结构设计 6,0 拱bogen
结构设计 bogen
绳子这种结构构件，其收到外力作用通过内部的拉力沿着绳子的方向承载。正如在2.9盒2.10章节中提到的吊灯和立灯的例子，几何形状和荷载的反转也导致了其内部从拉力到压力的转化。接下来这种对偶性dualtät 的基本原则会更详细的讨论，并且在结构中使用。
6.1duale tragwerk 双重结构
在第3章中查看绳索时，已经指出，给定的载荷可以通过无限的绳索几何形状来适应。不同绳子支座的位置影响会在合力作用下点P的位置。由于力图中的几何三角形和位置图中合力位置有着密切的联系，位于支座力A和B之间合力R的角度aerfa和贝塔符合支座力作用线和合力作用线的角度。
将点p平行于支座连线向荷载方向移动，在力图和位置图中阿尔法和贝塔的角度变小。因为支座力A和B的作用线必须穿过支座，点p的移动导致了力作用线围绕着固定支座的旋转，图6.1b。在力图中点p与荷载合力的距离越小，则在位置图中绳子约纤细schlankheit。当点p位于合力R的作用线上的临界状态时绳子的schlankheit为零且平行于支座力的的反方向。
当点p越过合力作用线继续移动时，支座反力的作用线将相交于支座上方，并产生一个由于绳子刚度不足而无法形成的形状。这个虚拟的绳子形状被称之为拱bogen。拱可以理解为倒转的invertiert的绳索。通过镜像支座力作用线相交点P以及合力R，从而形成一个拱的位置图，dual Seil 对偶绳子。通过翻转每一个绳子都会定义出一个拱。
这种对偶性可以通过简单的方法，将已知绳子的相互关系移用到拱上。正如图6.16展示要注意的是，在拱中由合力作用产生的结构内力不再是拉力而是压力。
6.2拱与绳索结构的对比gegenuberstellung
拱最简单的形式如图6.2所展示的，科隆一座桥的索塔收到一个巨大的竖直向下的力，这个力是倾斜缆绳的合力。图6.13是一个通过一个子系统将内力展示出来，与图6.3b中对偶的绳索结构相对比。
绳索结构和拱的对偶性与收到的荷载形式无关，在均匀荷载下，拱的形式也是抛物线。当拱相反的也受到自身重力的作用，其形式也是悬链线。当不是最小高垮比时其抛物线和悬链线的样子大致相同。（绳子和拱最大的区别是在于刚度，分子间作用力足够强大到拉住物体，但是节点形变转化以及稳定都需要不同的材料和方式）
拱的横截面积根据其受力情况而定。因为在支座处其横截面积更大，所以约靠近支座的自重越大。理想的拱的形状在支座的区域的弯曲相比于抛物线和悬链线更大，形状更加的陡。图6.5展示的由eero saarinen设计的拱门，其跨度和高度192m，其变化的横截面积随着在支座附近增加的自重，且由此改变的拱的形状十分明显。再结下章节会讲到，这种结构不仅是其内力分布的结构同时也提供一种抵抗水平风荷载的方法。
6.3历史上的应用
大约17世纪许多建筑师发现了得到符合力学条件最优解的拱的形状的方法。这种方法来自经验empirisch，合力通过模型Modelle来得出，其中实验起到重要的作用。由于对于绳索结构的研究，是的问题可以正确的表达。当时所以问题研究的都是最好的数学家，比如莱布尼兹等。
第一个实际的使用追溯到zuruckgehen auf数学家和工程师Poleni。他被授权验证圣彼得大教堂穹顶的稳定mit stabilitat beauftragen和探查穹出现的裂缝的原因。对此Poleni研究链构成穹顶的肋梁。他使用一个挂满球体的绳子组成的模型。每个球体的重量与相对应的拱的段落相匹配，图6.7是原始的绳索的构造。
Poleni用特别的方式达到，穹顶的受力结构通过正确的理论得到，并且裂缝的出现是由于理想推理的作用线和穹顶轴线的偏移导致。他的维修建议Instandsetzungsvorschlag，在穹顶的下部设置一圈铁拉环，这由Poleni对于拱受力情况优秀的ausragend理解而产生的。从运动学kinematisch的角度看，这种方法组织了穹顶底部向外的形变。从静力学的角度看，肋拱收到铁环向内的转向力umlenkungskraft，由此推力的作用线向着肋拱的轴线靠近。
通过绳子制造模型的简单性使得越来越多的建筑师使用这种方法，通过两周结构的相似性来来寻找要设计拱的形状，绳子自动模拟最优的多边形。
在对建筑师十分重要的水平支座和竖直荷载的特例speziallfall，拱在制作处的作用线和绳子上下镜像后的形式一样，如图6.3和6.4展示的。这个事实在高迪设计colonia guell的复杂穹顶的实验中已经做出来了。在水平支座和竖向荷载的情况下拱和对偶绳索结构关系如下：
1.水平向的支座力一致
2.竖向的支座力相反
3.内力大小相同，符号相反
6.4收到多个任意方向荷载的拱的受力。
总的来说对于拱在多个任意方向的荷载下的形状以及起支座形状可以透过射线远交affin的方式得到。因此在求解，一个收到多个任意方向荷载的拱的形状、内力和支座反力的方法和对偶绳索相同。
合力可以通过力的合成以及2.7章节中的多边形法则求出。接着选择拱的失高并用两个直线段来来模拟所有荷载的合力，图6.9。中间的线段通过力图来确定，和绳索的设计是一样的。
6.5收到不均匀的分布荷载时拱的失稳
当一个受均布荷载的绳索附加一个可变的活动荷载，就改变绳子的形状。图6.10a十分明确。绳子在收到活动荷载q后的形状向下移动，并达到一个新的平衡状态。瞬间im moment，在施加aufbringen荷载的地方出现不稳定labiler的平衡状态（绳子因此移动），接着过渡到稳定的平衡状态。这被称之为运动学kinematik，受到可变荷载后绳子产生的运动，由此导致没有在构造上加固的绳索一个动力的行为verhalten。这对对于结构使用的适应性有着十分不利的问题。在满足绳子有着足够的强度储备的前提时，结构安全才得以保证。
在图6.10b中展示的是对纤细的拱同样的操作。这里与绳子有个基本的不同：随着活动荷载q的增加，拱有着随着荷载向下形变的趋势，与此同时收到活动荷载后的理想状态平衡的压力线向上移动。没有外界因素影响也就是如果无法将拱抬升到理想压力线的位置，是不可能成之处于平衡状态。这也意味着，一个很小荷载的改变也会使得拱脱离平衡状态：这存在vorliegen一个不稳定的问题！相比较于绳索结构，对于拱来说这个问题涉及到结构安全。这个问题一定unwergerlich会导致结构的倒塌。介绍稳定拱的构造方法也是不可避免的unumganglich。
系统性的场景以及从两种（一个是可变的稳定的绳索结构，一个是可变labil的不平衡的对偶拱结构）得出的差异Difference可以根据一个简单的对偶的模型来便于理解，一个球位于一个弯曲的曲面。
6.6避免因为活动荷载导致拱失稳的方法
对于绳索结构，可以通过增加恒定荷载来减少结构收到可变荷载时的形变。因为绳子的形变是活动荷载与恒定荷载比例的函数funktion。对拱来说这也是一个合适的减少压力线Drucklinie移动的方法。但是因为和上述相同的是，拱在受到一个很小的荷载移动并且没有外力帮助下是无法再回到平衡状态的，结构的毁坏也是不可避免的。也因此增加梁自重的方法以及类似增加索梁seilbalen的方法对于拱的稳定不适合。
通过额外的受压杆druckstrebe和各自的拉索sapnnseil来稳定
正如章节三中展示的，承重索的稳定可以通过一系列的绳索来稳定。对于拱来说增加支撑杆件也是一个增加稳定的方法。图6.12展示的是两周的简单的可能性，拱受到两个集中荷载在附加结构构件的帮助下得到稳定。
在图6.12种是附加的压杆来实现。从动力学的观点来看，这些压杆像斜撑防止作用点在受到更高的荷载后向下移动。从静力学的角度看，附加的构件形成了第二个拱的系统，从而承载使用荷载Q。通过两种结构的叠加superposition更加明确，当有活动荷载改变时，只有左侧拱的线段和后来附加的支撑杆受到影响。
在图6.12b中，展示的是一个附加的拉索线段。这个线段是附加压杆的对称。这条线段从动力学的角度看，是组织荷载较弱的点向上移动。从静力学角度来看附加的线段提供了一个抵消向上同样大小的活动荷载q。拱在没有绳索的情况下受到G+Q的荷载，合力是两个结构重叠后的结果。所以明确的是当活动荷载改变时，只是右侧拱线段的内力和绳索的拉力受到影响。
对于弯曲的拱受到均布荷载可以通过附加一系列的绳索来稳定。通常使用绳索稳定是为了一个更轻，透明度更高的结构。正如图6.13展示的莫斯科购物中心和6.14chur的火车站的细丝拱。这些拱的稳定都通过绳索系统来完成，部分直接连接锚固到拱的支座处。
通过稳定梁来保证稳定
通过增加稳定梁的办法正如绳索结构中斜拉桥的办法。在这种情况下承载作用基于两个不同的原则：这个稳定梁分散了集中荷载并阻止纤细的拱进行形变。
由robert maillart设计的桥就是一个案例，这个拱只有23cm厚，因为加固的高速公路桥面，使得钢筋混凝土拱有足够的稳定程度。
通过加强拱的的厚度来稳定
在正如在拱中所有的可能性一样存在于拱结构中，通过将拱和用来稳定的稳定梁组合在一起。这种方法可行，因此拱的厚度Breite也由此增加，更加敦实的拱也出现。这种方法应用于由不抗拉材料组成的拱，比如说自然石头的磊成的拱或者是配筋少的钢筋混凝土。从动力学的角度看，其实的拱的刚度增加，是的拱在收到不均匀的荷载时不向下移动。从静力学的角度看，由于拱的足够厚，使得受到使用荷载时的压力线可以在拱的范围内向下移动。图6.16.
正如在章节三种所说的，压力线偏移拱的轴线意味着拱此处受到玩具的作用auf Biegung beansprucht wird，在上述的材料无法受拉的拱中，压力线必须位于拱的材料之中。弯矩在这种情况也被认为材料的内在压力，其在横截面上对于更截面的重心也就是拱的轴线显示出aufweisen个偏心率Exzentrizitat。多亏了这个原理，其拱作为承重结构，只有内在压力。
当一个拥有受拉很强的材料，比如钢铁，压力线可以处于材料之外。这相对应的受力作用，除了内部的压力还有由内服非常大的拉力作用，尝过了这个章节的范围，将在12章节中谈到。
为了设定敦实的拱的尺寸可以假设，在拱的压力线移动范围内，一个名义上减小的宽度2b。其是压力线与靠近横截面边界距离b的两倍，如图6.17。这种方法可以确保，内在压力位于受压横截面积的重心上，且位于受压区域上持续应力的积分之和等同于内在压力。但这也意味着，位于受压区域2bt之外的材料世界上没有结构作用。这是一种简化，让结构作用更好的理解。然而必须要说的是，考虑到材料的变形能力（延展性Duktilitaet），这种方法不是近似，而是根据塑性理论的（安全）极限状态，这允许人们评估结构的实际结构完整性。
从这些考虑，很明显压力线不能任意接近横截面边缘。受压面积2bt也必须足够的大，来保证单位横截面积上的压强不超过材料的抗压强度。所以压力线和拱之间的距离，要按照下面规定。
σ =（Dd/2*b*t） ≤ fd 推演得到 b≤Dd/（2*t*fd）
第一个公式用于证明合力对于结构的安全性，对比材料在对应拱几何形状中的应力是否超过材料强度，比如说一个已经存在的建筑物。第二个公式用于额定，也就是说确定拱的宽度，在随意的选择拱的截面形状时，就是在设计拱的截面。
6.7通过节点处对于拱结构内力的影响
在埃菲尔设计的 Viadukt von Garabit大桥，在支座处是两个节点Gelenk。一个节点在构造层面表示，拱在对应横截面的宽度接近于零。从静力学的角度表示，拱的结构内力必须通过节点传递。节点通常设置在拱的轴线上。在节点出的横截面上，拱的压力线不能偏移轴线，所以再节点处横截面上是不会存在弯矩的。
有意思的问题是，一个拱可以设置多少节点，而不至于使其成为易变，不稳定的结构。通过一个简单的实验，我们可以得出，超过三个节点，会使得拱不稳定。
三个节点的拱
如图6.19展示三个节点的对比只有两个节点的拱又一个特别的地方，对于每个荷载的布置konfiguration只有一种压力线位置的可能性。正如前面多次展示的，拱的失高可以有多种可能性。对于拱有三个节点，我们称之三节点拱dreigelenkbogen，却只有一种失高的可能性以保证压力线同时穿过节点。从静力学的角度意味着，三节点拱的的内力在平衡状态时可以被明确的确定。相对应的结构也被称之为力学确定？statisch bestimmt。
在图6.20中展示了理想的三节点拱的形状。其可以通过拱受到均布荷载以及极限状态的不对称荷载时获得。这个形状可以联想到两条承重索组成的伦敦塔桥。对于这两个结构在受到单侧使用荷载时的承重原理是相同的。在salginatobelbrucke的桥就是对称了可能的压力线而成。
两个节点的拱
正如横跨多瑙河的两节点拱桥mariapia，仿射压力线的合集都是符合图6.23表示的极限荷载。所以对应的结构称之为结构不确定性statisch unbestimmt。对于这样不确定性的结构，其内部应力的大小只取决于其失高。
为了确定相对应的压力线，除了其平衡状态还有需要更多的考虑，比如材料的属性，形变，结构的边界条件等等。在一个静力不确定的结构中，会受到温度的变化，和支座的移动，可能的塑性形变等影响。对于这个问题定量的讨论超过了这个课程的范围。
接下来的重点是对应结构的承重作用了，通过确定极限压力线在最高和最低的失高来探索。
没有节点的拱
当拱在支座处不是节点连接，而是固定eingespannt，所以其内力压力线的变化是最多的。图6.23是两个极端的情况：
1.在左图中，失高最大，但跨度最小。
2.在右图中，失高最小，但跨度最大。
根据塑性理论，压力线可以自由的选取。正如上文呢所说的，实际上拱内要设置的压力线是根据不同的且没有满足要求的因素所决定。
比如说支座的位移会导致压力线的改变，同时回导致拱内水平分力的改变。如图6.25所展示的，将两个支座的位置夸大，则减少了水平方向拱的应力？？反了吧？？？
如果由于支座的移动，下边界会失高最小跨度最大的压力线重合，所以在制作的移动会在支座处产生裂痕。当制作的距离进一步增大时，裂纹回开口，这个区域作用像一个节点。拱内应力的作用线位于横截面的边界。
由于裂缝的产生当作用线位于边界时，一个三节点拱出现，其作用线的位置和水平应力的强度取决于系统的几何以及荷载。
6.8圆形的砖拱
在古典时期，砖拱通常时以半圆的形状建造而成的，导致在恒定载荷下拱的几何形状与压力线的显著的偏差。为了保证，其应力作用线位于拱的里面，拱必须要有足够的宽度。
假设拱受到均布荷载，其垂直于拱轴线rechtwinklig zur bogenachse的宽度必须大于h=0.155r。对于这个数值，还要必要的面积b=Dd/（2*t*fcd）来保证活动荷载下拱压力线的移动。
实际上在实体的建筑中拱的宽度达不到这个最小值。一旦sobald作用线靠近横截面的边缘，就会出现裂缝，并且拱的单位（各个）部分的拱会相对另一个转动rotieren，好像存在节点一样。正如图6.27b所展示的，在这个系统中，相比较之前的情况，五个节点的拱系统是不稳定的。实际上，这四个拱的部分自由旋转，其越远离理想状态的压力线。
通过对于历史建筑中拱的仔细观察会发现，这样的运动被拱间的墙体aufstanderungwande阻止了。这个墙由于两边拱的变形而挤压。相反的墙体给予拱一个侧向的推力，如图6.28。所以完成压力心的形状，导致拱的内部应力线沿着拱的内部传递下去。
因此，拱间砖石具有基本的结构功能，其拆除ausbau可导致拱形的坍塌！ 尼姆附近的渡槽桥Pont du Gard是着名的罗马建筑之一，其中拱间砖石的静态功能清晰可辨（图6.26）。 这种类型的建筑通常用于砌体拱门，既用于桥梁和渡槽，也用于结构建筑，其中起义砖石构成了立面的一部分，如乌尔比诺的Palazzo Ducale（图6.29）。
