现代分形的内容

                
                
自分形诞生最初，人们关心的主要是分形集的几何（静态）结构，如Hausdorff维数、Hausdorff测度，重分形等，或者分形图形处理，以及与分形密切相关的动力系统（如Julia集和Mandelbrot集）和涉及生物学领域的L-系统等。20世纪80年代，物理学家和数学家开始关心分形集的分析（动态）结构，研究分形区域上的布朗运动。1988年，数学家M.Barlow和E.Perkins利用随机过程理论，构造性地证明了Sierpinski垫上布朗运动的存在性，并得到转移密度（或热核）的上下界优美估计。1990年，T.Lindstrom在更为广泛的一类分形集，即嵌套分形（nested fractals）上构造布朗运动。随后，M.Barlow和R.Bass在20世纪80年代末和90年代初，构造出平面Sierpinski地毯上的布朗运动，并同时得到热核上下界估计；1999年，他们将此结果推广到高维空间中的Sierpinski地毯。以上工作，都借助于随机过程理论。
一个自然的问题：是否可以用较简单的分析方法得到类似结果，并推广到其他分形区域？日本数学家Masatoshi Fukushima等首先（1992年）进行这方面的研究，构造了Sierpinski垫上的局部、正则、保守、自相似的狄氏型，该狄氏型正好对应Barlow和Perkins等所构造的布朗运动。随后，J.Kigami对更一般的分形集进行研究。在1993年提出后临界有限（post-critically finite）自相似集的概念（这类分形集都是有限分枝的）。利用分析的方法，J.Kigami和R.Strichartz等数学家，较系统地研究了后临界有限自相似集这类分形区域上的狄氏型、Laplace算子和谱分析等。进一步，K.Falconer（1999年）等利用山路引理，研究基本分形集上的某些非线性偏微分方程。从而，形成与概率学派相媲美的分析学派，使得这一方向的研究变得生机勃勃，方兴未艾。
分形集上的热核估计是这一方向研究的重要焦点。热核本身是许多物理现象的根源，在数学物理、几何学、概率论和随机过程理论、图论、函数空间理论，包括分形几何等诸多数学领域起着极其重要的作用，属于数学领域的交叉研究课题。
参考文献
[1] 分形分析引论 胡家信 著 科学出版社，2013