢迎。
阿蒂亚除了荣获阿贝尔奖之外，还于1961年获得伦敦数学会的贝里克奖，1966年获得国际数学联盟的菲尔兹奖，1968年获得伦敦皇家学会的皇家奖章，1980年获得伦敦数学会的德摩根奖章，1988年获得伦敦皇家学会的科普利奖章。
1983年，阿蒂亚被授予爵位。1990年，他被选为剑桥大学三一学院院长兼牛顿研究所所长，这是继牛顿之后首次由一位数学家出任三一学院院长职务。1992年，他荣获功绩勋章。1990-1995年，他任英国皇家学会会长，这也是牛顿曾担任过的职务。1995-2005年，他任莱斯特大学校长。2005-2008年，他任爱丁堡皇家学会主席。
阿蒂亚的业余爱好是在山坡上散步和植树。
阿蒂亚于2019年1月11日在英国牛津逝世，终年89岁。在他逝世前的2018年8月他还前往巴西里约热内卢去参加国际数家大会，并不顾腿病拄着双拐去参加大会的有关活动，为数学的发展与应用助威。不少年轻数学家见到他，都邀请他与他们合影，每次他都非常高兴答应，因为他深知数学要继续向前发展必须寄希望于年轻人。他逝世前还致力于证明黎曼猜想，并于2018年9月4日在海德堡获奖者论坛上发表了“证明黎曼猜想”的演讲。当天在论坛上一位提问者问他：“黎曼猜想真的被您证明了吗？”他诚挚回答：“这个证明是漫长道路的第一步，我可以退休了，这是你们的世界了。”
阿蒂亚虽然已经逝世，但他的光辉业绩将彪炳于史册，他的多彩人生和治学精神将永留人间。
（本文摘自《当代数学大师：阿贝尔奖得主及其生平与贡献》，李心灿、陆柱家编，上海科技教育出版社2020年10月出版）